M. T. Normurodov udk: 553,3(075)

n
 uchun quyidagi qiymatlarni 
qabul qiladi:
1=0, l,...,(n—l)
  hammasi  bo‘lib 
n
  ta  qiymat.
Impuls  momentining,  tashqi  magnit  maydonining  Z  yo‘nalishidagi 
proeksiyasi: 
Ljz
  = 
fim
e ,
bu  yerda: 
mc
  -m agn it  kvant  soni  bo‘lib,  berilgan  /  uchun  quyidagi 
qiym atlarni  qabul  qiladi: 
me
  = 
0 5
± lv ..,+/  (hammasi  b o iib  
{21+1
)ta 
qiymat).
Orbital  va  magnit  kvant  sonlari uchun tanlash  qoidasi:
Д/  =  ±1 
va 
Ame  -
  0,± 1.
Vodorod  atomidagi  elektronning  1  ^holatiga  (asosiy holatiga)  to‘g‘ri 
keluvchi  normallashtirilgan to‘lqin  funksiyasi:
3 54

1
% ю(г) = - = е
л/.—
/а
- С
bunda: 
а — Аяс^Ь2  /(те")  ~
  birinchi  bor  radiusi  bilan  mos  keluvchi 
kattalik.
Vodorod  atomidagi  Is  holatda  bo‘lgan  elektronni 
r
 dan 
r+dr
 gacha 
intervalda bo‘lish ehtimoli:
dW = \ ¥ j - d V
 = |Ч
% 0|2
  • 
A m -d r.
Elektronning spini  (impulsning xususiy  mexanik  momenti):
Ls  = h ^ S iS
 + 1 ),
bunda: 
S
 — spin  kvant  soni
r
 
1л 
S = -  
2
v 
^  J
Spin  m om entining,  tashqi  magnit  m aydonining  Z  yo ‘nalishiga 
proeksiyasi:
Lsz
  = 
hm 
s .
(
 
. 
1
л
Bunda 
ms
 —magnit  spin kvant  soni
Pauli  prinsipi: 
Z ( n J j n e,ms ) = 0
  yoki 
1
,
bunda: 
Z ( n J
, 
m
e, 
ms
 )  — quyidagi to‘rtta kvant soni bilan xarakterlanuvchi
kvant  holatida boMgan  elektronlar soni; 
n
 —bosh,  / —orbital, 
mc
 —magnit, 
ms ~
  spin  magnit  kvant  sonlari.
Berilgan 
n
  bosh  kvant  soni  bilan  aniqlanuvchi  holatda  bo'ladigan
w-l
elektronlarning  maksimal  soni: 
Z{n)
 = ^ 2 ( 2 / + 1) = 2
n2
  •
/=o
M a sa la   yechishga  m isollar
l-m iso l.  V odorodning 
n=l
  va 
n=2
  lar  uchun  io n lash tiruvch i 
energiyalarining qiymatlari aniqlansin.
355

п - 2 -
E , = ?  
E,   =  ?
Berilgan:
/7  =  1 ,
Yechish:  Vodorodning ionlashuv 
energiyasi 
(/7
 = 
1
):
4
E,  =
  -  Я   =
me 
8
/
72
 
^ 02
(1)
/7 
=2  uchun  ionlashuv energiyasi:
me
3 2 J r s :
(
2
)
(
1
)  va  (
2
)  larga  kattaliklarning qiymatlarini qo‘yib olamiz:
E  = ~E
9,1  1-10"3'  -(1,6-IQ
"19)4 
8
  ^,63-10 
34) 2
  (8,85-10 12)
9,11-6,55 
10'
3
I -10
~76
J  =
43,96-78,32  10 
68
-10
"24
 
2754Д6 
9,11 -10 
31
  -(1,6-10
~19) 4
J  = 
59,67
  10 
16
 J  = 13,53eV.
E,
  = -E ,  =
32-(6,63-Ю~34) 2  -(8,85-1 O
' 12) 2 
J  = 3,4eV.
J
9,11-6,55 
10"
3
'-10"7e
32-43,96-78,32  1 0 - 1 0 "
Javob: 
E,
  = 13,53eV; 
E2
  = -3 ,4 e V .
2-misol.  Bosh  kvant  soni  n=4  uchun,  orbital  kvant  soni  / va  magnit 
kvant  soni 
me
 larning qabul  qilishi  mumkin  boigan  qiymatlari  yozilsin.
Berilgan:
n = 4.
7 ^ ?
m„
  =  ?
Yechish:  Orbital  kvant  soni 
I
 berilgan 
n
 uchun quyidagi qiymatlarni qabul  qiladi:
/ = 0,1,...,  ( и - 1 ) .
D em ak, 
/  =  0 ,1 ,2 ,3 .
356

Magnit  kvant  soni 
mc,
  berilgan 
n
  uchun  quyidagi  qiymatlarni  qabul 
qiladi: 
me
  = 
0
,±
1,±2
Demak, 
me
  = 0,±1,±2,±3.
Javob:  / = 0,1,2,3; 
me
  = 0,±1,±2,±3.
3-misol.  Vodorod  atomida  1.?  —  holatda  (asosiy  holatda)  bo‘lgan 
elektronning normallashgan  to‘lqin funksiyasi:
1
Ш
ko‘rinishga ega.  Bunda:  r — yadrodan elektrongacha boMgan  masofa, 
a
 — 
birinchi  bor  radiusi.  Elektronni  atomda  r=0,05a  radiusli  sfera  ichidan 
topilish  ehtimoli 
W
aniqlansin.
Berilgan:
4
.
Ш '
0,05
a
.
Yechish:  Vodorod atomidagi  is —holatda 
bo‘lgan elektronning  vp  — funksiyasi
sferosimmetrik (ya’ni  faqat  rg a
W
 = ? 
bogMiq).  Shuning  uchun  ham,  bir  xil
ehtimollik zichligiga ega hajm elementini 
r~
 radiusli va 
dr
 qalinlikli  hajm
sifatida qarash  mumkin.  Unda 
dV
 = 
Am*2dr
 .
Elektronni 
dV
 hajm elementida topilish ehtimoli:
dW =
 
| ^ l00
 
( r t - d V  =
1
- V
9  / 
a
m
■An’ 2 dr
(
1
)
Uni 
r,
  = 0  dan  r,  = 0 ,0 5
a
  gacha chegarada integrallaymiz:
0,05 
a
4 
’  f  i  -2r/ 
W = - T
  f 
r-e  /adr 
a 
x
(
2
)
Masalaning  shartiga  ko‘ra 
r —
 kichik  (
r=0,05a;  a=52,8pm),
  shuning 
uchun 
e~r/
  hadni  qatorga yoyish  mumkin:
357

=  1 -
2 г 
_1_
а
 
21
(3)
lk kinchi  tartibli  h adlarni  e ’tiborga  o lm a y   (3)  ni  (2)  ga  qo'ysak ,
dr
_  4
0
.
05
,  
2  Г4
0.05
a'
У
1
0
:  1.54-10"
4  
\ A \ - 2
A , r - A   y-dr~-  у
Cl
 
о 
V 
«  
)
 
о 
()
Javob:  PF  = 1,54-10  4 .
4-misol.  Elektron atomda 
d —
 holatda turibdi:  1)  elektronning impuls 
momenti; 
2
)  impuls  momentining  tashqi  magnit  maydon  yo ‘nalishidagi 
proeksiyasining  maksimal  qiymati  aniqlansin.
Berilgan:
d
 holat.
1) 
Le = l
2 )  
( A ? z ) m a x
Yechish:  Elektronning 
d
  holati 
I —
 2 
orbital  kvant soni bilan xarakterlanadi.
Elektronning impuls  momenti  (mexanik 
orbital  momenti)  esa quyidagicha aniqlanadi
(
1
)
Le  =h^l(I +
1).
Bu  yerda 
h  =
 1,05 • 10
”34
 J  • s  — Plank  doimiysi.
Impuls momentining tashqi magnit maydon Z yo'nalishidagi proeksiyasi:
(
2
)
bu  yerda: 
me
  = 
0
,±
1
,
.
—  magnit  kvant  soni.  M azkur  masalada 
me
  = 
0
,± l,+
2
.
(4z)max  = %
L .  
(3)
/  va 
{m)mm
  laming  qiymatlarini  (1)  va  (3)  larga  qo‘yib  quyidagini 
olamiz:
L(
  = 
h j
2 (2  + 1)  = 2,45/z;  ( I (Z ) max  = 2
h
.
Javob: 
L(
  = 2 , 4 5
h ;
  ( I fZ) max 
= 
2 h .
358

M u staq il  yechish  uchun  m asalalar
1.  Vodorod  ato m id agi  e lek tro n n in g  
1
  s -h o la tin i  tav siflo v ch i
1
 
- /
normallashgan  to‘lqin  funksiyasi  Чг'}0Q 
(r)
 = 
e  °
  ko‘rinishga  ega.
yjm*
Yadro  maydonidagi  elektron  potensial  energiyasining  o'rtacha  qiymati 
aniqlansin.  [-е
2
/4я8()а.]
2.  Vodorod atomidagi elektronning  1  s holatini tavsiflovchi normallashgan
1
 
- r /
to‘lqin  funksiyasi 
^ т (г)
 = 
у-—~e  a
  ko‘rinishga  ega.  Elektronga  ta’sir
etuvchi  Kulon  kuchi  modulining  o‘rtacha  qiymati  aniqlansin.  [e
2
/(2pe
0
a2).]
3.  Elektronning vodorod atomidagi  1 s holatini ifodalovchi normallashgan
1
 
- r/
toMqin  funksiyasi 
1
:Р
100
( г )  = 
—j= e   ' a
  ko‘riinishga  ega.  Elektron  bolishi
4 ш ъ
mumkin  boigan  eng  katta  masofa  aniqlansin.  [peM
p
2
/(me2).]
4.  E lektro n n in g  vodorod  ato m id agi  1 
h o la tin i  ifo d alo v ch i
1
normallashgan  to‘lqin  funksiyasi 
^ !00
 (/) — 
—r = e   a
  ko‘rinishga  ega.
л/ W
Elektronning  rj=0,5a  va  r2= 
1
,5a  radiusli 
Ar
 = 0,0k/  qalinlikli  sferik
qatlamda  bo‘lish  ehtimolliklarining  nisbati  aniqlansin.  [W'/W2=0,825.]
5.  Atomda:  1) л-holatda;  2)  P-holatda turgan elektron orbital harakatining
impuls  momenti 
Le
  hisoblansin.  Ц)
0
;  2)1,50-10 
34
 J  - s.]
6
.  Vodorod  atomidagi  elektron  orbital  harakatining  impuls  momenti
1,83 • 10
~34
 
J
 • 
s
 •  Elektronning orbital harakati  natijasida vujudga keladigan
magnit  momenti  aniqlansin.  [1,61  •  10'
23
J/T1.]
7.  Elektron  impulsining  spin  momenti  va  shu  momentning  tashqi 
m agnit  m ayd o n n in g  Z  y o 'n a lis h id a g i  p ro ek siyasi  a n iq la n s in .
t s   = 0,9 12-10~34J  -s; 
Lsz
  = 0,528- 10“34J  - s ]
8
. 
n=3
  bosh  kvant  soniga  to‘g‘ri  keluvchi  elektron  qobig‘i  to‘la.  Shu 
qobiqdagi  quyidagi  kvant  sonlari:  1)  ms=-l/2;  2)  me=0;  3)  mc= -l,  ms=l/2 
bir  xil  bo‘lgan  elektronlarning  soni  aniqlansin.  [1)  9;  2) 
6
;  3)  2.]
359

35-§.  Kvant  statistikasi  elementlari
Asosiy formulalar
ZT.  energiyali  kvant  holatida  boMadigan  bozonlarning  o‘rtacha  soni 

  > ,  Boze-Eynshteyn taqsirnoti:
1
< 
1 1
>  е (Е'~Ел,/а/> 
-
1 
ga muvoflq aniqlanadi.  Bu  yerda: 
к —
  Bolsman doimiysi, 
T~
 termodinamik 
harorat,  //  — kimyoviy  potensial.
E.
  energiyali  kvant  holatida  boMadigan  fermionlarning  o'rtacha  soni
< 
nt
  >  esa  Fermi-Dirak taqsimoti:
i
< 
П
  > = -------------------------
e ( E - E F )/(kT)
  +   j
bilan  aniqlanadi.
Metalldagi  erkin  elektronlarning  energiyalari  bo‘yicha  Fermi-Dirak 
taqsimoti:
1

  > = -
e
bu  yerda  E 7,  — Fermi  energiyasi.
T=
 OK  da
,'l,agar  E>E
f
  bo’lsa, 
< .n  (  
" 
’ 
&
( £ ) > = { ,
-0,agar  E > E
f
  bo'lsa.
T=0
  К  da  metalldagi  Fermi  sathi,  y a ’ni  elektron  egallashi  mumkin 
boMgan eng yuqori sath quyidagicha aniqlanadi
h2
 
о 
2
/
E r  = ---- (3
7Г~п
) /3.
1 
2 m
Bu  yerda: 
h  —
  Plank  doimiysi, 
t  —
  elektronning  massasi, 
n  —
  erkin 
elektronlar soni.
T«   TD
  da  Debayning xarakteristik harorati 
^max 
=kTD
  = 
hCOQ
360

munosabatdan aniqlanadi. 
co0  ~
  Kristall panjaradagi elastik tebranishlaming 
chegaraviy chastotasi.
(M a’lumki 
Т »   Tn
 da klassik fizika qonunlari  o‘rinli  bo‘ladi.)
M a sa la   yechishga  m isollar
1-misol.  Boze-Eynshteyn va Fermi-Dirak taqsimotlaridan foydalanib, 
Maksvell-Bolsman taqsimoti  hosil qilinsin.
Yechish:  M a’lumki Maksvell-Bolsman taqsimoti yuqori haroratlar uchun 
o ‘ rin lid ir.  Yuqori  h aro ratlard a  B eze-E ynsh teyn  va  F e rm i-D ira k
taqsimotlaridagi 
e,Lllkl  -  A
  had  yetarli  darajada  kichik  b o lad i.  A « l .
boMgan holda esa 
)  »   i  shart bajarilib, taqsimotlami quyidagicha
yozish  mumkin:
1
 
f-1/ 
~E}/
< n   > = _____i_____=  e  Л*Т) 
Л т  
= A  
Ml)
' 
(H 
x-ju)/(kT) 
^
Demak,
=Ae  '//{kr) 
klassik fizikadagi  Maksvell-Bolsman taqsimotidir.
2-niisol.  1)  Ferm i-D irak;  2)  M aksvell-Bolsman  statistikalaridan 
foydalanib, 
E —Ev  «  kT
  shartni  qanoatlantiruvchi 
E
  energetik  sath 
uchun elektronning taqsimot funksiyalari aniqlansin.
Berilgan:
E—E
f
  «  kT
1) 
{n)E,.D =
 ?
2) 
(n)Em
  = ?
Yechish: 
1
) 
E
 energetik sathdagi 
elektronlar uchun  Fermi-Dirak taqsimoti:
(tL-t F)/{K1 )
  +   j
ko‘rinishga ega. Agar shartga ko‘ra
(E_E
F)/(kT)
  , 1  
( 1 )
E - E
E - Er  «  kT
  ,  yoki 
-------- — «
1  ekanligidan,
kT
bu  nisbat  nolga  intilishini,  ya’ni
361

Е -  Е, 
 
— > 
0
. 
(
2
)
кТ
ligini  hosil  qilamiz.  M a’lumki, 
e°
  = 1  .Unda  (1)  quyidagiga teng bo‘ladi:
n(E)=
 —  = 1 .
1 
+ 
1
 
2
2) 
E —
 energetik sathdagi elektronlar uchun Maksvell-Bolsman taqsimoti:
n{E)= е-(Е-Е' ШТ).
 
(3)
ko4rinishga ega.  (
2
)  shart bajarilganda
n(E) = e°  =e°
  =1
ni  hosil  qilamiz.
Javob: 
1
) 
n ( E ) = y ,  2)  n(E)=
 1.
3-misol.  Fermi sathi 
E[:  —
 
6
eV  boMganda,  О К haroratda metalldagi 
erkin  elektronlar konsentratsiyasi aniqlansin.
Berilgan: 
Yechish:  Г= 0К  da  metalldagi  Fermi 
sathi  quyidagicha aniqlanadi
E,
  = 
6
eV; 
T
 =0K.
n
 = ?
h 2
 
?/
E ,
  = —  
{Ъя2п ) \
 
(l)
2 m
bu  yerda: 
h
 = 6,63 -10 
J  • s  ~  Plank  doimiysi,
m —
 
9,1
 • 
1 0
 
31
 kg  —  elektronning  massasi.  (
1
)  ifodadan  elektronlar 
konsentratsiyasi 
n
 ni aniqlasak
\3/
(lm ■
 E;, ) 2 
Ъп
2 
•h
Kattaliklarning son qiymatlarini o‘rniga qo‘yib  hisoblaymiz:
362

(2
 - 9,1 -
1 0
“  -
6
-
1
,
6 - 1 0
 
) /2
 
1
 
^
 
1л25
 
_3
п
 = ------ :-------- г-------------------------- г  = 27,2 
- 1 0
  m
3 • (3,14)'2 (6 ,63-10 - ’4 
у
Javob: 
п
 =  27 ,2 • 1 0
25
m
~3
 •
4-misoI.  Krisstaldagi har bir alyuminiy atomiga uchtadan erkin elektron 
to‘g ‘ri keladi deb hisoblab,  7МЖ da elektron ega bo‘lishi mumkin bo‘lgan 
eng katta energiya aniqlansin.
Berilgan:
T=
 OK; 
n = 3nAl;
M = 2 7 -1 0 _3kg/
mol.
E 
= ?
max
Yechish: 
T=
 OK da elektronning maksimal 
energiyasi  Fermi  energiyasi,  y a’ni 
elektron egallashi  mumkin bo‘lgan eng 
yuqori sath energiyasi bilan aniqlanadi:
= ^ ( З ж ! - и) К .
2m
(1)
Elektronlarning konsentratsiyasini esa quyidagicha aniqlaymiz: 
P - N
a
m
Bu  y e rd a : 
p
 — 2 ,7 -1 0  
3
  ^y
/ 3
(
2
)
a ly u m in iy n in g   z ic h lig i,
N A
  = 6 ,0 2 -1 0
23
 m ol 
1
  — Avogadro soni.
(
2
)  ni  (l)g a  qo‘ysak,
E 
= —
max 
^
2m
(
n
„2
  _  ЛГ  \/з
9 n zp-N  
M
(3)
( Ш Л )
J
2
s
2
[ V s - m o l " ]  
/ m
[
m
] 
j
kg
k g /
^ 
/  mol 
J
J
2
- s
2
 
J
2
s
2
kg • m 
kg • m
=  J
363

Kattaliklarning son  qiymatlarini  qo'yib topamiz. 
h =
 6,63 -10 
34
 J  • s 
-Plank  doimiysi):
E 
=
(6,63-1 O
' 34) 2
9 • (3,14)2  • 2,7 • 10
3
  • 6,02 • 10
23  \
2/
J  =
2
 • 9,1 -10 _J 
1
 
1, 
27 • 10~J
= 0,65 • 10
“17
 J  = 34,2 leV  
Javob:  E 
= 34,2 le V   .
5-misol.  Debay xarakteristik temperaturasi  180  К bo‘lgan oltin kristalida 
vujudga keladigan fononning maksimal energiyasi aniqlansin.
Berilgan:
TD
  = 1 8 0 K ; 
T «  Tn 
E  
= r>
m ax
л = ?
Yechish: 
T « T D
  bo4lganda  fononning 
maksimal  energiyasi:
F  
-   к
  -T
max 
D  ^
 
( 1 )
ifodadan aniqlanadi.  Bu yerda
к
  = 1,38-10"23 
Jy
С
Shu  bilan  birga 
-  h ■
 v  -  h
 — ,
Я
ligidan
A  =
he
к   ~  Bolsman  doimiysi.
(
2
)
(3)
h
 = 6,63 • 10 
34
 J  • s  -   Plank  doimiysi, 
с -
 3 • 10
8
 
^
. 
Kattaliklarning qiymatlarini  (2) va  (3)  larga qo‘yib topamiz.
E
 
= 1,38-10 
-180J  = 2 ,4 8 -1 0  
J  = 15 ,5M eV
max 
? 
’ 
’
5 
6,63 -1 O
’ 34
  - 3 -1 0
8
 
ОЛ1
 
1Л _6
 
ОЛ1
  , 
Л =
 
гг-— m = 80,1 
- 1 0
  m = 80 ,lm k m
2 , 4 8 - 1 0
-21
364

Javob: 
Emax
 = 
1 5 ,5 M e V
; 
X
  = 
80,lmkm-
M u staq il  yechish  uchun  m asalalar
1.  Qanday  shartlar  bajarilganda  metaldagi  elektronlar  uchun  Maksvell- 
Bolsman  taqsimotidan  foydalanish  mumkin?  Fermi-Dirak  taqsimotidan 
foydalanib  Maksvell-Bolsman  taqsimotini  hosil  qiling.
2.  Agar  litiy  va  seziydagi  Fermi  sathlari  mos  ravishda  Ev  = 4,72eV, 
EF2=1,53  eV larga  tengligi  ma’lum  bo‘lsa,  О К da  ulardagi  erkin  elektronlar 
konsentratsiyasining  nisbati  n,/n2  aniqlansin.  [0,9.]
3.  0  К  da  natriyning bitta  atomiga  to‘g ‘ri  keluvchi  erkin  elektronlarning 
soni  aniqlansin.  Natriy  uchun  Fermi  sathi  EF= 3 ,12  eV.  Natriyning  zichligi 
970  kg/m3.  [3  ta.]
4.  Agar  Fermi  sathlari  mos  ravishda  11.7  eV va  EF2=7,0  eV bo‘lsa,  0  К 
da  alyuminiyning  bitta  atomiga  to ‘g ‘ri  keluvchi  erkin  elektronlar  soni 
misdagiga  nisbatan  necha  marta  kop?  [3  marta.]
5.  Agar  Fermi  sathi  E=7cV  bo‘lsa,  0  К  da  metaldagi  elektronlarning 
o‘rtacha  kinetik  energiyasi  aniqlansin.  [4,2  eV.]
6.  Agar  Fermi  sathi  E=5  eV  bo‘lsa,  0  К  da  metaldagi  elektronlarning 
maksimal  tezligi  aniqlansin.  [1,32  Mm/s.]
7.  Debay  xarakteristik  temperaturasi  320  К  bo'lgan  NaCl  kristalida 
vujudga  keladigan  fononning  maksimal  energiyasi  elektron-voltlarda 
aniqlansin.  Shunday  energiyali  foton  qanday  to‘lqin  uzunligiga  ega  bo‘lishi 
mumkin?  [0,028  eV;  45  mkm.]
365

36-§.  Qattiq jismlar  fizikasi  elementlari
Asosiy formulalar
Yarim o‘tkazgichlarning xususiy solishtirma o‘tkazuvchanligi  (Zonalar 
nazariyasiga  muvofiq):
r  = /0e  A2kT),
bu yerda: 
y Q
  -   mazkur yarim o‘tkazgichni xarakterlovchi doimiylik, 
AE
—  m a’n  qilingan  zonaning  kengligi, 
к  —
  Bolsman  d o im iysi,  T~ 
termodinamik temperatura.
Yarim o‘tkazgichlar uchun  Fermi sathi:
p  -   АЕ/
F  
~  
/
?
  ■
S h u n in g d e k , 
yarim   o ‘ tk a z g ic h la rn in g   x u su siy  s o lis h tirm a  
o‘tkazuvchanligi quyidagicha ham aniqlanadi: