M u n d a r I j a

m = 1 B) m = 0 C) m = −1 D) m = 2
12.
(97-10-22) n ning qanday qiymatlarida nx + 5 =
n − 2x tenglamaning ildizi mavjud emas?
A) 5
B) −2
C) 1
D) −5
13.
(99-7-21) a ning
(a
2
− 4)x + 5 = 0
tenglama yechimga ega bo’lmaydigan barcha qiy-
matlari ko’paytmasini toping.
A) 4
B) −4
C) 0
D) 2
14.
(99-8-21) Tenglama a ning qanday qiymatida
yechimga ega emas?
6x − a − 6 = (a + 2)(x + 2)
A) 4
B) 2
C) −2
D) 6
15.
(00-3-11) k ning qanday qiymatida
k(k + 6)x = k + 7(x + 1)
tenglama yechimga ega bo’lmaydi?
A) 1 va 7
B) 1
C) 7
D) 1 va −7
16.
(02-7-7) a ning qanday qiymatida
3x − a
5
=
ax − 4
3
tenglama ildizga ega emas?
A) 1, 8
B) 2
C) 2, 2
D) 1
17.
(02-11-9) Tenglamani yeching.
2x + 3
2
+
2 − 3x
3
= 2, 1(6)
A) ∅
B) 2
C) −2
D) x ∈ R
Yechish: Tenglamaning ikkala qismini 6 ga ko’-
paytiramiz:
6x + 9 + 4 − 6x = 6 · 2, 1(6).
2, 1(6) davriy kasrni oddiy kasrga aylantirsak, u
2
16 − 1
90
= 2
1
6
=
13
6
ko’rinish oladi. Natijada
(6 − 6)x = 13 − 13 tenglikka ega bo’lamiz. Bu
tenglik barcha x ∈ R lar uchun o’rinli. Javob:
x ∈ R (D).
18.
(03-8-11) Tenglamani yeching.
6x + 2
4
+
2x + 3
2
− 2, 5x + 2 = 4
A) ∅
B) x ∈ R
C) 10
D) −10
19.
Tenglamani yeching.
x + 2
3
+
7x − 1
2
= 3, 8(3)x + 0, 1(6)
A) ∅
B) x ∈ R
C) 10
D) −10
20.
(98-1-20) m ning qanday qiymatlarida
m(mx − 1) = 9x + 3
tenglama cheksiz ko’p ildizga ega?
A) m = 0
B) m = 3
C) m = −3
D) m = −1
Yechish: Qavslarni ochamiz.
m
2
x − m = 9x + 3
Uni (m
2
−9)x−(m+3) = 0 ko’rinishga keltiramiz.
Bu tenglama cheksiz ko’p yechimga ega bo’lishi
uchun (2-qoidaga qarang)
½
m
2
− 9 = 0
m + 3 = 0
bo’lishi kerak. Demak, m = −3.
Javob: −3 (C).
21.
(96-7-22) a ning qanday qiymatlarida ax − a =
x−1 tenglama cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi?
A) a = 1
B) a = 2
C) a = −1
D) a ∈ R

54
22.
(96-10-21) n ning qanday qiymatlarida nx + 1 =
n+x tenglama cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi?
A) n = 0
B) n = 1
C) n = 2
D) n 6= 1
23.
(97-7-22) m ning qanday qiymatlarida m
2
x−m =
x + 1 tenglama ildizlari cheksiz ko’p bo’ladi?
A) m = 1 B) m = 0 C) m = −1 D) m = ±1
24.
(98-12-28) Tenglama a ning qanday qiymatlarida
cheksiz ko’p yechimga ega?
10(ax − 1) = 2a − 5x − 9
A) −
1
2
B) 2
C)
1
2
D) −2
25.
(01-1-10) a ning qanday qiymatida
(a
2
+ 2)x = a(x − a) + 2
tenglamaning ildizlari cheksiz ko’p bo’ladi?
A) −
√
2
B)
√
2
C)
√
2; −
√
2
D) ∅
26.
(03-7-44) Tenglamani yeching.
3 + 25x
3x + 7
= 5
A) −3, 2
B) 1, 5
C) −1
1
5
D) 3, 2
27.
(03-7-48) Tenglamani yeching.
³
1, 7 :
³
1
2
3
· x − 3, 75
´´
:
8
25
= 1
5
12
A) 5, 2
B) 5
3
4
C) 4
D) 4, 5
28.
(99-8-11) Tenglamani yeching.
(x − 12) :
3
8
0, 3 · 3
1
3
+ 7
= 1
A) 25
B) 14
C) 15
D) 16
29.
(01-8-4) Tenglamani yeching.
³
4
3
8
x + 5
1
16
´
·
4
15
=
5
12
x + 2
2
5
A)
1
15
B) 1
2
5
C)
3
185
D) 2
1
5
30.
(02-7-43) 986
2
− 319
2
= 2001 · n bo’lsa, n ning
qiymatini toping.
A) 435
B) 443
C) 515
D) 475
31.
(03-11-57) Tenglamani yeching.
12
³
1
3
4
x +
5
8
´
= −6
1
2
A) −
1
3
B) −
2
3
C)
2
3
D) −
13
21
32.
(02-7-6) m ning qanday qiymatida
6x − m
2
=
7mx + 1
3
tenglamaning ildizi nolga teng bo’ladi?
A) −
2
3
B)
4
5
C) −
3
2
D)
1
2
4.2.1
Proporsiya
Proporsiya xossalari 1.2.5-bandda keltirilgan.
1.
(96-9-75) Proporsiyaning noma’lum hadini toping.
3
3
5
: 2
7
10
= 3
3
4
: x
A) 2
13
16
B) 2
3
10
C) 3
1
3
D) 1
15
16
Yechish: Proporsiya o’rta hadlarining ko’paytmasi
uning chetki hadlari ko’paytmasiga tengligidan
2
7
10
· 3
3
4
= x · 3
3
5
⇐⇒
27
10
·
15
4
:
18
5
= x
ni olamiz. Ko’paytirish va bo’lishni bajarib x =
2
13
16
ekanligini olamiz. Javob: 2
13
16
(A).
2.
(00-5-10) Tenglamani yeching.
1
1
12
x : 2
1
12
= 2
3
5
A) 5
B) 3
C) 1
5
12
D) 4
3.
(98-12-12) Tenglamani yeching.
(12, 5 − x) : 5 = (3, 6 + x) : 6
A) 5
2
11
B) 5
3
11
C) 5
4
11
D) 5
1
11
4.
(96-7-12) Proporsiyaning noma’lum hadini toping.
6, 9 : 4, 6 = x : 5, 4
A) 7, 1
B) 7, 7
C) 8, 1
D) 8, 4
5.
(97-3-12) Proporsiyaning noma’lum hadini toping.
3, 5 : x = 0, 8 : 2, 4
A) 10, 5
B) 9, 2
C) 13, 5
D) 7, 8
6.
(97-7-12) Proporsiyaning noma’lum hadini toping.
5, 4 : 2, 4 = x : 1, 6
A) 3, 6
B) 4
C) 2, 8
D) 4, 6
7.
(97-10-12) Proporsiyaning noma’lum hadini to-
ping.
0, 25 : 1, 4 = 0, 75 : x
A) 3, 6
B) 2, 4
C) 4, 2
D) 5, 2
8.
(98-7-13) Tenglamani yeching.
³ 1
3
+ x
´
: 7 =
³ 3
4
+ x
´
: 9
A) 1
3
8
B) 1
1
8
C) 1
5
8
D) 1
7
8
9.
(03-11-55) Proporsiyaning noma’lum hadini to-
ping.
12
1
2
: 2
1
2
= 16
2
3
: y
A) 3
1
3
B) 3
2
3
C) 3
1
6
D) 3
5
6

55
4.3
Kvadrat tenglamalar
ax
2
+ bx + c = 0
(4.5)
ko’rinishdagi tenglamaga yoki ayniy almashtirishlar-
dan keyin (4.5) ko’rinishga keltirish mumkin bo’lgan
tenglamaga bir noma’lumli ikkinchi darajali tenglama
yoki kvadrat tenglama deyiladi. Bunda x − noma’lum,
a (a 6= 0), b va c − lar ixtiyoriy sonlar. (4.5) tenglam-
aga kvadrat tenglamaning normal shakli deyiladi. a ni
birinchi koeffitsiyent, b ni ikkinchi koeffitsiyent, c ni esa
uchinchi koeffitsiyent yoki ozod had deyiladi. Kvadrat
tenglamaning ildizlari quyidagi formula orqali topiladi
x
1
=
−b −
√
b
2
− 4ac
2a
, x
2
=
−b +
√
b
2
− 4ac
2a
(4.6)
Bunda b
2
− 4ac ga kvadrat tenglamaning diskriminanti
deyiladi va u D harfi bilan belgilanadi: D = b
2
− 4ac.
Agar (4.5) tenglamaning birinchi koeffitsiyenti, ya’ni
a = 1 bo’lsa bunday tenglama keltirilgan kvadrat teng-
lama deyiladi. Keltirilgan kvadrat tenglama odatda
x
2
+ px + q = 0
(4.7)
ko’rinishda yoziladi.
Agar (4.5) tenglamada b = 0 yoki c = 0 yoki b =
c = 0 bo’lsa, ular chala kvadrat tenglamalar deyiladi.
Masalan, ax
2
+ bx = 0 chala kvadrat tenglamaning
ildizlari x
1
= 0, x
2
= −b/a lardir. ax
2
+ c = 0 chala
kvadrat tenglama ac < 0 shartda yechimga ega va un-
ing ildizlari x
1,2
= ±
q
−c
a
, ko’rinishga ega. ax
2
= 0
chala kvadrat tenglamaning ildizi esa x
1
= x
2
= 0 dir.
1.
Viyet teoremasi. Agar x
1
, x
2
sonlar (4.7)
tenglamaning ildizlari bo’lsa, u holda
½
x
1
+ x
2
= −p
x
1
· x
2
= q
tengliklar o’rinli.
2.
Agar D > 0 bo’lsa, u holda (4.5) kvadrat
tenglama ikkita har xil haqiqiy ildizga ega.
3.
Agar D = 0 bo’lsa, u holda (4.5) kvadrat
tenglama bitta haqiqiy ildizga ega.
4.
Agar D < 0 bo’lsa, u holda (4.5) kvadrat
tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas.
5.
ax
2
+ bx + c kvadrat uchhad
ax
2
+ bx + c = a(x − x
1
)(x − x
2
)
ko’paytuvchilarga ajraydi.
Bunda x
1
, x
2
sonlar (4.5) kvadrat tenglamaning ildizlari.
Keltirilgan (4.7) kvadrat tenglamaning ildizlari
quyidagi xossalarga ega.
6.
x
2
1
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
− 2x
1
x
2
= p
2
− 2q.
7.
(x
1
− x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
− 4x
1
x
2
= p
2
− 4q.
8.
x
3
1
+ x
3
2
= 3pq − p
3
.
9.
x
4
1
+ x
4
2
= p
4
− 4p
2
q + 2q
2
.
1.
Kvadrat tenglamani yeching.
x
2
+ 5x − 6 = 0
A) −6; 1
B) −1; 6
C) 1; 6
D) 2; 3
Yechish: Berilgan kvadrat tenglamada a = 1, b =
5, c = −6. Endi kvadrat tenglama yechimga egami
yoki yo’qmi shuni aniqlaymiz. Buning uchun un-
ing diskriminantini hisoblaymiz: D = 5
2
− 4 · 1 ·
(−6) = 25+24 = 49. Kvadrat tenglama diskrimi-
nanti musbat, shuning uchun u ikkita ildizga ega.
Ularni (4.6) formula yordamida hisoblaymiz:
x
1
=
−5 −
√
49
2 · 1
=
−5 − 7
2
= −6,
x
2
=
−5 +
√
49
2 · 1
=
−5 + 7
2
= 1.
Javob: −6; 1 (A).
2.
Kvadrat tenglamani yeching.
2x
2
+ 3x − 14 = 0
A) −7; 2
B) −2; 3
1
2
C) −3
1
2
; 2
D) 2; 3
1
2
3.
Kvadrat tenglamani yeching.
4x
2
+ 12x + 9 = 0
A) −7; 2
B) −1, 5
C) −3
D) ∅
4.
Kvadrat tenglamani yeching.
9x
2
+ 6x + 3 = 0
A) −1;
1
3
B) −2;
1
6
C) −3
D) ∅
5.
(00-8-64) Tenglamani yeching.
1998x
2
− 2000x + 2 = 0
A) 1;
2
1998
B) −1;
2
1998
C) 1; −
2
1998
D) −1; −
2
1998
6.
Tenglamani yeching.
x
2
− 97x + 2010 = 0
A) 30; 67
B) −30; −67
C) 15; 134
D) 2; 1005
7.
Chala kvadrat tenglamani yeching.
2x
2
− 6x = 0
A) 0; 3
B) −2; 6
C) 3
D) ∅
Yechish: Berilgan kvadrat tenglamada a = 2, b =
−6, c = 0. Bu tenglama diskriminantini D =
(−6)
2
−4·2·0 = 36 > 0. Kvadrat tenglama ikkita
ildizga ega. (4.6) formuladan x
1
= 0, x
2
= 3.
Javob: 0; 3 (A).

56
8.
Chala kvadrat tenglamani yeching.
x
2
− 7x = 0
A) 0; 3
B) 7
C) 0; 7
D) 0
9.
Chala kvadrat tenglamani yeching.
9x
2
− 1 = 0
A) 0;
1
3
B) −
1
3
;
1
3
C) 0; −
1
3
D) ∅
10.
Chala kvadrat tenglamani yeching.
3x
2
+
1
3
= 0
A) 0;
1
3
B) −
1
3
; 1
C) 0; −
1
3
D) ∅
11.
(96-1-18) Tenglamaning nechta ildizi bor?
3 − x = −
4
x
A) 1
B) 2
C) 3
D) ildizi yo’q
Yechish: x 6= 0 deb, tenglikning ikkala qismini x
ga ko’paytiramiz va 3x−x
2
+4 = 0 ni olamiz. Bu
kvadrat tenglamaning diskriminanti D = 3
2
− 4 ·
(−1) · 4 = 25 > 0. Shuning uchun u ikkita ildizga
ega. Javob: 2 (B).
12.
(96-9-69) Tenglamaning nechta ildizi bor?
2
x
= x + 2
A) 3
B) 2
C) 1
D) ildizi yo’q
13.
Tenglamaning nechta ildizi bor?
x
2
− 6x + 9 = 0
A) 1
B) 2
C) 3
D) ildizi yo’q
14.
Tenglamaning nechta haqiqiy ildizi bor?
4x
2
+ 8x + 7 = 0
A) 1
B) 2
C) 3
D) ildizi yo’q
15.
(96-7-13) Agar
(3x − 1) · (x − 2) = 0
bo’lsa, 3x − 1 qanday qiymatlarni qabul qilishi
mumkin?
A) faqat
1
3
B) faqat 0
C)
1
3
yoki 0
D) 0 yoki 5
Yechish: (3x−1)·(x−2) = 0 dan x
1
=
1
3
, x
2
= 2
ekanligi kelib chiqadi. Bu qiymatlarni 3x − 1 ga
qo’yib 3x
1
− 1 = 0 va 3x
2
− 1 = 5 ni olamiz.
Javob: 0 yoki 5 (D).
16.
(97-3-13) Agar
(2x + 1) · (x − 1, 5) = 0
bo’lsa, 2x + 1 qanday qiymatlar qabul qiladi?
A) faqat 0
B) faqat −
1
2
C) 0 yoki −
1
2
D) 4 yoki 0
17.
(97-7-13) Agar (x − 5) · (
1
5
x + 4) = 0 bo’lsa,
1
5
x + 4
qanday qiymatlar qabul qiladi?
A) faqat 0
B) faqat −20
C) 0 yoki 5
D) 0 yoki 8
18.
(97-10-13) Agar (4x + 1) · (x −
1
4
) = 0 bo’lsa,
4x + 1 qanday qiymatlar qabul qilishi mumkin?
A) faqat −
1
4
B) faqat
1
4
C) faqat 0
D) 0 yoki 2
19.
(96-3-18) Kvadrat uchhadni chiziqli ko’paytuvchi-
larga ajrating.
x
2
− x − 2
A) (x − 1)(x + 2)
B) (x − 1)(x − 2)
C) (x + 1)(x + 2)
D) (x + 1)(x − 2)
Yechish: Berilgan kvadrat uchhadni chiziqli ko’-
paytuvchilarga ajratish uchun 5-xossadan foydala-
namiz. Shu maqsadda kvadrat tenglamaning ildiz-
larini topamiz. Uning diskriminanti D = (−1)
2
−
4 · 1 · (−2) = 1 + 8 = 9 ga teng. D > 0 bo’lganligi
uchun tenglamaning ikkita ildizi bor. Ularni (4.6)
formula yordamida topamiz
x
1
=
1 − 3
2
= −1,
x
2
=
1 + 3
2
= 2.
5-xossadan x
2
− x − 2 = (x + 1)(x − 2) ni olamiz.
Javob: (x + 1)(x − 2) (D).
20.
(96-11-19) Kvadrat uchhadni chiziqli
ko’paytuvchilarga ajrating.
x
2
− 3x + 2
A) (x − 1)(x + 2)
B) (x − 2)(x + 1)
C) (x − 1)(x − 2)
D) (x + 1)(x + 2)
21.
(97-2-27) Kasrni qisqartiring.
x
2
− 16
x
2
− 5x + 4
A)
4 + x
1 − x
B)
4 − x
x + 1
C)
x + 4
x + 1
D)
x + 4
x − 1
22.
(97-8-26) Kasrni qisqartiring.
y
2
− 3y − 4
y
2
− 1
A)
y + 4
y + 1
B)
4 − y
y − 1
C)
y + 4
y − 1
D)
y − 4
y − 1

57
23.
(00-8-37) Ko’paytuvchilarga ajrating.
3x
2
− 6xm − 9m
2
A) 3(x + m)(x − 3m)
B) (x − 3m)
2
C) 3(x − m)(x + 3m)
D) (3x − m)
2
24.
(00-3-18) Agar
x
2
− 3x − 6 = 0
tenglamaning ildizlari x
1
va x
2
bo’lsa,
1
x
3
1
+
1
x
3
2
ni toping.
A)
1
3
B) 0, 5
C) −0, 5
D) −0, 375
Yechish: Berilgan tenglama uchun p = −3, q =
−6. Qiymati izlanayotgan ifodani
1
x
3
1
+
1
x
3
2
=
x
3
1
+ x
3
2
(x
1
x
2
)
3
shaklda yozib olamiz. Viyet teoremasi va 8-xossaga
ko’ra bu kasrning qiymati
x
3
1
+ x
3
2
(x
1
x
2
)
3
=
3 · (−3) · (−6) − (−3)
3
(−6)
3
= −
81
216
ga teng. Buni o’nli kasrga aylantirib −0, 375 ni
olamiz. Javob: −0, 375 (D).
25.
(96-13-18) x
1
va x
2
sonlar
x
2
+ x − 5 = 0
tenglamaning ildizlari ekanligi ma’lum. x
2
1
+ x
2
2
ning qiymatini toping.
A) 10
B) 12
C) 11
D) 9
26.
(97-4-24) a va b sonlari
3x
2
− 2x − 6 = 0
tenglamaning ildizlari bo’lsa, a
2
+b
2
ni hisoblang.
A) 6
B) 8
C) 4
4
9
D) 4
2
9
27.
(98-4-25) Agar
x
2
+ x − 1 = 0
tenglamaning ildizlari x
1
va x
2
bo’lsa, x
3
1
+ x
3
2
ning qiymati qanchaga teng bo’ladi?
A) 1
B) 3
C) 2
D) −4
28.
(98-5-21) Ushbu
x
2
+ 4x − 5 = 0
tenglamaning ildizlari x
1
va x
2
bo’lsa, x
3
1
· x
3
2
ni
hisoblang.
A) 124
B) −125
C) 130
D) 5
29.
(99-7-23) Agar
x
2
+ 2x + 1 = 0
tenglamaning ildizlari x
1
va x
2
bo’lsa, x
3
1
− x
3
2
ni
hisoblang.
A) 1
B) 3
C) 4
D) 0
30.
(01-10-2) Agar x
1
va x
2
lar x
2
+x−5 = 0 tenglama-
ning ildizlari bo’lsa, x
2
1
x
4
2
+ x
4
1
x
2
2
ning qiymatini
hisoblang.
A) 225
B) 145
C) 125
D) 275
31.
(02-11-13) Agar x
1
va x
2
9x
2
+ 3x − 1 = 0
tenglamaning ildizlari bo’lsa,
3x
1
x
2
x
1
+ x
2
ning qiy-
matini toping.
A) −1
B) 1
C) 2
D)
1
3
32.
(03-1-5) Agar x
1
va x
2
x
2
+ 3x − 3 = 0
tenglamaning ildizlari bo’lsa, x
4
1
+x
4
2
ning qiyma-
tini hisoblang.
A) 207
B) 192
C) 243
D) 168
33.
(03-8-19) Tenglamaning katta va kichik ildizlari
kublarining ayirmasini toping.