M u n d a r I j a

ax + b > 0,
ax + b ≥ 0
(5.1)
ax + b < 0,
ax + b ≤ 0
(5.2)
ko’rinishdagi yoki soddalashtirishdan so’ng shunday ko’-
rinishga keladigan tengsizlik chiziqli tengsizlik deyiladi.
(5.1) va (5.2) da x noma’lum, a va b lar haqiqiy sonlar,
a noma’lum oldidagi koeffitsiyent, b ozod had deyiladi.
Eng sodda x > a, x ≤ b yoki a < x ≤ b, a ≤ x ≤
b ko’rinishdagi tengsizliklarning yechimlari
(a; ∞),
(−∞; b] yoki (a; b], [a; b] shaklda yozish qabul qilin-
gan.
1.
3x + 1 < 10 tengsizlikni yeching.
A) (3; ∞)
B) (1; ∞)
C) (−∞; 3)
D) ∅
Yechish: Berilgan tengsizlikda 1 ni tengsizlik-
ning o’ng qismiga o’tkazib, keyin tengsizlikning
ikkala qismiga 3 ga bo’lib x < 3 ni olamiz. Javob:
(−∞; 3) (C) .
2.
7x + 5 > 19 tengsizlikni yeching.
A) (2; ∞)
B) (7; ∞)
C) (−∞; 2)
D) ∅
3.
2x + 7 ≤ 11 tengsizlikni yeching.
A) [2; ∞)
B) (7; ∞)
C) (−∞; 2]
D) ∅
4.
5x + 9 ≥ 14 tengsizlikni yeching.
A) [1; ∞)
B) [5; ∞)
C) (−∞; 1]
D) ∅
5.
(00-6-10) Tengsizlikni yeching.
1 −
17 − 3x
2
> 1, 5x
A) (−2, 5; 0)
B) (−∞; −2, 5)
C) (−∞; 0)
D) ∅
Yechish: Berilgan tengsizlikning har ikkala qis-
mini 2 ga ko’paytirsak, tengsizlik saqlanadi
2 − 17 + 3x > 3x ⇐⇒ −15 > 0 · x.
Bu tengsizlik yechimga ega emas. Javob: ∅ (D).
6.
Tengsizlikni yeching.
1 − x
2
<
2x + 1
4
A) (
3
4
; ∞)
B) (1; ∞)
C) (−∞;
3
4
)
D) ∅
7.
(01-8-10) Tengsizlikni yeching.
1 − x
2
+ 3 < 3x −
2x + 1
4
A) (1
1
3
; ∞)
B) (1
1
13
; ∞)
C) (1
1
4
; ∞)
D) ∅
8.
(98-2-17) Quyida keltirilgan tengsizliklardan qaysi
biri
3x − a > b − 2x
tengsizlikka teng kuchli emas?
A) 5x − a > b
B) 6x − 2a > 2b − 4x
C) 3x > a + b − 2x
D) a − 3x > 2x − b

71
9.
2x + 5 > a ga teng kuchli tengsizlikni toping.
A) 2x + 5 − a ≥ 0
B) 2x + 5 − a > 0
C) 2x < a − 5
D) −2x < −5 − a
10.
(00-8-33) k ning 4y
2
−3y+k = 0 tenglama haqiqiy
ildizlarga ega bo’lmaydigan eng kichik butun
qiymatini toping.
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
Yechish: 4y
2
− 3y + k = 0 kvadrat tenglama
haqiqiy ildizlarga ega bo’lmasligi uchun D < 0
bo’lishi kerak:
D = 9 − 16k < 0 ⇐⇒ k >
9
16
.
Bu tengsizlikni qanoatlantiruvchi eng kichik bu-
tun son k = 1. Javob: 1 (A) .
11.
(02-2-10) Tengsizlikni qanoatlantiruvchi eng katta
butun sonni toping.
(x + 1)
2
> (x + 2)
2
A) −2
B) −1
C) −3
D) −4
12.
(02-3-18) Tengsizlikni qanoatlantiruvchi eng kichik
butun manfiy son nechaga teng?
8 +
6x − 8
10
>
x − 2
6
+
1 − 5x
8
+
1
4
A) −6
B) −7
C) −5
D) −4
13.
(03-11-64) Tengsizlikning eng katta butun yechi-
mini ko’rsating.
2x − 7
6
+
7x − 2
3
< 3 −
1 − x
2
A) 2
B) −1
C) 1
D) 0
5.2
Chiziqli tengsizliklar sistemasi
1.
(97-7-25) Tengsizliklar sistemasini yeching.
½
3x + 7 ≥ 5(x + 1) + 6
(x − 2)
2
− 8 < x(x − 2) + 10
A) (−11; 2]
B) [−2; 7)
C) (−7; −2]
D) [2; 11)
Yechish: Qavsrlarni ochamiz:
½
3x + 7 ≥ 5x + 5 + 6
x
2
− 4x + 4 − 8 < x
2
− 2x + 10
Endi x qatnashgan hadlarni tengsizlikning chap
qismiga, sonlarni tengsizlikning o’ng qismiga o’tka-
zib quyidagi sistemani olamiz:
½
−2x ≥ 4
−2x < 14
⇐⇒
½
x ≤ −2
x > −7
⇐⇒ −7 < x ≤ −2.
Demak, x ∈ (−7; −2]. Javob: (−7; −2] (C).
2.
(97-3-25) Tengsizliklar sistemasini yeching.
½
2x − 3(x − 5) > 10 − 3x
x(x + 2) − 4 ≤ (x − 1)
2
+ 7
A) [2; 12, 5) B) [2, 5; ∞) C) [−3; 2) D) (−2, 5; 3]
3.
(96-7-25) Tengsizliklar sistemasini yeching.
½
x(x + 1) + 10 > (x + 1)
2
+ 3
3x − 4(x − 7) ≥ 16 − 3x
A) [−3; 5)
B) (2; 4]
C) [−6; 6)
D) [6, ∞)
4.
(97-10-25) Tengsizliklar sistemasini yeching.
½
4(x − 3) − 3 > 8x + 1
2 + x(x + 3) ≤ (x + 2)
2
+ 5
A) (4; 7] B) (−∞; −7) C) (−4; ∞) D) [−7; −4)
5.
(01-8-14) Tengsizliklar sistemasini yeching.
( 3x − 2
4
>
1 − 5x
6
3x − 1 ≤ 3 − 2x
A) (
8
19
; ∞) B) (
8
19
;
4
5
] C) (−∞;
4
5
] D) x ∈ R
6.
(97-6-14) Tengsizliklar
½
7x + 3 ≤ 9x − 1
20 − 3x ≥ 4x − 15
sistemasi butun yechimlarining o’rta arifmetigini
toping.
A) 3, 5
B) 7
C) 4
D) 3
Yechish: Sistemada x qatnashgan hadlarni teng-
sizlikning chap qismiga, ozod hadlarni tengsiz-
likning o’ng qismiga o’tkazib, berilgan sistemaga
teng kuchli bo’lgan quyidagi sistemani olamiz:
½
−2x ≤ −4
−7x ≥ −35
⇐⇒
½
x ≥ 2
x ≤ 5
⇐⇒ 2 ≤ x ≤ 5.
So’nggi tengsizlikni butun yechimlari 2, 3, 4, 5 lar-
dir. Ularning o’rta arifmetigi (2 + 3 + 4 + 5) : 4 =
14 : 4 = 3, 5. Javob: 3, 5 (A).
7.
(97-1-14) Tengsizliklar sistemasi butun yechim-
larining o’rta arifmetigini toping.
½
5x − 2 ≥ 2x + 1
2x + 3 ≤ 18 − 3x
A) 3
B) 2, 5
C) 2
D) 1, 5
8.
(97-11-14) Tengsizliklar sistemasi butun yechim-
larining o’rta arifmetigini toping.
½
2x − 1 ≥ 3x − 4
8x + 7 > 5x + 4
A) 2
B) 2, 5
C) 1, 5
D) 0, 75
9.
(02-2-11) Tengsizliklar sistemasi butun yechim-
larining o’rta arifmetigini toping.
½
2x − 10 > 0
27 − x > 0
A) 16
B) 18
C) 17
D) 15

72
10.
(96-1-22) Tengsizliklar sistemasi nechta butun
yechimga ega?
½
3 + 4x ≥ 5
2x − 3(x − 1) > −1
A) 5
B) 3
C) 4
D) 2
11.
(96-6-16) Tengsizliklar sistemasining eng katta bu-
tun yechimini toping.
½
−2x < 22
x + 4 < 8
A) 4
B) 3
C) −11
D) −12
12.
(96-9-73) Tengsizliklar sistemasi nechta butun
yechimga ega?
½
3 − 4x > 5
2 + 3(x − 1) ≤ 4x + 3
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
13.
(97-2-16) Tengsizliklar sistemasining eng kichik
butun yechimimini toping?
½
x + 8 < 12
−3x < 15
A) −5
B) −3
C) −6
D) −4
14.
(97-8-16) Tengsizliklar sistemasining barcha bu-
tun yechimlari ko’paytmasini toping.
½
−4y < 12
y + 6 < 6
A) 2
B) 6
C) −6
D) −2
15.
(97-12-15) Tengsizliklar sistemasining eng katta
va eng kichik butun yechimlari yig’indisini to-
ping.
½
−2x > −26
x − 3 > 1
A) 17
B) 16
C) 18
D) 19
16.
(98-3-15) Tengsizliklar sistemasining butun yechim-
lari yig’indisini toping?
½
x + 1 < 2x − 4
3x + 1 < 2x + 10
A) 9
B) 5
C) 20
D) 21
17.
(98-1-6) Qo’sh tengsizlikni yeching.
−3 < 2 − 5x < 1
A) (−1; 0, 2)
B) (−1; −0, 2)
C) (−0, 2; 1)
D) (0, 2; 1)
Yechish: Sistemaning har bir qismidan 2 ni ayirib
−5 < −5x < −1 ni olamiz. Bu tengsizlikni
−5 ga bo’lamiz (bu holda tengsizliklar qarama-
qarshisiga o’zgaradi, chunki −5 manfiy son) va
natijada 1 > x > 0, 2 yoki 0, 2 < x < 1 ga ega
bo’lamiz. Javob: (0, 2; 1) (D).
18.
(98-8-6) Qo’sh tengsizlikni yeching.
−4 < 2 − 4x < −2
A) (−1, 5; −1)
B) (1; 2)
C) (0; 1)
D) (1; 1, 5)
19.
(99-8-9) 5 < x < 98 tengsizlikni qanoatlantiruv-
chi va bo’luvchisi 12 ga teng bo’lgan nechta natu-
ral son mavjud?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 6
20.
(99-8-79) Tengsizlik nechta natural yechimga ega?
17, 556 : 5, 7 ≤ y < 31, 465 : 3, 5
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
21.
(98-8-1) Tengsizlikning barcha natural yechimla-
rini toping.
1256 : 314 < 9x − 32 ≤ 2976 : 96
A) 4; 5; 6
B) 5; 6; 7
C) 6; 7; 8
D) 7; 8
22.
(98-1-1) Tengsizlikning barcha natural yechimla-
rini toping.
6798 : 103 < 54 + 6x < 9156 : 109
A) 2; 3; 4
B) 4; 5; 6
C) 3; 4
D) 4; 5
23.
(99-9-24) Tengsizlikning eng katta butun yechimi,
eng kichik butun yechimidan qanchaga katta?
½
2x − 3 ≤ 17
14 + 3x > −13
A) 17
B) 19
C) 16
D) 18
Yechish: Sistemada ozod hadlarni tengsizlikning
o’ng qismiga o’tkazib, berilgan sistemaga teng
kuchli bo’lgan quyidagi sistemani olamiz:
½
2x ≤ 20
3x > −27
⇐⇒
½
x ≤ 10
x > −9
⇐⇒ −9 < x ≤ 10.
Bu tengsizlikning eng katta butun yechimi 10,
eng kichik butun yechimi −8 dir. Ularning farqi
10 − (−8) = 18. Javob: 18 (D).
24.
(98-10-40) Sistemaning eng katta butun va eng
kichik butun yechimlari yig’indisini toping.
½
2x − 3 < 17
4x + 6 > 8
A) 8
B) 11
C) 12
D) 10
25.
(98-10-63) Tengsizliklar sistemasining butun
yechimlari yig’indisini toping.
½
−x − 5 < −2x − 2
−2x + 2 > 3 − 3x
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
26.
(98-11-25) Tengsizliklar sistemasining butun
yechimlari yig’indisini toping.
½
0, 4(2x − 3) > x − 2
3x − 7 ≥ x − 6
A) 10
B) 5
C) 6
D) 8

73
5.3
Oraliqlar usuli
Kasr ratsional tengsizliklarni yechishning eng qo’lay
usullaridan biri – oraliqlar usulidir. Bizdan
x
2
+ 2x − 3
x
2
+ 2x − 8
> 0
(5.3)
kasr tengsizlikni yechish talab qilinsin. Ma’lumki, kasr
musbat bo’lishi uchun uning maxraji va surati bir xil
ishorali bo’lishi kerak. Shunday ekan (5.3) tengsizlik
quyidagi ikki tengsizliklar sistemasiga teng kuchlidir:
½
x
2
+ 2x − 3 > 0
x
2
+ 2x − 8 > 0
yoki
½
x
2
+ 2x − 3 < 0
x
2
+ 2x − 8 < 0
Bu sistemani yechish yana qismlarga ajratiladi. Agar
(x − 1)(x − 3)(x − 5)
(x + 2)(x + 4)(x + 6)
> 0
ko’rinishdagi tengsizliklarni yechish talab qilinsa, ish
yanada qiyinlashadi. Shuning uchun bunday ko’rinish-
dagi tengsizliklar odatda oraliqlar usuli bilan yechiladi.
Oraliqlar usulining mohiyati quyidagicha: Agar P (x)
ko’phad bo’lib, uni
P (x) = p(x)(x − x
1
)
r
1
(x − x
2
)
r
2
· · · (x − x
n
)
r
n
(5.4)
ko’rinishda tasvirlash mumkin bo’lsin. Bunda p(x) ha-
qiqiy ildizlarga ega bo’lmagan ko’phad bo’lib, x ning
barcha qiymatlarida faqat yo musbat yo manfiy qiy-
matlar qabul qiladi. Aniqlik uchun p(x) > 0 va x
1
<
x
2
< · · · < x
n
bo’lsin. Agar x > x
n
bo’lsa, (5.4)
dagi hamma ko’paytuvchilar musbat bo’lib, P (x) > 0
bo’ladi. Agar (x − x
n
) chiziqli ko’paytuvchi (5.4) da
toq (r
n
= 2m − 1 toq son) daraja bilan qatnashsa,
u holda x
n−1
< x < x
n
bo’lganda (5.4) dagi so’nggi
ko’paytuvchi manfiy, boshqa hamma ko’paytuvchilar
musbat bo’ladi. Bu holda P (x) < 0 bo’ladi. Bunda
P (x) ko’phad x
n
ildizdan o’tganda ishorasini o’zgartiradi
deyiladi.
Agar (x − x
n
) chiziqli ko’paytuvchi (5.4)
da juft (r
n
= 2m juft son) daraja bilan qatnashsa,
u holda x
n−1
< x < x
n
bo’lganda (5.4) dagi bar-
cha ko’paytuvchilar musbat bo’lib, P (x) > 0 bo’ladi.
Bunda P (x) ko’phad x
n
ildizdan o’tganda ishorasini
o’zgartirmaydi deyiladi.
Xuddi shunday muhokama qilish usuli bilan quyidagi
xulosaga kelish mumkin: P (x) ko’phad, x o’zgaruvchi
x
k
ildizdan o’tganda (x − x
k
) chiziqli ko’paytuvchi toq
darajada bo’lsa, ishorasini o’zgartiradi va juft darajada
bo’lsa, ishorasini o’zgartirmaydi. Ko’phadning bu xos-
sasi yuqori darajali tengsizliklarni yechishda foydalani-
ladi. Quyidagi ikki misolni qaraymiz:
1-misol. Tengsizlikni yeching.
P (x) = (x
2
+2x+3)(x−1)
2
(x−3)
5
(x−7)
9
≤ 0. (5.5)
Yechish: Bu yerda p(x) = x
2
+ 2x + 3 = (x + 1)
2
+
2 > 0. Ko’phad ildizlari 1; 3 va 7 larni sonlar o’qida
belgilab chiqamiz. Natijada sonlar o’qi (−∞; 1), (1; 3),
(3; 7) va (7; ∞) oraliqlarga ajraydi (5.1-chizmaga qarang).
Agar x > 7 bo’lsa, (5.5) dagi barcha ko’paytuvchilar
musbat bo’lib P (x) > 0 bo’ladi. Endi 3 ≤ x ≤ 7
bo’lsin, u holda (x−7)
9
≤ 0 bo’lib, qolgan ko’paytuvchilar
musbat bo’ladi va P (x) ≤ 0. Endi 1 < x < 3 bo’lsin, u
holda (x − 3) toq daraja bilan qatnashgani uchun P (x)
ishorasini o’zgartiradi, ya’ni P (x) > 0 bo’ladi. Agar
x < 1 bo’lsa, P (x) ko’phad ishorasini o’zgartirmaydi,
chunki x − 1 chiziqli ikki had (5.5) da juft daraja bi-
lan qatnashyapti, ya’ni P (x) > 0 bo’ladi. P (1) =
0 bo’lganligi uchun 1 nuqta ham (5.5) tengsizlikning
yechimi bo’ladi. Demak, (5.5) tengsizlikning yechimi
[3; 7] ∪ {1} to’plamdan iborat.
2-misol. Tengsizlikni yeching.
(x − 1)
2
(x − 3)
4
(x − 5)
3
(x + 2)
5
(x + 4)
7
(x + 6)
8
> 0.
(4)
Yechish: Kasr surati va maxrajidagi ko’phadning
ildizlari 1, 3, 5 va −2, −4, −6 larni sonlar o’qida bel-
gilab chiqamiz va oraliqlarga + va − ishoralarni qo’yib
chiqamiz (5.2-chizmaga qarang). Demak, (4) tengsizlik-
ning yechimi (−4; −2)∪(5; ∞) to’plamdan iborat ekan.
1. Oraliqlar usuli.
1.
(96-3-25) Tengsizlikni yeching.
(x − 2)(x + 3) > 0
A) (−∞; 2) ∪ (3; ∞)
B) (−∞; −3) ∪ (2; ∞)
C) (−∞; −2) ∪ (3; ∞)
D) (−∞; ∞)
Yechish: Berilgan ifoda nolga aylanadigan −3, 2
nuqtalarni sonlar o’qida belgilab olamiz, natijada
sonlar o’qi (−∞; −3), (−3; 2) va (2; ∞) oraliq-
larga bo’linadi (5.3-chizmaga qarang). Agar x >
2 bo’lsa, ifodadagi barcha ko’paytuvchilar mus-
bat bo’ladi. Ikkinchi (−3; 2) oraliqda ifoda ishora-
sini o’zgartiradi, ya’ni manfiy qiymatlar qabul
qiladi. Uchinchi (−∞; −3) oraliqda ifoda yana
ishorasini o’zgartiradi, ya’ni ifoda musbat qiy-
matlar qabul qiladi. Shunday
qilib
tengsiz-
likning yechimi (−∞; −3) ∪ (2; ∞) to’plamdan
iborat bo’ladi. Javob: (−∞; −3) ∪ (2; ∞) (B).

74
2.
(96-11-26) Tengsizlikni yeching.
(x − 1)(x + 2) > 0
A) (−∞; 1) ∪ (2; ∞)
B) (0; ∞)
C) (−∞; −2) ∪ (1; ∞)
D) (−∞; ∞)
3.
(96-12-26) Tengsizlikni yeching.
(x + 2)(x − 3) > 0
A) (−∞; ∞)
B) (−∞; −3) ∪ (2; ∞)
C) (0; ∞)
D) (−∞; −2) ∪ (3; ∞)
4.
(97-5-23) Tengsizlikni yeching.
x − 1
x − 2
≥ 0
A) [1; 2)
B) (−∞; 1) ∪ (2; ∞)
C) (1; 2)
D) (−∞; 1] ∪ (2; ∞)
5.
(97-9-23) Tengsizlikni yeching.
x − 2
x − 1
≤ 0
A) (1; 2]
B) [1; 2) C) [1; 2]
D) (−∞; 1)
6.
(97-9-24) Tengsizlikni yeching.
(x + 3)(x − 5)
x + 1
≥ 0
A) (−3; −1] ∪ [5; ∞)
B) (−3; −1) ∪ [5; ∞)
C) [−3; −1) ∪ [5; ∞)
D) [−3; −1)
7.
(01-3-35) Tengsizlikni yeching.
x + 1
x − 2
≤ 0
A) (−∞; 1]
B) [−1; 2)
C) (−1; 2]
D) (2; ∞)
8.
Tengsizlikni yeching.
(x − 2)(x − 4)(x − 5)
2
≤ 0
A) (−∞; 2]
B) [2; 4] ∪ {5}
C) [2; 4]
D) ∅
9.
(97-12-22) Tengsizlikning eng katta va eng kichik
butun yechimlari yig’indisini toping.
(x + 4)(3 − x)
(x − 2)
2
> 0
A) 1
B) −1
C) −2
D) 2
Yechish: Berilgan kasrning surati nolga aylanadi-
gan −4 va 3, maxraji nolga aylanadigan 2 larga
mos keluvchi nuqtalarni sonlar o’qida belgilab ola-
miz va oraliqlar usulini qo’llaymiz (5.4-chizmaga
qarang). Chizmadan ma’lum bo’ldiki, bu tengsi-
zlikning yechimi (−4; 2) ∪ (2; 3) to’plamdan ib-
orat. Bu to’plamdagi eng katta butun son 1, eng
kichik butun son esa −3 dir. Ularning yig’indisi
1 + (−3) = −2. Javob: −2 (C).
10.
(96-6-23) Tengsizlikning barcha butun yechimlari
yig’indisini toping.
(y + 6)(y + 2) < 0
A) 12
B) 20
C) −12
D) −20
11.
(99-5-13) Tengsizlikning barcha butun yechimlari
yig’indisini toping.
(x − 1)(x + 1)
2
(x − 3)
3
(x − 4)
4
≤ 0
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
12.
(00-9-21) Tengsizlikning barcha butun yechimlari
yig’indisini toping.
(x + 3)(x − 2)
2
(x + 1)
3
(x − 5)
4
≤ 0
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
13.
(01-6-15) Tengsizlikning barcha butun sonlardagi
yechimlari yig’indisini toping.
x − 4
2x + 6
≤ 0
A) 7
B) 6
C) 8
D) 5
14.
(02-4-12) Tengsizlikni qanoatlantiruvchi eng katta
butun sonni toping.
x + 5
(x + 6)
2
< 0
A) 6
B) −6
C) 5
D) −7
2. Oraliqlar usuliga keltirib yeching.
15.
(98-6-23) Tengsizlikni yeching.
x
2
− 2x + 3
x − 1
≥ 0
A) (1; ∞)
B) [1; ∞)
C) (−∞; 1)
D) (−∞; 1]
Yechish: Berilgan kasrning surati x
2
− 2x + 3 =
(x − 1)
2
+ 2 > 0 doim musbat. Shuning uchun
uning maxraji ham musbat bo’lishi kerak, ya’ni
x − 1 > 0 ⇐⇒ x > 1. Javob: (1; ∞) (A).
16.
(99-3-13) Tengsizlikni yeching.
x + 2 − x
2
x
3
+ 1
≥ 0
A) (−∞; 2]
B) [2; ∞)
C) (−∞; −1) ∪ (−1; 2]
D) (−1; 2)

75
17.
(01-3-36) Tengsizlikni yeching.
x
2