M u n d a r I j a

x + 3y = 5
7x − 18y = 1
tenglamalar sistemasi yechimga ega emas?
A) 1
B) 2
C) 4
D) ∅
15.
(97-4-23) Agar
½
x + 2y = 2
2x + y = k
bo’lsa, k ning qanday qiymatida x+y = 2 tenglik
o’rinli bo’ladi?
A) 2
B) 4
C) 1
D) 5
Yechish: Sistema tenglamalarini qo’shamiz:
3x + 3y = 2 + k ⇐⇒ 3(x + y) = 2 + k. Bu yerdan
hamda x + y = 2 ekanligini hisobga olsak, 3 · 2 =
2 + k ni olamiz. Demak, k = 4 ekan. Javob: 4
(B).
16.
(97-9-83) Agar
½
x + 3y = 6
2x + ky = 8
bo’lsa, k ning qanday qiymatida x+y = 2 tenglik
o’rinli bo’ladi?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
4.5.3
Ikkinchi darajali tenglamalar sistemasi
1.
(97-8-20) Tenglamalar sistemasini yeching.
½
y + 4 = 2
x
2
y = −2
A) (1; −2)
B) (−1; −2)
C) (1; 2)
D) (−1; −2) va (1; −2)
Yechish: Sistemaning 1-tenglamasidan y = −2
ekanligini olamiz va uni 2-tenglamaga qo’yamiz
x
2
· (−2) = −2 ⇐⇒ x
2
= 1.
Bu chala kvadrat tenglamaning yechimlari x
1
=
−1, x
2
= 1 lardir. Shunday qilib, sistema (x
1
; y) =
(−1; −2) va (x
2
; y) = (1; −2) yechimlarga ega.
Javob: (−1; −2) va (1; −2) (D).
2.
(96-9-70) Sistemaning yechimini toping.
½
x
2
+ y
2
− 2xy = 16
x + y = −2
A) (1; −3)
B) (−3; 1)
C) (0; −2)
D) (1; −3) va (−3; 1)
3.
(96-10-20) Sistemaning yechimini toping.
½
x − y = 4
x
2
+ y
2
+ 2xy = 4
A) (3; 1)
B) (3; −1)
C) (3; −1) va (1; −3)
D) (2; −2)
4.
(97-12-19) Tenglamalar sistemasini yeching.
½
x
2
− y
2
+ 2x + 4 = 0
x − y = 0
A) (2; 2) B) (−2; −2) C) (−1; −1) D) (1; 1)
5.
(97-2-20) Tenglamalar sistemasini yeching.
½
x + 2 = 0
xy
2
= −8
A) (−2; −2)
B) (−2; 2)
C) (−2; 2) va (−2; −2)
D) (2; 2)
6.
(96-1-19) Sistemaning yechimini toping.
½
x
2
+ y
2
− 2xy = 1
x + y = 3
A) (2; 1)
B) (1; 2)
C) (1, 5; 1, 5)
D) (2; 1) va (1; 2)

67
7.
(96-6-20) Tenglamalar sistemasini yeching.
½
x
2
− y
2
− 3x = 12
x − y = 0
A) (−4; 4)
B) (4; −4)
C) (4; 4)
D) (−4; −4)
8.
(01-3-34) Tenglamalar sistemasini yeching.
½
x + 3 = 0
xy
2
= −12
A) (−3; 2)
B) (−3; −2)
C) (−3; −2), (−3; 2)
D) ∅
9.
(96-7-23) Tenglamalar sistemasi nechta yechimga
ega?
½
x
2
+ y
2
= 9
y − x = −3
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Yechish: Sistemaning 2-tenglamasidan y = x−3
ni topamiz va uni 1-tenglamaga qo’yamiz
x
2
+ (x − 3)
2
= 9 ⇐⇒ 2x
2
− 6x = 0.
Bu chala kvadrat tenglamaning yechimlari x
1
=
0, x
2
= 3 lardir. Bu qiymatlarni y = x − 3 ga
qo’yib y
1
= −3, y
2
= 0 ni olamiz. Demak, sis-
tema ikkita (x
1
, y
1
) = (0, −3) va (x
2
, y
2
) = (3, 0)
yechimlarga ega. Javob: 2 (B).
10.
(97-10-23) Tenglamalar sistemasi nechta yechimga
ega?
½
x
2
+ y
2
= 4
x − y = −2
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
11.
(97-3-23) Tenglamalar sistemasi nechta yechimga
ega?
½
x
2
+ y
2
= 25
x − y = 5
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
12.
(98-12-19) Agar a − b = 12 va −ab + a
2
= 144
bo’lsa, a ning qiymati qanchaga teng bo’ladi?
A) 12
B) −12
C) 36
D) 6
Yechish: 2-tenglikni a(a − b) = 144 shaklda
yozamiz va a − b = 12 ekanligidan foydalansak
12a = 144 ni olamiz. Bu tenglikning ikkala qis-
mini 12 bo’lib a = 12 ni olamiz. Javob: 12 (A).
13.
(98-11-60) Agar x
2
+ y
2
= 281 va x − y = 11
bo’lsa, xy qanchaga teng bo’ladi?
A) 80
B) 160
C) −80
D) 40
14.
(02-12-30) Agar x
2
−4xy+y
2
= 4−2xy va x+y =
12 bo’lsa, xy ning qiymatini toping.
A) 32
B) 35
C) 30
D) 34
15.
(97-9-67) Agar ab = 9 va 3b = 8c (b 6= 0) bo’lsa,
ac ni hisoblang.
A) 3
1
3
B) 3
5
8
C) 3
4
9
D) 3
3
8
16.
(01-3-33) Sistemadan 3xy ni toping.
½
x
2
+ y
2
− xy = 1
x + y = −2
A) 1
B) −1
C) 3
D) −3
Yechish: Berilgan sistema
½
x
2
+ y
2
= 1 + xy
x + y = −2
sistemaga teng kuchli. Bu sistemaning 2-tenglama-
sini (har ikkala qismini) kvadratga ko’taramiz
(x + y)
2
= (−2)
2
⇐⇒ x
2
+ y
2
= 4 − 2xy.
Endi sistemaning 1-tenglamasidan foydalansak 1+
xy = 4 − 2xy ni olamiz. Bu tenglikdan 3xy = 3
ni olamiz. Javob: 3 (C).
17.
(01-3-32) Sistemadan x ni toping.
½
x + y = 6
x
2
− y
2
= 12
A) 4
B) 2
C) 1
D) 3
18.
(96-3-75) Sistemadan x ni toping.
½
x + y = 3
x
2
− y
2
= 6
A) 1, 5
B) 2, 5
C) 3
D) 1
19.
(96-12-73) Sistemani yeching va x · y ning qiyma-
tini toping?
½
x
2
+ y
2
= 3
x − y = 1
A) 2
B) 3
C) 1, 5
D) 1
20.
(98-12-64) Agar
½
x + y = 3
x · y = 1
bo’lsa, x
5
· y + x · y
5
ni hisoblang.
A) 47
B) 29
C) 51
D) 24
Yechish: x + y = 3, xy = 1 tengliklardan
x
2
+ y
2
= (x + y
| {z }
3
)
2
− 2 xy
|{z}
1
= 9 − 2 = 7
ekani kelib chiqadi. Shuning uchun
x
5
y + xy
5
= xy(x
4
+ y
4
) = x
4
+ y
4
=
= (x
2
+ y
2
)
2
− 2(xy)
2
= 7
2
− 2 = 47
Javob: 47 (A).
21.
(01-4-23) Agar
½
x
2
− y
2
= 6
x + y = 1
bo’lsa, x − y ning qiymatini toping.
A) 1
B) −1
C) 6
D) −6
22.
(03-12-3) Sistemadan ab ni toping
½
b + a = 18
a
2
+ b
2
= 170
A) 45
B) 72
C) 77
D) 80

68
4.5.4
Ikkinchi va undan yuqori darajali tengla-
malar sistemasi
1.
(98-10-17) Tenglamalar sistemasini yeching.
½
x
2
− 1 = 0
xy
2
= −4
A) (−1; 2)
B) (2; −1)
C) (2; 1)
D) (−1; −2) va (−1; 2)
Yechish: Sistemaning 1-tenglamasidan x
1
= −1,
x
2
= 1 ni olamiz. Ikki holni alohida qaraymiz:
1) x
1
y
2
= −4 ⇐⇒ −y
2
= −4 ⇐⇒ y
2
= 4.
Bu tenglama y
1
= −2 va y
2
= 2 yechimlarga ega.
Demak, (x
1
; y
1
) = (−1; −2) va (x
1
; y
2
) = (−1; 2)
juftliklar berilgan sistemaning yechimlari bo’ladi.
2) x
2
y
2
= −4 ⇐⇒ y
2
= −4.
Bu tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas. Shun-
day qilib sistemaning yechimlari (−1; −2) va (−1; 2)
juftliklar ekan. Javob: (−1; −2) va (−1; 2) (D).
2.
(02-9-11) Sistema nechta yechimga ega?
(
y =
4
x
y = −x
2
+ 6x − 5
A) ∅
B) 1
C) 2
D) 3
3.
(03-9-6) Sistemaning yechimlaridan iborat bar-
cha x va y larning yig’indisini toping.
½
x
3
+ y
3
= 35
x
2
y + xy
2
= 30
A) 0
B) 2
C) 6
D) 10
4.
(02-11-27) x ning
½
x
5
· y
7
= 32
x
7
· y
5
= 128
tenglamalar sistemasining yechimidan iborat bar-
cha qiymatlari yig’indisini toping.
A) 0
B) 4
C) 8
D) 12
5.
(97-4-25) Agar
½
x
3
− y
3
− 3x
2
y = 5
xy
2
= 1
bo’lsa,
x − y
2
ni hisoblang.
A) 2
B) 1
C) 3
D) 4, 5
Yechish: Berilgan tengliklardan foydalanib
(x − y)
3
= x
3
− y
3
− 3x
2
y
|
{z
}
5
+3 xy
2
|{z}
1
= 5 + 3 · 1 = 8
ni hosil qilamiz. U holda x − y = 2 va
x − y
2
=
2
2
= 1
bo’ladi. Javob: 1 (B).
6.
(98-2-16) Agar m
2
− mn = 48 va n
2
− mn = 52
bo’lsa, m − n nechaga teng?
A) 10
B) 8
C) ±10
D) ±8
7.
(98-5-22) Agar
½
x
2
− 2xy + y
2
= 9
xy = 10
bo’lsa, |x + y| ni hisoblang.
A) 7
B) 6
C) 5
D) 8
8.
(98-10-65) (x + y)
2
ni toping.
½
x
2
+ y
2
= 10
xy = 3
A) 13
B) 7
C) 16
D) 19
9.
(99-6-37) Agar ab = 18, bc = 25 va ac = 8 bo’lsa,
√
abc nimaga teng.
A) 2
√
15
B) 15
√
2
C) 6
√
5
D) 8
√
3
10.
(99-10-11) Agar x
2
· y = 50, x · y
2
= 20 bo’lsa, xy
ning qiymatini hisoblang.
A) 8
B) 10
C) 6
D) 12
11.
(00-1-23) Agar a − b = 1 va (a
2
− b
2
) · (a − b) = 9
bo’lsa, ab ning qiymatini toping.
A) 19
B) 22
C) 21
D) 20
12.
(97-8-11) Agar (x − 4)
2
+ (x − y
2
)
2
= 0 bo’lsa,
x + 2y nechaga teng?
A) 0
B) 4
C) 6
D) 0 yoki 8
13.
(00-8-14) Agar



xy = 6
yz = 12
zx = 8
bo’lsa, x + y + z ning qiymatini toping.
A) −9 yoki 9
B) 18
C) 0
D) 36
Yechish: Tengliklarni ko’paytirib, x
2
y
2
z
2
= 576
ekanini hosil qilamiz. Ikkita hol bo’lishi mumkin:
1) xyz = 24. Bu tenglikni sistemaning birinchi,
ikkinchi va uchinchi tengliklariga ketma-ket bo’lib,
z = 4; x = 2; y = 3 ni hosil qilamiz. Bu holda
x + y + z = 2 + 3 + 4 = 9.
2) xyz = −24. Bu tenglikni ham sistemaning
birinchi, ikkinchi va uchinchi tengliklariga bo’lib,
z = −4; x = −2; y = −3 ni hosil qilamiz. Bu
holda x + y + z = −9. Javob: −9 yoki 9 (A).
14.
(03-8-40) Sistemadan x ni toping.











xy
x + y
=
10
7
yz
y + z
=
40
13
zx
x + z
=
5
8
A)
80
79
B)
5
7
C)
7
13
D)
79
80

69
15.
(98-6-2) Agar xy = 6, yz = 2 va xz = 3 (x > 0)
bo’lsa, xyz ni toping.
A) −6
B) 6
C) 5
D) 12
16.
(98-11-52) Agar xy = 4, yz = 7 va xz = 28
(y > 0) bo’lsa, xyz ni toping.
A) −28
B) 28
C) 27
D) 56
17.
(98-6-11) Agar m va n natural sonlar
√
2(n − 5) + n
2
− 6mn + 5m = 0
tenglikni qanoatlantirsa. n − m ni toping.
A) 2
B) 5
C) 6
D) 4
Yechish: Agar
√
2(n − 5) noldan farqli bo’lsa, u
holda
√
2(n−5)+n
2
−6mn+5m ifoda ham noldan
farqli bo’ladi. Chunki irratsional son plyus bu-
tun son bu irratsionaldir (nol irratsional emas).
Shuning uchun
√
2(n − 5) + n
2
− 6mn + 5m = 0
tenglikdan
√
2(n − 5) = 0 va n
2
− 6mn + 5m = 0
tengliklar kelib chiqadi. 1-tenglikdan n = 5 ni
olamiz. Uni 2-tenglikka qo’yib 25−30m+5m = 0
chiziqli tenglamaga ega bo’lamiz. Uning yechim
m = 1 dir. Demak, n − m = 5 − 1 = 4. Javob:
4 (D).
18.
(01-10-8) Nechta butun x va y sonlar jufti
x
2
− y
2
= 31 tenglikni qanoatlantiradi?
A) ∅
B) 1
C) 2
D) 4
19.
(99-10-22) Agar x
2
·y+x·y
2
= 48 va x
2
·y−x·y
2
=
16 bo’lsa,
x
y
ning qiymatini hisoblang.
A)
1
4
B) −2
C) 2
D) −
1
2
20.
(02-6-32) Sistemadan x · y ni toping
½
x
3
+ y
3
= 35
x + y = 5
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
21.
(02-7-54) Agar 8a
3
− b
3
= 37 va ab
2
− 2a
2
b = −6
bo’lsa, 2a − b ning qiymatini toping.
A) 1
B) −1
C) 2
D) −2
22.
(02-8-11)
½
xy + x + y = 11
x
2
y + y
2
x = 30
tenglamalar sistemasi uchun x + y ning eng katta
qiymatini toping.
A) 6
B) 5
C) 7
D) 4
Yechish: Sistemaning 1-tenglamasidan xy = 11−
(x + y) ekanligini topamiz. Agar x + y ni t desak,
u holda 2-tenglama
xy(x + y) = 30 ⇐⇒ (11 − t)t = 30
ko’rinishga keladi. Bu kvadrat tenglamaning ildiz-
lari t
1
= 5, t
2
= 6 lardir. x + y = t bo’lganligi
uchun, uning katta qiymati 6. Javob: 6 (A).
23.
(02-12-26) Agar
1
n
+
1
m
=
1
7
va m + n = −4
bo’lsa, mn ning qiymatini toping.
A) 20, 5
B) −20, 5
C) 21
D) −28
24.
(02-12-29) Agar x
3
+ 3xy
2
= 185 va y
3
+ 3x
2
y =
158 bo’lsa, x − y ning qiymatini toping.
A) 4
B) 3, 5
C) 2
D) 3
25.
(03-11-3) Agar



1
√
x
+
1
√
y
=
4
3
xy = 9
bo’lsa, x + y ning qiymatini toping.
A) 10
B) 9
C) 8
D) 12
Yechish: Sistemaning 2-tenglamasi xy = 9 dan
foydalanib uning 1-tenglamasini
√
x +
√
y
√
9
=
4
3
⇐⇒
√
x +
√
y = 4
ko’rinishda yozib olamiz. Bu tenglikning ikkala
qismini kvadratga ko’tarib va yana bir marta xy =
9 dan foydalanib
x + y + 2
√
xy = 16 ⇐⇒ x + y = 10
ni olamiz. Javob: 10 (A).
26.
(03-1-65) Agar
½
x
2
y + xy
2
= 120
x
2
y − xy
2
= 30
bo’lsa, x
2
− y
2
ning qiymatini hisoblang.
A) 16
B) 20
C) 25
D) 34
27.
(03-11-65) Agar



x + 3y + 1
y
−
y − x + 3
2(x − 2)
= 2
y − x = 1
bo’lsa, x · y ning qiymatini toping.
A) 15
B) −6
C) −8
D) 12
28.
(07-112-29)
½
x
3
+ y
3
= 126
x
2
y + xy
2
= 30.
tenglamalar sis-
temasining haqiqiy yechimlaridan iborat barcha
x va y larning yig’indisini toping.
A) 2
B) 12
C) 10
D) 6
29.
(98-6-10) Agar x
2
+ y
2
= 225 va x
2
− y
2
= 63
bo’lsa, |x| − |y| ni toping.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
30.
(98-9-16) Agar p
2
+ pq = 96 va q
2
+ pq = 48
bo’lsa, p + q ning qiymati qanchaga teng bo’ladi?
A) 12
B) 14
C) ±12
√
2
D) ±12
31.
(99-1-19) Tenglamalar sistemasini yeching.
½
y − x
3
= 0
y = 16x
A) (0; 0), (4; 64) va (−4; −64)
B) (0; 0), (8; 2) va (27; 3)
C) (0; 0), (2; 8) va (64; 4)
D) ∅

70
5
- bob. Tengsizliklar
Agar ikkita ifoda > yoki < (≥ yoki ≤) belgisi bilan
bog’langan bo’lsa, ular tengsizlik hosil qiladi deyiladi.
Masalan, 3x + 5 > 0; 13x + 1 < 5; x
2
+ 7 < 0. Agar
tengsizlik > yoki < belgisidan iborat bo’lsa, uni qat’iy
tengsizlik deymiz. Masalan, x − 5 < 7; x
2
− 3 > 0.
Agar tengsizlik ≥ yoki ≤ belgisidan iborat bo’lsa, uni
qat’iymas tengsizlik deymiz. Masalan, x − 9 ≥ 7; x
2
−
5 ≤ 0. Tengsizlik belgisining chap tomonidagi ifodaga
tengsizlikning chap qismi, o’ng tomonidagi ifodaga teng-
sizlikning o’ng qismi deyiladi. Tengsizlikning ikkala
qismi ham sonlardan iborat bo’lsa, unga sonli tengsiz-
lik deyiladi. a < b, c < d tengsizliklar bir xil ma’noli,
a < b, c > d tengsizliklar esa har xil ma’noli tengsiz-
liklar deyiladi. Sonli tengsizliklar quyidagi xossalarga
ega.
1.
Agar a > b bo’lsa, u holda b < a bo’ladi.
2.
Agar a > b va b > c bo’lsa, u holda a > c
bo’ladi.
3.
Agar a > b va c − ixtiyoriy son bo’lsa, u
holda a + c > b + c bo’ladi. Xuddi shunday
a > b dan a − c > b − c kelib chiqadi.
4.
Agar a > b bo’lib, c > 0 ixtiyoriy son bo’lsa,
u holda a · c > b · c hamda a : c > b : c bo’ladi.
Ya’ni tengsizlikning ikkala qismini musbat
songa ko’paytirsak, yoki bo’lsak tengsizlik
belgisi saqlanadi.
5.
Agar a > b bo’lib, c < 0 ixtiyoriy son bo’lsa,
u holda a · c < b · c hamda a : c < b : c bo’ladi.
Ya’ni tengsizlikning ikkala qismini manfiy
songa ko’paytirsak, yoki bo’lsak tengsizlik
belgisi qarama-qarshisiga o’zgaradi.
6.
Bir xil ma’noli tengsizliklarni hadlab qo’shish
mumkin, ya’ni a < b va c < d bo’lsa, a + c <
b + d bo’ladi.
7.
Har xil ma’noli tengsizliklarni hadlab ayirish
mumkin, ya’ni a > b va c < d bo’lsa, a − c >
b−d bo’ladi. Ayirmada kamayuchi tengsiz-
likning belgisi saqlanadi.
8.
Nomanfiy hadli bir xil ma’noli tengsizlik-
larni hadlab ko’paytirish mumkin, ya’ni 0 ≤
a < b va 0 ≤ c < d bo’lsa, a · c < b · d bo’ladi.
9.
Nomanfiy hadli tengsizliklarning har ikkala
qismini bir xil natural darajaga ko’tarish
mumkin, ya’ni 0 ≤ a < b va n ∈ N bo’lsa,
a
n
< b
n
bo’ladi.
Agar bir tengsizlikning har qanday yechimi shu o’zgaruv-
chilar qatnashgan ikkinchi tengsizlikning ham yechimi
bo’lsa, va aksincha, ikkinchi tengsizlikning ham qanday
yechimi birinchi tengsizlikning yechimi bo’lsa, bu teng-
sizliklar teng kuchli tengsizliklar deyiladi. Yechimga
ega bo’lmagan tengsizliklar ham teng kuchli tengsiz-
liklar hisoblanadi.
5.1
Chiziqli tengsizliklar