M sohasi: im yo‘nalis oliy V t “o iqtis

4.14. a
1
=(1;2;3;4); a
2
=(2;3;4;5); a
3
=(3;4;5;6); a
4
=(4;5;6;7); 
4.15. a
1
=(2;1;-3;1); a
2
=(4;2;-6;2); a
3
=(6;3;-9;3); a
4
=(1;1;1;1); 
 
Vektorlar juftliklari o‘zaro ortoganalmi: 
4.16. a
1
(4;-5) va a
2
(1;0); 
4.17. a
1
(4;1;2) va a
2
(-1;0;2); 
4.18. a
1
(2;0;4;-1) va a
2
(1;2;3;4); 
4.19. a
1
(1;3;2;-3) va a
2
(1;1;1;2)? 
 
Quyida berilgan chiziqli erkli vektorlar sistemalari ustida ortogonal va 
ortonormallangan vektorlar sistemalari qurilsin: 
4.20. a
1
(1;0) va a
2
(1;1) 
4.21. a
1
(1;1;1;0), a
2
(0;1;1;1), a
3
(0;0;1;1) 
 
Quyida berilgan vektorlar sistemasining rangi va bazislari topilsin: 
4.22. a
1
=(5;2;-3;1); a
2
=(4;1;-2;3); a
3
=(1;1;-1;2); a
4
=(3;4;-1;2) 
4.23. a
1
=(2;-1;3;5); a
2
=(4;-3;1;3); a
3
=(3;-2;3;4); a
4
=(4;-1;15;17); a
5
=(7;-6; -7;0) 
4.24. a
1
=(2;1;-3;1); a
2
=(4;2;-6;2); a
3
=(6;3;-9;3); a
4
=(1;1;1;1) 
4.25. a
1
=(1;2;3); a
2
=(2;3;4); a
3
=(3;2;3); a
4
=(4;3;4) a
5
=(1;1;1) 
4.26. a
1
=(5;2;-3;1); a
2
=(4;1;-2;3); a
3
=(1;1;-1;-2); a
4
=(3;4;-1;2) 
4.27. a
1
=(2;-1;3;5); a
2
=(4;-3;1;3); a
3
=(3;-2;3;4); a
4
=(4;-1;15;17); a
5
=(-7;-6;-7;0) 
 
Quyida berilgan chiziqli erkli vektorlar sistemalari ustida ortogonal va 
ortonormallangan vektorlar sistemalari qurilsin: 
4.28. a
1
(1;1),  a
2
(0;2) 
4.29. a
1
(1;0;1;0), a
2
(0;1;1;1), a
3
(1;1;0;1) 
4.30. a
1
(1;1;1;1), a
2
(1;1;1;0), a
3
(1;0;1;1) 
 
 
5-amaliy mashg‘ulot. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. 
Asosiy tushunchalar 
 
5.1.
 Quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining birgalikda yoki 
birgalikda emasligini tekshiring: 




















4
22
25
12
11
2
2
5
4
3
2
1
9
7
5
3
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
Yechish.
 Buning uchun asosiy va kengaytirilgan matrisa rangini topamiz: 

 
23 
1
3
5
7 9
1
2 3
4 5
2 11 12 25 22
A













 ~ 










22
25
12
11
2
27
21
15
9
3
9
7
5
3
1
 ~ 










22
25
12
11
2
9
7
5
3
1
9
7
5
3
1
 
2-satr elementlaridan 1-satr elementlarini ayiramiz: 
1 3 5 7
9
0 0 0
0 0
2 11 12 25 22
A











 
 
2
r A
    
 
1
3
5
7
9 1
1
2
3
4
5 2
2 11 12 25 22 4
A B













 
bu matrisa rangini topish uchun yana yuqoridagi ishni takrorlaymiz, natijada 
 
A B
 matrisa quyidagi koʻrinishni oladi. 
 
1 3
5
7
9 1
0 0
0
0
0 1
2 11 12 25 22 4
A B











,        
1
7
9 1
0
0 1
25 22 4
B




 





 
matrisa rangini topamiz: 
 
1
1
7 9 1
0 0 1 225 154 71;
3
25 22 4
M
B
r B






 
Demak, 
 
3
r A B

 boʻlib, 
 
 
r A
r A B

 va sistema birgalikda emas. 
 
Berilgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarining birgalikda (aniq, 
aniqmas) yoki birgalikda emasligini tekshiring va birgalikdagi sistemalarni 
yeching: 
5.2.
 














2
3
1
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
 
 
5.3.
 














1
4
2
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
5.4.
 Quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasida bazis va erkli 
oʻzgaruvchilarni ajratish usuli sonini aniqlang va bazis yechimlarini toping: 
1
2
3
4
1
2
3
4
2
3
3
2
2
4
x
x
x
x
x
x
x
x











 
Yechish.
 Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasida noma’lumlar soni 
4
n
 , 
tenglamalar soni 
2
m
 , rangi  
1
2
1 4
5 0,
2.
2
1
r
     


 

 
24 
Demak, noma’lumlarning bazis guruhlari ikkita noma’lumdan iborat. Bunda  


2
4
4!
1 2 3 4
6
2! 4 2 ! 1 2 1 2
C
  




  
. 
Guruhlar 6 ta: 
1
2
1
3
1
4
2
3
2
4
3
4
, ; , ; , ;
, ;
, ;
, .
x x x x x x x x x x x x  Bu juftliklarning qaysi birida 
noma’lumlar oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan determinant noldan farqli boʻlsa, 
oʻsha juftlik noma’lumlari bazis oʻzgaruvchi boʻla oladi. 
1
2
5 0
2
1
  

