M u n d a r I j a

a
3
− 2a
2
+ a + 1
A) (a + 1)
2
· (a − 1)
3
B) (a + 1)
3
· (a − 1)
2
C) (a + 1)
4
· (a − 1)
D) (a + 1) · (a − 1)
4
29.
(00-6-9) Ko’paytuvchilarga ajrating.
b
2
+ ab − 2a
2
− b + a
A) (a − b)(2a − b)
B) (a + b)(2a − b − 1)
C) (a − b)(2a − b − 1)
D) (b − a)(2a + b − 1)
30.
(00-10-77)* Ko’phadni ko’paytuvchilarga ajrat-
ing.
(x − y)
3
− (z − y)
3
+ (z − x)
3
A) 3(x−y)(y−z)(x−z) B) −3(x−y)(z−y)(x−z)
C) 3(y−x)(y−z)(z−x) D) −3(x−y)(z−y)(z−x)

35
2.6
Algebraik kasrlar
Bizga P = x
3
− y
3
, Q = x − y ko’phadlar berilgan
bo’lsin. Algebraik kasr deb P ko’phadni nolga teng
bo’lmagan Q ko’phadga bo’lishdan hosil bo’lgan
P
Q
bo’linmaga aytiladi. P ko’phad
P
Q
algebraik kasrning
surati, Q ko’phad esa maxraji deyiladi. Algebraik kasr-
larga misollar keltiramiz:
3a
2
− 2a
a
2
+ 12a + 36
;
3a + 16
a
2
− 36
;
6(a
2
− 36)
a + 6
;
a
2
+ b
7
.
P
Q
va
M
N
algebraik kasrlar ustida arifmetik amallar
quyidagicha bajariladi:
1.
P
Q
+
M
N
=
P N + QM
QN
.
2.
P
Q
−
M
N
=
P N − QM
QN
.
3.
P
Q
·
M
N
=
P M
QN
.
4.
P
Q
:
M
N
=
P N
QM
.
1.
(96-12-72) Soddalashtiring.
x
3
+ x
2
+ x + 1
x
2
+ 1
A) x − 1
B) x
C) 2x
D) x + 1
Yechish: Berilgan kasrning suratida quyidagicha
shakl almashtirish qilamiz x
3
+ x
2
+ x + 1 =
x
3
+ x + x
2
+ 1 = x(x
2
+ 1) + (x
2
+ 1). Umu-
miy ko’paytuvchi sifatida x
2
+ 1 ni qavs oldiga
chiqaramiz, natijada
x(x
2
+ 1) + (x
2
+ 1)
x
2
+ 1
=
(x
2
+ 1)(x + 1)
x
2
+ 1
= x + 1.
Javob: x + 1 (D).
2.
(96-9-15) Soddalashtiring.
1 − x
−1
+ x
−2
1 − x + x
2
A) 1
B) x
2
C)
1
x
2
D) 1 −
1
x
3.
(97-4-21) Soddalashtiring.
a
−3
+ b
−3
a
2
− ab + b
2
· a
3
· b
3
A) (a + b)
2
B) 1
C) ab
D) a + b
4.
(96-3-21) Kasrni qisqartiring:
x
2
− 3xy
9y
2
− x
2
A)
x
x + 3y
B)
−x
x + 3y
C)
x
x − 3y
D)
−x
x − 3y
5.
(96-3-74) Soddalashtiring:
x
3
+ 2x
2
+ x
(x + 1)
2
A) 2x
B) x + 1
C) x + 2
D) x
6.
(98-11-9) Soddalashtiring.
x
6
− x
4
x
3
+ x
2
A) x
3
− x
2
+ 1
B) x
3
+ x
2
+ 1
C) x
3
− x
2
D) x
3
+ x
2
7.
(00-8-54) Soddalashtiring.
a
8
− a
4
a
4
+ a
2
A) a
6
B) a
4
− a
2
C) a
4
− 1
D) a
4
+ a
2
Yechish: Berilgan kasrning suratini quyidagicha
yozib olamiz
a
8
− a
4
= (a
4
)
2
− (a
2
)
2
= (a
4
− a
2
)(a
4
+ a
2
).
Bu yerdan
a
8
− a
4
a
4
+ a
2
=
(a
4
− a
2
)(a
4
+ a
2
)
a
4
+ a
2
= a
4
− a
2
.
Javob: a
4
− a
2
(B).
8.
(99-1-10) Soddalashtiring.
p − q
p
3
· q
2
−
p + q
p
2
· q
3
A) −
p
2
+ q
2
p
3
· q
3
B)
2pq − p
2
− q
2
p
3
· q
3
C) −
2
p
3
· q
2
D) −
2
p
3
· q − p
2
· q
2
9.
(99-6-5) Soddalashtiring.
³ −16x
31
9y
3
´
3
:
³ 8x
23
3y
2
´
4
A)
−y
x
B)
−x
y
C)
x
9y
D)
−x
9y
10.
(01-2-14) Soddalashtiring.
a
2
+
1
a
a +
1
a
− 1
A) a − 1
B) a
2
− a + 1
C) a
2
+ a + 1
D) a + 1
11.
(02-8-2) Soddalashtiring.
1 − b
−1
+ b
−2
1 − b + b
2
A) b
−1
B) b
−2
C) b
2
D) b + 1

36
2.7
Ratsional ifodalar
Ratsional ifodalar deb shunday ifodaga aytiladiki, unda
bir nechta algebraik kasrlar arifmetik amal belgilari bi-
lan bog’langan bo’ladi va ifodada nolga teng ko’phadga
bo’lish ishtirok etmaydi. Masalan,
³ 5m
m + 3
−
14m
m
2
+ 6m + 9
´
:
5m + 1
m
2
− 9
+
3 · (m − 3)
m + 3
.
1.
(97-10-19) Soddalashtiring:
³ 3a
a + 6
−
2a
a
2
+ 12a + 36
´
:
3a + 16
a
2
− 36
+
6(a − 6)
a + 6
A) 6
B)
6
a + 6
C)
1
a − 6
D) a − 6
Yechish: Qavs ichidagi kasrlarni umumiy max-
rajga keltiramiz:
3a
a + 6
−
2a
a
2
+ 12a + 36
=
3a
a + 6
−
2a
(a + 6)
2
=
=
3a
2
+ 18a − 2a
(a + 6)
2
=
3a
2
+ 16a
(a + 6)
2
Birinchi kasrning suratidan umumiy ko’paytuv-
chi a ni qavs oldiga chiqarib, keyingi amallarni
bajaramiz:
a(3a + 16)
(a + 6)
2
·
(a − 6)(a + 6)
3a + 16
+
6(a − 6)
a + 6
=
=
a(a − 6)
a + 6
+
6(a − 6)
a + 6
=
(a − 6)(a + 6)
a + 6
= a − 6.
Javob: a − 6 (D).
2.
(96-7-19) Soddalashtiring:
³ 5m
m + 3
−
14m
m
2
+ 6m + 9
´
:
5m + 1
m
2
− 9
+
3 · (m − 3)
m + 3
A)
3
m + 3
B) 3
C) m − 3
D) 1
3.
(97-7-19) Soddalashtiring.
³ 2x
x − 5
+
x
x
2
− 10x + 25
´
:
2x − 9
x
2
− 25
−
5(x + 5)
x − 5
A) 5
B)
x + 5
x − 5
C)
5
x + 5
D) 5 + x
4.
(98-1-21) Soddalashtiring.
³ 4a
4 − a
2
−
a − 2
4 + 2a
´
·
4
a + 2
−
a
2 − a
A) −1
B)
2a
2 − a
C)
3 + a
2 − a
D) 1
5.
(98-2-8) Soddalashtiring.
x
3
− 8
x
2
+ 2x + 4
−
x
2
− 4
x − 2
A) 4
B) 2x
C) −2x
D) −4
6.
(98-2-29) Ushbu
x
−3
+ 8
x
−2
− 2x
−1
+ 4
ifodaning x = 0, 5 dagi qiymatini hisoblang.
A) 4, 5
B) 3
C) 4
D) 5
Yechish: x
−1
= y almashtirish olsak, berilgan
ifoda quyidagi ko’rinishga kelad:
x
−3
+ 8
x
−2
− 2x
−1
+ 4
=
y
3
+ 2
3
y
2
− 2y + 2
2
= y + 2.
Agar x = 0, 5 bo’lsa, u holda y = 2 bo’ladi va
natijada biz y + 2 = 2 + 2 = 4 ni olamiz. Javob:
4 (C).
(01-11-6) Ushbu
a
3
+ b
3
a
2
− ab + b
2
· (a − b)
a
3
− b
3
a
2
+ ab + b
2
· (a + b)
ifodaning a = 3 va b = 2 bo’lgandagi qiymatini
hisoblang.
A) 24
B) 25
C) 30
D) 32
7.
(98-10-12) Soddalashtiring.
x
3
+ y
3
x
2
− xy + y
2
−
x
2
− y
2
x + y
A) 2x B) 2y C) −2y D) −2x
8.
(99-4-26) Ifodani soddalashtiring.
5x + 6
x
2
− 4
−
x
x
2
− 4
:
x
x − 2
−
x + 2
x − 2
A) 1
B) −1
C)
x − 2
x + 2
D)
x
2
+ 4
4 − x
2
9.
(99-9-19) Soddalashtiring.
³
1
a(a + 1)
+
1
(a + 1)(a + 2)
´
·
a
2
+ 2a
8
A)
1
6
B)
1
8
C)
3
4
D)
1
4
10.
(00-3-16) Soddalashtiring.
³ a
2
− 4
a
2
+ 4
´
2
+
³ 4a
a
2
+ 4
´
2
A) a − 4
B) 2
C)
a
2
− 4
a
2
+ 4
D) 1
11.
(00-7-13) Soddalashtiring.
(a
3
− 3a
2
b + 3ab
2
− b
3
) · (a + b) :
³ a
3
+ b
3
a + b
− ab
´
A) b
2
− a
2
B) a
2
− b
2
C) (a − b)
2
D) (a + b)
2
12.
(01-5-6) Soddalashtiring.
x
x
2
+ y
2
−
y · (x − y)
2
x
4
− y
4
A)
1
x + y
B)
1
x − y
C) x + y
D) x − y

37
13.
(01-6-10) Soddalashtiring.
³
2a +
2ab
a − b
´³ ab
a + b
− a
´
:
4, 5a
2
a
2
− b
2
A)
4a
2
9
B) −
2a
2
9
C)
2a
2
9
D) −
4a
2
9
14.
(01-8-18) Soddalashtiring.
a
2
a
2
− 1
+
1
a + 1
:
³ 1
2 − a
+
2
a
2
− 2a
´
A)
a
a
2
− 1
B)
1
a − 1
C)
2a
2
− a
a
2
− 1
D) 1
15.
(02-9-14) Soddalashtiring.
³
2
1 − x
2
−
2
(x − 1)
2
´
· (1 − x)
2
−
4
1 + x
A) 4
B) −4
C) 0
D)
1 − x
1 + x
16.
(03-4-10) Soddalashtiring.
³ a + x
a
−
x − y
x
´
·
a
2
x
2
+ ay
:
a
8x
A) 10
B) 6
C) 7
D) 8
17.
(03-6-7) Soddalashtiring.
x
3
y + 2x
2
y − 3xy
x
3
+ 5x
2
+ 6x
:
1 − x
2
x
2
+ 3x + 2
A)
y
x
B) −x
C) −y
D) x
18.
(03-7-10) Soddalashtiring.
x
3
y + 2x
2
y − 3xy
x
3
+ 5x
2
+ 6x
:
x
2
− 1
x
2
+ 3x + 2
A)
y
x
B) −x
C) −y
D) y
2.8
Aralash tipdagi masalalar
1.
(97-9-80) Hisoblang:
1000
3
+ 3 · 1000 · 995 · 1995 + 995
3
1000
2
+ 2 · 1000 · 995 + 995
2
A) 1995
B) 195
C) 995
D) 2195
Yechish: Kasr suratidagi 1995 ni 1000 + 995
shaklda yozib, qisqa ko’paytirish formulasining 7-
dan foydalansak,
1000
3
+ 3 · 1000
2
· 995 + 3 · 1000 · 995
2
+ 995
3
=
= (1000 + 995)
3
ni olamiz. Kasrning maxraji esa (1000 + 995)
2
ga
teng. Shunday ekan
(1000 + 995)
3
(1000 + 995)
2
= 1995.
Javob: 1995 (A).
2.
(99-7-2) Hisoblang.
889
3
+ 3000 · 889 · 111 + 111
3
+ 889 + 111
A) 10001000
B) 1001000
C) 1001001000
D) 1000001000
3.
(96-1-13) Hisoblang.
1
2
− 0, 4
2
2, 8 · 0, 4 − 2, 8
A)
1
2
B) −
1
2
C) −5
D) 5
4.
(00-6-5) Soddalashtiring.
1, 6
2
− 1, 6 · 0, 8 + 0, 4
2
1, 4
2
− 0, 2
2
A) 1, 6
B) 0, 375
C) 1, 2
D) 0, 75
5.
(96-10-13) Hisoblang.
4, 5
2
− 1, 5
2
0, 3 · 0, 7 − 0, 3
A) −20
B) 20
C) 200
D) −200
6.
Hisoblang.
10
45
+ 10
46
+ 10
50
10
49
+ 10
45
+ 10
44
A) 10
B) 30
C) 100
D) 1000
7.
(98-7-10) Hisoblang.
(3, 7
2
− 6, 3
2
) · (13
2
− 12, 6
2
)
(4, 2
2
− 5, 8
2
) · (2, 3
2
− 0, 3
2
)
A) 32
B) 0, 32
C) 3, 2
D)
1
32
8.
(98-8-9) Hisoblang.
0, 5
2
− 0, 5
0, 4
2
+ 2 · 0, 04 + 0, 1
2
A) 1
B) −1
C) −0, 1
D) 10
9.
(98-1-9) Hisoblang.
0, 2
2
− 2 · 0, 06 + 0, 3
2
0, 5 · 0, 9 − 0, 5
A) 0, 2
B) −2
C) −0, 2
D) 0, 25
10.
(99-6-6) Hisoblang.
(202
2
− 54
2
+ 256 · 352) : (4
4
· 10
2
)
A) 4
B) 1
C) 2
D) 5
Yechish: 202
2
− 54
2
ayirmani ikki son kvadrat-
larining ayirmasi uchun 2.4 ning 3-formulasiga
ko’ra 202
2
− 54
2
= 148 · 256. Endi birinchi qavs
ichini hisoblaymiz 148·256+256·352 = 256(148+
352) = 256 · 500. Endi bo’linmani hisoblaymiz
256 · 500 : (256 · 100) = 5.
Javob: 5 (D).

38
11.
(97-4-14) Agar x = 4, 5 va y = 3, 5 bo’lsa,
x
3
− x
2
y − xy
2
+ y
3
ni hisoblang.
A) 10
B) 9, 5
C) 8
D) 7, 2
12.
(01-8-5) Hisoblang.
0, 6 · 0, 8 + 0, 6 · 1, 2
0, 2
2
− 0, 4
2
A) −10
B) 10
C) −0, 1
D) −100
13.
(02-5-6) Hisoblang.
2, 7(1, 7
3
− 1, 5
3
)
5, 1
2
+ 5, 1 · 4, 5 + 4, 5
2
A) 0, 45
B) 0, 27
C) 0, 3
D) 0, 06
14.
(03-11-61) Hisoblang.
0, 6
2
− 0, 6 · 0, 2 + 0, 1
2
1, 5 − 1, 5
2
A) −0, 5
B) −
1
3
C) −3
D) −1
2
3
15.
(00-10-12) Soddalashtiring.
5 · 2
k−2
+ 10 · 2
k−1
10
k+2
A) 4
−1
· 5
−k
B) 4
−2
· 5
−k
C) 4 · 5
−k
D) 2
−1
· 5
−k
16.
(00-10-74) Kasrni qisqartiring.
2
m+1
+ 2
−m+1
(4
m
+ 1)(3
m+2
+ 3
m+1
)
A) 0, 5 · 6
−m
B)
³ 2
3
´
m
C) 6
−m−1
D) 3
m
17.
(97-2-6) Ushbu
12 − 3n
n
ifoda n ning nechta nat-
ural qiymatida natural son bo’ladi?
A) 6
B) 3
C) 5
D) 4
Yechish: Ushbu
12 − 3n
n
=
12
n
−
3n
n
=
12
n
− 3
tenglik o’rinli. Bu ayirma natural bo’lishi uchun
12
n
bo’linma 3 dan katta natural son bo’lishi kerak.
Bulardan n = 1, 2, 3 ekanligini olamiz.
Javob:
3 (B).
18.
(97-8-6)
10n − 24
n
ifoda natural son bo’ladigan n
ning natural qiymatlari nechta?
A) 4
B) 7
C) 6
D) 5
19.
(97-12-5) Ifoda natural son bo’ladigan n ning bar-
cha natural qiymatlari nechta?
16n
2
− 128
n
2
A) 5
B) 3
C) 2
D) 6
20.
(98-8-11) Ushbu
3n − 1
n + 2
ifoda n ning nechta bu-
tun qiymatida natural son bo’ladi?
A) 1
B) 3
C) 4
D) 2
21.
(96-6-6)
6n − 12
n
ifoda n ning nechta natural qiy-
matida natural son bo’ladi?
A) 6
B) 5
C) 3
D) 4
22.
(03-10-10) a ning nechta butun qiymatida
a
4
− 9
a
3
− 3a
:
a
3
+ 3a
a − 5a
2
ifodaning qiymati butun son bo’ladi?
A) 2
B) 3
C) 1
D) 4
23.
(01-7-7) n ning nechta butun qiymatida
n
2
− n + 3
n + 1
kasr butun son bo’ladi?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
24.
(01-11-30) Ushbu
4
a+1
− 2
2a−1
2
2a
ifodaning qiymati 9 dan qancha kam?
A) 4
B) 3, 5
C) 3
D) 5, 5
Yechish: 4
a+1
= (2
2
)
a+1
= 2
2a+2
desak, u holda
berilgan kasr quyidagiga teng bo’ladi:
2
2a+2
− 2
2a−1
2
2a
=
2
2