M u n d a r I j a

P (x) =
0 tenglama ildizlaridan Q(x) = 0 tenglama ildizlarini
chiqarib tashlashdan hosil bo’ladi. Quyidagi misolni
qaraymiz:
x
2
+ 5x + 6
x
2
+ x − 2
= 0.
Ma’lumki, kasrning qiymati nol bo’lishi uchun uning
surati nolga teng bo’lishi kerak. Shuning uchun
x
2
+ 5x + 6 = 0
tenglamani yechamiz. Bu tenglamaning ildizlari x
1
=
−2, x
2
= −3. Topilgan bu qiymatlarni kasr maxrajiga
qo’yamiz: (−2)
2
+ (−2) − 2 = 4 − 2 − 2 = 0; (−3)
2
+
(−3) − 2 = 9 − 3 − 2 = 4 6= 0. Shunday qilib, beril-
gan tenglamaning ildizi x = −3 ekan. x = −2 esa
tenglamaning ildizi bo’lmaydi. Chunki bu qiymatda
kasrning maxraji nolga aylandi.
1.
(00-3-26) Tenglamaning haqiqiy ildizlari yig’indi-
sini toping.
(x
2
+ 5x + 4)(x
2
+ 5x + 6) = 120

62
A) 3
B) −3
C) 2
D) −5
Yechish: Tenglama y = x
2
+ 5x belgilash yor-
damida (y + 4)(y + 6) = 120 tenglamaga keladi.
Qavslarni ochamiz
y
2
+ 10y + 24 − 120 = 0 ⇐⇒ y
2
+ 10y − 96 = 0.
Bu kvadrat tenglamaning yechimlari y
1
= 6, y
2
=
−16 lardir. Endi berilgan tenglama ikkita tenglam-
aga ajraydi.
1) x
2
+5x = 6, x
2
+5x−6 = 0, x
1
= −6, x
2
= 1,
2) x
2
+ 5x + 16 = 0,
D = 25 − 64 = −39 < 0.
2) tenglama yechimga ega emas. Demak, beril-
gan tenglama x
1
= −6 va x
2
= 1 ildizlarga ega.
Ildizlar yig’indisi x
1
+ x
2
= −5. Javob: −5 (D).
2.
(96-7-15) Tenglama ildizlari yig’indisini toping.
x
4
− 13x
2
+ 36 = 0
A) 13
B) 5
C) 0
D) 36
3.
(97-7-15) Tenglamaning eng katta va eng kichik
ildizlari ayirmasini toping.
x
4
− 10x
2
+ 9 = 0
A) 1
B) 8
C) 2
D) 6
4.
(98-4-33) Tenglamaning ildizlari yig’indisini to-
ping.
2x
4
− 7x
2
+ 2 = 0
A) 7
B) 3, 5
C) 0
D) 2
5.
(98-6-20) Tenglama ildizlari ko’paytmasini toping.
(x +
1
x
)
2
− 2(x +
1
x
) − 3 = 0
A) 3
B) −1
C) 4
D) 1
6.
(98-11-10) Tenglamaning haqiqiy ildizlari ko’payt-
masini aniqlang.
y
4
− 2y
2
− 8 = 0
A) 4
B) −16
C) 16
D) −4
7.
(00-1-16) Ifoda nechta ratsional koeffitsiyentli
ko’paytuvchilarga ajraladi?
(x
4
+ x
2
+ 1) · (x
4
+ x
2
+ 2) − 12
A) 4
B) 2
C) 3
D) 5
8.
(98-6-22) Tenglamani yeching.
2x
2
− 5x + 3
(10x − 5)(x − 1)
= 0
A) 1
B) 1;
3
2
C)
3
2
D) 5
Yechish: Berilgan tenglamada kasr suratini nolga
tenglashtiramiz. 2x
2
−5x+3 = 0 kvadrat tenglama
ildizlari x
1
= 1, x
2
= 1, 5 lardir. Berilgan tengla-
madagi kasr maxraji x = 1 da nolga aylanadi,
x = 1, 5 da esa noldan farqli. Demak, x = 1, 5
tenglamaning ildizi bo’ladi. Javob:
3
2
(C).
9.
(98-11-18) Tenglamaning yechimlari quyidagi ora-
liqlarning qaysi birida joylashgan?
x
2
+ 1
x
+
x
x
2
+ 1
= −2, 5
A) (−∞; −1)
B) [−1; 8)
C) [2; 8)
D) [3; 8)
10.
(98-11-71) Tenglamani yeching.
1 −
1
x−1
1 +
1
x−1
= 0
A) −2
B) 0
C) −1
D) 2
11.
(98-12-63) Tenglama ildizlari yig’indisini toping.
2
3 − x
+
1
2
=
6
x(3 − x)
A) 4
B) 7
C) 3
D) 10
12.
(00-5-36) Tenglamaning ildizlari nechta?
x
2
− x − 2
x
2
+ x
= 0
A) 2
B) 4
C) 1
D) 3
13.
(01-1-8) Tenglamani yeching.
2
x − 3
=
x + 5
x
2
− 9
A) −2
B) 2
C) 1
D) −1
14.
(02-3-25) Tenglama ildizlari ko’paytmasini toping.
26
5(x + x
−1
)
= 1
A) 1
B) 5
C) 2
D) 2, 4
15.
(02-4-4) Tenglamaning ildizlari sonini toping.
x
4
− (
√
5 +
√
3)x
2
+
√
15 = 0
A) 2
B) 4
C) 1
D) 0
16.
(02-7-41) Tenglama ildizlari yig’indisini toping.
(x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40
A) −6
B) 0
C) −5
D) 6
Yechish: Berilgan tenglamaning chap qismidagi
ko’paytmani (x + 1)(x + 5) va (x + 2)(x + 4) lar-
ning ko’paytmasi shaklida yozamiz va bu qavslar-
ni ochamiz. Natijada, berilgan tenglamaga teng
kuchli bo’lgan
(x
2
+ 6x + 5)(x
2
+ 6x + 8) − 40 = 0
tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglamada x
2
+
6x + 5 = y deb belgilash olib
y(y + 3) − 40 = 0 ⇐⇒ y
2
+ 3y − 40 = 0

63
kvadrat tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglama-
ning ildizlari y
1
= −8, y
2
= 5 lardir. Topilgan
bu qiymatlarni belgilashga qo’yamiz:
1) x
2
+ 6x + 5 = −8;
2) x
2
+ 6x + 5 = 5.
1-kvadrat tenglamaning diskriminanti D = 6
2
−
4·13 = −14 < 0 manfiy, shuning uchun u haqiqiy
ildizlarga ega emas. 2-tenglama x
2
+ 6x = 0
ko’rinishdagi chala kvadrat tenglama bo’lib, un-
ing ildizlari x
1
= −6, x
2
= 0 lardir. Tenglama
ildizlari yig’indisi −6 ekan. Javob: −6 (A).
17.
(02-11-20) Tenglama ildizlari yig’indisini toping.
3x
2
+ 8x − 3
x + 3
= x
2
− x + 2
A) −8
B) −6
C) −4
D) 4
18.
(03-3-28) Tenglama ildizlari ko’paytmasini toping.
3x
2
+ 8x − 3
x + 3
= x
2
− x + 2
A) 2
B) −2
C) 6
D) 3
19.
(03-6-8) Agar
4x
2
− 4xy + 3y
2
2y
2
+ 2xy − 5x
2
= 1
bo’lsa,
x + y
x − y
ning qiymatini toping.
A) 2
B) −2
C)
1
2
D) −
1
2
20.
(03-7-56) Tenglama ildizlari ayirmasining modu-
lini toping.
x + 8
3
= x −
x − 3
x
A) 5, 5
B) 5
C) 3, 5
D) 4
21.
(03-8-17) Tenglama ildizlari yig’indisini toping.
3x
2
+ 4x − 4
x + 2
= x
2
− 4x + 4
A) 10
B) −5
C) −4
D) 7
22.
(03-8-42) Tenglama butun ildizlarining yig’indisini
toping.
x
2
+ 3x +
6
2 − 3x − x
2
= 1
A) −3
B) 1
C) −5
D) 3
23.
(03-11-63) Tenglama ildizlari yig’indisini toping.
x
3
− 8
x − 2
= 6x + 1
A) 6
B) 4
C) −4
D) 3
24.
(03-12-2) Tenglamaning eng kichik va eng katta
ildizlari ayirmasini toping.
3x
4
− 5x
2
+ 2 = 0
A) 2
B)
2
√
6
3
C) −
2
√
6
3
D) −2
4.5
Tenglamalar sistemasi
4.5.1
Chiziqli tenglamalar sistemasi
Ikki noma’lumli birinchi darajali (chiziqli) tenglamalar
sistemasi deb
½
a
1
x + b
1
y = c
1
a
2
x + b
2
y = c
2
(4.13)
ko’rinishdagi sistemaga aytiladi. Bu yerda a
1
, b
1
, c
1
, a
2
,
b
2
, c
2
ma’lum sonlar bo’lib, ular berilgan bo’ladi, x, y
lar esa noma’lumlar hisoblanadi. (4.13) sistemaning
yechimi deb birinchi va ikkinchi tenglamalarni qanoat-
lantiruvchi (x; y) sonlar juftiga aytiladi. Sistemani ye-
chish uning hamma yechimlarini topish yoki yechim-
lari yo’qligini isbotlashdan iborat.
(4.13) sistemani
yechishning quyidagi ikki usulini ko’rib o’tamiz.
O’rniga qo’yish usuli. Tenglamalar sistemasini o’rni-
ga qo’yish usuli bilan yechish uchun tenglamalarning
birortasidan noma’lumlardan birini ikkinchisi orqali ifo-
dalab, ikkinchi tenglamaga olib borib qo’yiladi. Nati-
jada bir noma’lumli chiziqli tenglama hosil bo’ladi. Bu
tenglamani yechib, yechimni tenglamalar sistemasining
istalgan bir tenglamasiga qo’yib ikkinchi noma’lumning
qiymati topiladi. Quyidagi misolni qaraymiz:
½
2x − 3y = 3
x + 2y = 5.
(4.14)
Bu sistemaning ikkinchisidan x ni topamiz (ya’ni x =
5−2y) va uni sistemaning birinchi tenglamasiga qo’yamiz:
2(5 − 2y) − 3y = 3 ⇐⇒ 7 = 7y. Bu tenglama yag-
ona y = 1 ildizga ega. Bu yechimni sistemaning ikkin-
chisiga qo’yib, x+2·1 = 5 dan x = 3 ni olamiz. Demak,
(4.14) sistemaning yechimi (3; 1) dan iborat.
Qo’shish usuli. Tenglamalar sistemasini qo’shish
usuli bilan yechish uchun berilgan sistemaga teng kuchli
bo’lgan shunday sistema olamizki, unda y (yoki x) ol-
didagi koeffitsiyentlar qarama-qarshi sonlar bo’ladi. Sis-
temaning tenglamalari hadma-had qo’shilsa, x ga nis-
batan bir noma’lumli chiziqli tenglama hosil bo’ladi.
Bu tenglamadan x ni topib, uni tenglamalar sistemasin-
ing istalgan bir tenglamasiga qo’yib y noma’lumning
qiymati topiladi. Quyidagi misolni qaraymiz:
½
3x − 4y = 3
x + 2y = 1.
(4.15)
Bu sistemaning ikkinchi tenglamasini 2 ga kopaytiramiz
va tenglamalarni hadma-had qo’shib 5x = 5 tenglamani
olamiz. Bu yerdan x = 1 ni topamiz va uni sistemaning
ikkinchi tenglamasiga qo’yib 1 + 2y = 1 dan y = 0 ni
olamiz. Demak, (4.15) sistemaning yechimi (1; 0) dan
iborat.
1.
Agar (1) sistemada
a
1
a
2
6=
b
1
b
2
bo’lsa, u ya-
gona yechimga ega.
2.
Agar (1) sistemada
a
1
a
2
=
b
1
b
2
=
c
1
c
2
bo’lsa, u
cheksiz ko’p yechimlarga ega.

64
3.
Agar (1) sistemada
a
1
a
2
=
b
1
b
2
6=
c
1
c
2
bo’lsa,
sistema yechimga ega emas.
1.
(96-6-17) Agar



3x + y = 45
z + 3y = −15
3z + x = 6
bo’lsa, x + y + z nimaga teng?
A) 12
B) 10
C) 15
D) 9
Yechish: Sistema tenglamalarini qo’shamiz:
4x + 4y + 4z = 45 − 15 + 6.
Bu yerdan
4(x + y + z) = 36
⇐⇒
x + y + z = 9
ekanini hosil qilamiz. Javob: 9 (D).
2.
(96-1-21) (x; y) sonlar jufti
½
2x − y = 5
3x + 2y = 4
sistemaning yechimi bo’lsa, x − y ni toping.
A) 1
B) −1
C) 3
D) 0
3.
(96-3-24) Tenglamalar sistemasini
qanoatlantiruvchi sonlar juftligini aniqlang.
½
x + y = 5
x − y = 1
A) (2; 3)
B) (−2; 3)
C) (3; 2)
D) (−2; −3)
4.
(96-3-76) x ni toping.
½
2x − 3y = 3
x + 2y = 5
A) 1
B) 2
C) 3
D) −2
5.
(96-9-17) x ni toping.
½
3x − 4y = 3
x + 2y = 1
A) 1
B) 0
C) −1
D) 2
6.
(96-9-72) (x; y) sonlar jufti
½
3x − 2y = −8
x + 3y = 1
sistemaning yechimi bo’lsa, y − x ni toping.
A) 0
B) −1
C) −2, 5
D) 3
7.
(96-11-25) Quyidagi juftliklardan qaysi biri
tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi?
½
x + y = 5
x − y = −1
A) (2; 3)
B) (1; 4)
C) (4; 1)
D) (3; 2)
8.
(96-12-74) Sistemani yeching va y ning qiymatini
toping.
½
2x − 3y = 3
x + 2y = 5
A) 2
B) 1
C) 3
D) 1, 5
9.
(96-13-17) Sistemadan x ni toping.
½
3x − 4y = 3
x + 2y = 1
A) −1
B) 3
C) 2
D) 1
10.
(97-1-11) (x; y) sonlar jufti tenglamalar sistema-
sining yechimi, x · y ni toping.
½
2x + y − 8 = 0
3x + 4y − 7 = 0
A) −90
B) 12
C) −10
D) 80
Yechish: Sistemaning birinchi tenglamasidan y
ni topamiz y = 8 − 2x va uni ikkinchi tenglamaga
qo’yamiz: 3x + 4(8 − 2x) = 7 ⇐⇒ 25 = 5x. Bu
yerdan x = 5 ni olamiz. x ning bu qiymatini
y = 8 − 2x ga qo’yib y = −2 ni olamiz. Ularning
ko’paytmasi xy = 5 · (−2) = −10 ekan. Javob:
−10 (C).
11.
(97-3-21) Agar
½
5x + 2y = −3
x − 3y = −4
bo’lsa, x
2
− y
2
ning qiymatini toping.
A) 2
B) 1
C) 0
D) 2, 5
12.
(97-6-11) (x; y) sonlar jufti
½
x + 2y − 3 = 0
2x − 3y + 8 = 0
tenglamalar sistemasining yechimi, x+y ni hisob-
lang.
A) −1
B) 1
C) 3
D) 4, 5
13.
(97-10-21) Agar
½
3x − 2y = 1
4x − y = −2
bo’lsa, y
2
− x
2
ning qiymatini toping.
A) −1
B) −3
C) 3
D) 5
14.
(98-3-16) Sistemadan x ni toping.
½
3x + 4y = 11
5x − 2y = 1
A) 2
B)
3
2
C)
5
2
D) 1
15.
(98-10-64) Sistemadan y ni toping.
½
3x + 4y = 11
5x − 2y = 1
A) 0
B) 1
C) 2
D) −2

65
16.
Tenglamalar sistemasini yeching.
½
x + y = 8
x + 2y = 12
A) (4; 4)
B) (−4; −4)
C) (−4; 4)
D) (4; 6)
17.
(97-4-7) a = 4b va c + 3b = 0 (b 6= 0) bo’lsa,
a
c
ni
toping.
A) −
1
3
B) 1
1
3
C) 1
2
3
D) −
4
3
Yechish: Sistemadan a = 4b, c = −3b ekanligi
kelib chiqadi. Demak,
a
c
=
4b
−3b
= −
4
3
. Javob:
−
4
3
(D).
18.
(97-8-17) Agar 2m+n = 2, 2n+p = 6 va 2p+m =
4 bo’lsa, m + n + p ni toping.
A) 6
B) 4
C) 5
D) 3
19.
(97-12-16) Agar 2q − 4p = −9, 2t − 4q = −7 va
2p−4t = 2 bo’lsa, p+q +t ning qiymatini toping.
A) −7
B) 8
C) 7
D) −8
20.
(00-4-39) Agar 3a + 4b = 16 va 2c − b = 1 bo’lsa,
3a + 8c ning qiymatini toping.
A) 18
B) 4
C) 20
D) 23
21.
(00-1-11) Agar
a
2
− 4a + 5 + b
2
− 2b = 0
bo’lsa, (a + b)
3
ning qiymatini toping.
A) 26
B) 27
C) 28
D) 25
22.
(02-12-2) Agar x + y = 4, y + z = 8 va x + z = 6
bo’lsa, x − y + 2z ning qiymatini hisoblang.
A) 8
B) 6
C) 7
D) 10
23.
(02-12-19) Nechta natural sonlar jufti
x
2
− y
2
= 105
tenglikni qanoatlantiradi?
A) 3
B) 4
C) 2
D) 5
4.5.2
Parametrli tenglamalar sistemasi
1.
(00-5-27) k ning qanday qiymatida
½
kx + 4y = 4
3x + y = 1
tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’ladi?
A) k 6= 12
B) k = 9
C) k 6= 19
D) k = 12
Yechish: 1-qoidaga ko’ra, sistema
a
1
a
2
6=
b
1
b
2
shartda
yagona yechimga ega. Bu shart berilgan sistema
uchun
k
3
6=
4
1
shartdan iborat. Bu yerdan k 6= 12.
Javob: k 6= 12 (A).
2.
(01-7-19) a ning qanday qiymatida
½
x + y = a
xy = 9
tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega?
A) 3
B) 6
C) −3
D) −6; 6
3.
(01-10-28) a ning qanday qiymatida



2x + 3y = 5
x − y = 2
x + 4y = a
tenglamalar sistemasi yechimga ega?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
4.
(02-1-46) Agar
½
ax + by = 3
bx + ay = 2
tenglamalar sistemasi x = 3, y = 2 yechimga ega
bo’lsa, a ning qiymatini toping.
A) 4
B) 5
C) 3
D) 1
5.
(02-9-15) Agar y − x = 2 va a > 0 bo’lsa,
½
y
2
− x
2
= 8a
y + x = a
2
tenglamalar sistemasini yeching.
A) (5; 7)
B) (7; 9)
C) (4; 6)
D) (−6; −4)
6.
(99-9-16) k ning qanday qiymatida
½
3x + 6y = k
9x + 18y = k + 1
tenglamalar sistemasi cheksiz ko’p yechimga ega?
A)
1
3
B) 1
C)
1
2
D)
2
3
Yechish: Sistemaning cheksiz ko’p yechimga ega
bo’lishlik sharti 2-dan
3
9
=
6
18
=
k
k + 1
ni olamiz.
Bu yerdan k =
1
2
. Javob:
1
2
(C).
7.
(01-2-15) k ning qanday qiymatida
½
3x + (k − 1)y = k + 1
(k + 1)x + y = 3
tenglamalar sistemasi cheksiz ko’p yechimga ega
bo’ladi?
A) −1
B) −2
C) 0
D) 2
8.
(98-3-24) k ning qanday qiymatlarida
½
(k
2
− k − 1)x + 2, 5y = 5
2x + y = −k
sistemaning birorta ham yechimi bo’lmaydi?
A) −2
B) −2 va 3
C) 3
D) 4 va 3
Yechish: Sistemaning yechimga ega bo’lmaslik
sharti 3 − dan
½
k
2
− k − 1 = 5
k 6= −2

66
ni olamiz. Sistema 1− tenglamasining yechimlari
k
1
= −2 va k
2
= 3 lardir. Ikkinchi munosabat
k 6= −2 dan yechim faqat k = 3 bo’ladi. Javob:
k = 3 (C).
9.
(98-5-20) a ning qanday qiymatlarida
½
ax − y = 0
x + y = 10
tenglamalar sistemasi yechimga ega bo’lmaydi?
A) −1
B) 2
C) 1
D) −2
10.
(98-10-71) k ning qanday qiymatlarida
½
(k
2
+ k + 1)x + 3y − 6 = 0
x + y + k = 0
sistema birorta ham yechimga ega bo’lmaydi?
A) −2
B) 1
C) −2 va 1
D) 2 va 3
11.
(02-5-10) m ning qanday qiymatlarida
½
mx + 2y + 4 = 0
2x + my − 8 = 0
tenglamalar sistemasi yechimga ega emas?
A) 4
B) −4
C) 2
D) −2; 2
12.
(99-2-17) a ning qanday qiymatida
½
2x + ay = 2
ax + 2y = 3
tenglamalar sistemasi yechimga ega bo’lmaydi?
A) 3
B) ±3
C) 4
D) ±2
13.
(99-1-17) Tenglamalar sistemasi a ning qanday
qiymatlarida yechimga ega emas?
½
a
2
x + 3y = 3
3x + y = 4
A) ±3
B) ±1
C) ±
√
3
D) 0
14.
(03-10-30) a ning nechta qiymatida
½
(a − 2)