     
1 3
5 0
2 1
  
    
1
1
0
2
2



 
2
3
5 0
1 1
 

  
2
1
5 0
1
2

  


    
3
1
5 0
1
2

  

. 
Demak, sistemaning bazis oʻzgaruvchularini besh hil usulda bazis va erkli 
oʻzgaruvchilarga ajratish mumkin: 
 
№
  Bazis oʻzgaruvchilar Erkli oʻzgaruvchilar 
1. 
1
2
,
x x  
3
4
,
x x  
2. 
1
3
,
x x  
2
4
,
x x  
3. 
2
3
,
x x  
1
4
,
x x  
4. 
2
4
,
x x  
1
3
,
x x  
5. 
3
4
,
x x  
1
2
,
x x  
 
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarining bazis yechimlarini topish uchun 
erkli oʻzgaruvchilarni nolga tenglaymiz: 
1
1
2
1
1
2
2
11 / 5
11
2
3
2 / 5
5
2
4
2
0
5
0
b
x
x
x
x
x
x
x


 
























 
1
1
3
2
1
3
3
9 / 5
9
3
3
0
5
2
4
2
2 / 5
5
0
b
x
x
x
x
x
x
x


 

















 





 
2
2
3
3
2
3
3
0
9
2
3
3
9 / 5
5
4
11
11 / 5
5
0
b
x
x
x
x
x
x
x


  















 









 

 
25 
2
2
4
4
2
4
4
0
2
2
3
2 / 5
5
2
4
11
0
5
11/ 5
b
x
x
x
x
x
x
x


















 


  






 
3
3
4
5
3
4
4
0
2
3
3
0
5
2
4
9
2 / 5
5
9 / 5
b
x
x
x
x
x
x
x





















  






 
Topilgan bazis yechimlar barchasi xosmas bazis yechim, chunki 
2
r
  ta noldan 
farqli noma’lumdan tashkil topgan. Agarda bazis yechimlarda noldan farqli 
noma’lumlar soni 
r
 dan kam boʻlsa, xos bazis yechim deyiladi. 
 
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining bazis yechimlarini toping, 
undan xos va xosmas bazis yechimlarni ajrating: 
5.5.
 
1
2
3
1
2
3
2
5
2
3
4
x
x
x
x
x
x







 

 
 
5.6.
 
1
2
3
4
1
2
3
4
3
2
4
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x



 







 
 
Berilgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarining birgalikda (aniq, 
aniqmas) yoki birgalikda emasligini tekshiring va birgalikdagi sistemalarni 
yeching: 
5.7.
 














16
4
3
14
3
2
9
2
3
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
 
 
 
5.8.
 









7
3
4
1
2
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
 
5.9.
 











1
7
4
1
5
3
3
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
   
 
 
5.10.
 

























7
4
11
3
4
7
12
2
2
3
2
4
3
2
5
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
5.11.
 




















5
16
3
8
6
5
12
10
7
1
4
4
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
 
5.12.
 














5
12
15
3
3
8
10
2
1
4
5
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
5.13.
 















1
4
3
3
6
9
1
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
   
 
5.14.
 














0
5
2
4
4
3
18
4
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 

 
26 
5.15.
 














0
5
2
4
5
3
5
3
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
   
 
 
5.16.
 









2
3
4
2
1
2
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
 
5.17.
 









5
3
4
2
1
2
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
   
 
 
5.18.
 




















4
22
25
12
11
2
2
5
4
3
2
1
9
7
5
3
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
5.19.
 






















3
5
3
2
6
10
2
3
14
3
2
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
  
 
 
5.20.
 

















3
6
4
7
5
5
3
4
7
2
4
2
5
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining bazis yechimlarini toping, 
undan xos va xosmas bazis yechimlarni ajrating: 
5.21.
 
1
2
3
4
1
2
3
4
2
0
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x











   
 
5.22.
 
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
4
0
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x









 

 



 
5.23.
 
1
2
3
4
1
2
4
1
2
3
4
3
2
2
18
2
0
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x





  









 
 
5.24.
 
1
2
3
4
1
2
3
4
2
3
4
2
1
2
2
3
18
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

 















 
 
 
6-amaliy mashg‘ulot. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning 
Gauss va Gauss-Jordan metodlari 
 
6.1.
 
















9
3
2
5
1
4
11
3
2
2
1
3
4
3
4
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
sistemani Gaussning klassik usulida yeching: 
Yechish.
 
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
3
2
3
1
2
3
2
3
3
2
4
4
2
4
4
2
4
4
3
2
11 ~
8
13
23 ~
8
13
23
4
5
9
13
17
25
33
99
8
8
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x




 


 


 






























 

 
3
2
1
3,
2;
4
x
x
x



.  Javob: 


3
;
2
;
4
. 

 
27 
6.2.
 
























7
8
3
2
3
6
2
9
3
2
2
4
6
3
6
4
6
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
sistemani Gauss-Jordan usuli bilan yeching: 
 
~
2
27
12
5
4
2
9
0
0
0
2
1
1
0
0
2
3
1
0
2
3
0
1
~
21
12
5
4
6
18
18
0
0
2
1
1
0
0
2
3
1
0
4
6
1
1
~
21
10
4
6
18
18
0
0
12
24
0
0
2
3
1
0
4
6
1
1
~




























































 

































2
3
3
1
2
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
~
2
3
12
5
4
11
4
3
1
0
0
0
2
1
1
0
0
2
1
0
1
0
2
1
0
0
1
~
 
Javob: 


0;2;1 / 3; 3 / 2

. 
 
Quyidagi tenglamalar sistemasini  Gauss va Gauss-Jordan usuli bilan 
yeching: