M u n d a r I j a

√
3 − 4
19.
(03-7-50) Hisoblang.
q
11 − 4
√
7
A)
√
7 + 2
B)
√
7 − 2
C)
√
7
D) 2 −
√
7
20.
(97-8-27) Hisoblang.
q
11 − 6
√
2 +
q
11 + 6
√
2
A) 8
B) 4
C) 3
D) 6
21.
(97-12-27) Hisoblang.
q
9 − 4
√
2 −
q
9 + 4
√
2
A) 2
B) 3
C) −3
D) −2
22.
(98-7-14) Hisoblang.
³q
3 −
√
5 +
q
3 +
√
5
´
2
· 0, 5
−2
A) 38
B) 30
C) 40
D) 44
23.
(99-10-14) Hisoblang.
p
3 + 2
√
2 +
p
3 − 2
√
2
4
√
2
A)
√
2
4
B) 0, 5
C)
√
2
2
D) 0, 75
24.
(03-1-1) Soddalashtiring.
r
(
π
2
−
√
3)
2
+
r
(
π
3
−
√
2)
2
−
q
5 + 2
√
6
A)
√
3 +
√
2
B)
5π
6
− 2(
√
2 +
√
3)
C)
5π
6
D)
−5π
6

43
3.1.2
Ildizli ifodalarni soddalashtirish
Biz bu bandda arifmetik ildizning xossalari hamda qisqa
ko’paytirish formulalaridan foydalanib misollar yechamiz.
1.
(01-1-62) Ifodani a ≥ 0, 5 da soddalashtiring.
√
a
2
−
p
a
2
+ a + 0, 25 +
p
a
2
− a + 0, 25
A) a − 0, 25
B) a − 0, 5
C) a − 0, 75
D) a − 1
Yechish: a ≥ 0, 5 shartdan hamda a
2
+ a +
0, 25 = (a + 0, 5)
2
, a
2
− a + 0, 25 = (a − 0, 5)
2
tengliklardan, 3.1-mavzudagi 6-qoidaga ko’ra
√
a
2
−
p
a
2
+ a + 0, 25 +
p
a
2
− a + 0, 25 =
= a − (a + 0, 5) + (a − 0, 5) = a − 1
tenglikni olamiz. Javob: a − 1 (D).
2.
(97-6-56) Quyidagi ifodani m = 15 va n = 3
√
2
bo’lgandagi qiymatini hisoblang.
(
√
m + n)
p
m − 2
√
m · n + n
2
m − n
2
A) 1
B) −1
C) −3
D) 0
3.
(01-7-14) Agar a = (2 +
√
3)
−1
va b = (2 −
√
3)
−1
bo’lsa,
(a + 1)
−1
+ (b + 1)
−1
ning qiymatini hisoblang.
A) 2
B) 0, 5
C) 2
√
3
D) 1
4.
(01-10-1) Agar a =
√
2 va b =
3
√
3 bo’lsa,
p
a
2
− 2ab + b
2
+
p
a
2
+ 2ab + b
2
ning qiymatini hisoblang.
A)
√
8
B)
3
√
12
C)
√
18
D)
3
√
24
5.
(02-6-8) x = 5
√
6 va y = 6
√
5 bo’lsa,
p
x
2
+ 2xy + y
2
−
p
x
2
− 2xy + y
2
ning qiymatini hisoblang.
A)
√
720
B)
√
700
C)
√
640
D)
√
600
6.
(97-1-57) Ushbu
(x +
√
y) ·
p
y − 2 ·
√
y · x + x
2
y − x
2
ifodani x = 2
√
6 va y = 23 bo’lganda hisoblang.
A) 1
B) −1
C)
1
2
D) −
1
2
7.
(03-10-12) Agar x =
4
5
m bo’lsa,
√
m + x +
√
m − x
√
m + x −
√
m − x
ning qiymatini toping.
A) 2
B) 2m
C) 4
D) −2
8.
(03-10-15) Agar x < 0 bo’lsa,
p
x
2
− 12x + 36 −
√
x
2
ni soddalashtiring.
A) 6
B) −6
C) 6 − 2x
D) 2x − 6
9.
(01-11-7) Soddalashtiring.
3
a −
√
a
2
− 3
+
3
a +
√
a
2
− 3
A) 1, 5a
B) 3a
C) 2a
D) 2, 5a
Yechish: Birinchi kasr surat va maxraji a +
√
a
2
− 3 ga, ikkinchisini esa a−
√
a
2
− 3 ga ko’pay-
tiramiz, natijada kasrlarning maxraji irratsional-
likdan qutiladi va biz
a +
p
a
2
− 3 + a −
p
a
2
− 3 = 2a
ni olamiz. Javob: 2a (C).
10.
(02-12-25) Soddalashtiring.
3
a −
√
a
2
− 3
−
3
a +
√
a
2
− 3
A) 3a
B) 3
√
a
2
− 3
C) 6a
D) 2
√
a
2
− 3
11.
(02-11-12) Soddalashtiring.
Ã
1 +
√
x + x
x
√
x − 1
!
−1
− x
1
2
A)
√
x + 1
B) 1
C)
√
x − 1
D) −1
12.
(02-12-13) Soddalashtiring.
√
x + 1
x
√
x + x +
√
x
:
1
√
x − x
2
+ x
A) 2x
B) 2
C) 1
D) 2x − 1
13.
(03-8-41) Kasrni qisqartiring.
c − 2
√
c + 1
√
c − 1
A)
√
c − 1 B) c − 1 C) c + 1 D)
√
c + 1
14.
(03-11-5) Soddalashtiring.
a ·
à√
a +
√
b
2b
√
a
!
−1
+ b ·
à√
a +
√
b
2a
√
b
!
−1
A) 2ab
B) ab
C) 4ab
D) 0, 5ab
15.
(99-1-15) Soddalashtiring.
³
1
√
a +
√
b
−
√
a +
√
b
a − b
´
·
a − 2
√
a
√
b + b
2
√
b
A)
√
b −
√
a
√
a +
√
b
B)
√
a −
√
b
√
a +
√
b
C)
√
b +
√
a
√
a −
√
b
D)
√
a −
√
b
a + b
16.
(00-1-20) Soddalashtiring.
³
1
√
a + 1 +
√
a
+
1
√
a −
√
a − 1
´
(
√
a + 1−
√
a − 1)
A) 1
B) 2
C) 2
√
a
D) 2
√
a − 1

44
3.2
n-darajali ildiz
n natural son uchun n − darajasi a ga teng bo’lgan b
son a sonning n − darajali ildizi deyiladi. n − dara-
jali ildizdan b sonni topish a sondan n − darajali ildiz
chiqarish deyiladi. a sondan n − darajali ildiz chiqarish
quyidagicha belgilanadi:
n
√
a = b.
(3.2)
Bu yerda a ildiz ostidagi son, n − ildiz ko’rsatkichi
deyiladi. (3.2) tenglik a va b sonlari orasida quyidagi
bog’lanish borligini bildiradi: b
n
= a. Agar a ≥ 0 ix-
tiyoriy son va n > 1 natural son bo’lsa, b
n
= a teng-
likni qanoatlantiruvchi manfiy bo’lmagan b son mavjud
bo’lib, u yagonadir. Bu b son a ≥ 0 sonning n − dara-
jali arifmetik ildizi deyiladi. a sonning n − darajali
ildizi
n
√
a yoki a
1
n
ko’rinishida yoziladi. Kasr ko’rinishda-
gi sonlar ratsional sonlar bo’lganligi uchun a
m
n
ni rat-
sional ko’psatkichli daraja ham deyiladi. Ko’pincha
ildiz atamasi o’rniga radikal termini ham ishlatiladi.
Ildiz ko’rsatkichi n = 2 bo’lgan ildiz, kvadrat ildiz
deyiladi.
1
n
=
k
kn
tenglikdan
n
√
a = a
1
n
= a
k
kn
=
kn
√
a
k
tengliklar kelib chiqadi. Bu xossadan foydalanib har
xil ildiz ko’rsatkichga ega bo’lgan ildizlarni bir xil ildiz
ko’rsatkich orqali ifodalash mumkin. Masalan,
3
√
2 va
4
√
4 larni
12
√
2
4
=
12
√
16 va
12
√
4
3
=
12
√
64 shaklda
yozish mumkin.
1.
Agar ildiz ko’rsatkichi n − juft son va a > 0
bo’lsa, a son uchun ikkita n − darajali ildiz
mavjud bo’ladi. Bu sonlar absolyut qiy-
matlari teng bo’lgan o’zaro qarama-qarshi
sonlardir. Masalan,
√
16 = ±4,
4
√
81 = ±3.
2.
Agar ildiz ko’rsatkichi n − toq son va a >
0 bo’lsa, a ning ildizi yagona va musbat
bo’ladi. Masalan,
5
√
243 = 3,
3
√
1, 728 = 1, 2.
3.
Agar ildiz ko’rsatkichi n − toq son va a <
0 bo’lsa, a ning ildizi yagona va manfiy
bo’ladi. Masalan,
3
√
−8 = −2,
5
√
−243 = −3.
4.
Agar ildiz ko’rsatkichi n − juft son va a <
0 bo’lsa, a sonning haqiqiy ildizi mavjud
emas, chunki manfiy sonning juft darajasi
musbat son bo’ladi.
5.
Agar ildiz ko’rsatkichi n − natural son va
a = 0 bo’lsa, a sonning ildizi nolga teng
bo’ladi, ya’ni
n
√
0 = 0, chunki 0
n
= 0.
n − darajali arifmetik ildiz quyidagi xossalarga ega.
Bu yerda a > 0, b > 0 va n, m ∈ N sonlar.
1.
a
n
m
=
m
√
a
n
.
2.
m
√
a · b =
m
√
a ·
m
√
b.
3.
m
r
a
b
=
m
√
a
m
√
b
.
4.
a
m
√
b =
m
√
a
m
· b.
5.
n
p
m
√
a =
nm
√
a.
6.
(
n
√
a)
m
=
n
√
a
m
.
7.
n
√
a =
nm
√
a
m
8.
(
n
√
a)
n
= a,
a ≥ 0.
9.
2n+1
√
−a = −
2n+1
√
a.
10.
(
a
b
)
−n
= (
b
a
)
n
.
1.
(00-3-17) Soddalashtiring.
a − a
√
a
3
√
a
2
+
6
√
a
5
+ a
+
3
√
a
2
− a
3
√
a +
√
a
+ 2
√
a
A) 2
3
√
a
B) 2
√
a
C)
3
√
a + 2
√
a
D) 0
Yechish:
6
√
a = x deb belgilaymiz. U holda a =
x
6
,
3
√
a
2
= x
4
,
√
a = x
3
,
3
√
a = x
2
bo’ladi. U
holda berilgan ifoda
x
6
− x
6
· x
3
x
4
+ x
5
+ x
6
+
x
4
− x
6
x
2
+ x
3
+ 2x
3
ko’rinishga keladi. Uni soddalashtiramiz:
x
6
(1 − x
3
)
x
4
(1 + x + x
2
)
+
x
4
(1 − x
2
)
x
2
(1 + x)
+ 2x
3
=
=
x
2
(1 − x)(1 + x + x
2
)
1 + x + x
2
+
x
2
(1 − x)(1 + x)
1 + x
+2x
3
=
= x
2
(1 − x) + x
2
(1 − x) + 2x
3
= x
2
− x
3
+
+x
2
− x
3
+ 2x
3
= 2x
2
= 2
3
√
a.
Javob: 2
3
√
a
(A).
2.
(99-5-5) Soddalashtiring.
27a + 1
9a
2
3
− 3
3
√
a + 1
−
27a − 1
9
3
√
a
2
+ 3a
1
3
+ 1
A)
3
√
a − 1
B) 1
C) 2
D) a + 1
3.
(00-8-53) Soddalashtiring.
a
3
4
− 36a
1
4
a
1
2
− 6a
1
4
A)
4
√
a−6
B)
4
√
a+6
C)
√
a−6
D)
√
a+6
4.
(00-9-14) Soddalashtiring.
729a + 1
81
3
√
a
2
− 9a
1
3
+ 1
−
729a − 1
81a
2
3
+ 9
3
√
a + 1
A) 1
B) 2
C) 3
D) 9
5.
(97-9-81) Soddalashtiring.
3
√
x
2
+ 2
3
√
x + 1
x + 3
3
√
x
2
+ 3
3
√
x + 1
−
1
3
√
x + 1
A) 1
B)
1
3
√
x + 1
C)
3
√
x
D) 0

45
6.
(98-5-17) Ifodani soddalashtiring,
(a
1
2
− b
1
2
)(a + a
1
2
· b
1
2
+ b)
so’ng a va b lar daraja ko’rsatkichlarining yig’in-
disini hisoblang.
A) 2
B) 1
C) 4
D) 3
Yechish: Agar a
1
2
= x va b
1
2
= y desak, u holda
a = x
2
, b = y
2
bo’ladi. U holda berilgan ifoda
qisqa ko’paytirish formulasining 6-ga ko’ra
(x − y)(x
2
+ xy + y
2
) = x
3
− y
3
= a
3
2
− b
3
2
ko’rinishga keladi. Endi a va b larning darajalar-
ini qo’shamiz
3
2
+
3
2
= 3.
Javob: 3 (D).
7.
(99-7-19) Ifodani soddalashtirib,
(a
1
2
+ b
1
2
)(a − a
1
2
· b
1
2
+ b)
a va b asosli darajalar ko’rsatkichlarining yig’in-
disini toping.
A) 1
B) 4
C) 2
D) 3
8.
(98-5-18) Soddalashtiring.
(5b
1
4
+ 10)(b
3
4
− 2b
1
2
)
b − 4b
1
2
A) 1
1
4
B)
1
5
C) 1
D) 5
9.
(02-10-7) Soddalashtiring.
Ã
9
a + 8
−
a
1
3
+ 2
a
2
3
− 2a
1
3
+ 4
!
·
a
4
3
+ 8a
1
3
1 − a
2
3
+
5 − a
2
3
1 + a
1
3
A) 5
B)
1
1 − a
C)
2
1 − a
2
3
D) 4
10.
(01-5-5) Soddalashtiring.
a − b
a + b + 2
√
ab
:
a
−
1
2
− b
−
1
2
a
−
1
2
+ b
−
1
2
A) −1
B) a + b
C)
1
√
a +
√
b
D)
ab
a + b
11.
(98-9-18) Agar n = 81 bo’lsa,
3
p
n
√
n qiymati
qanchaga teng bo’ladi?
A) 3
B) 6
C) 9
D) 4
Yechish: 4 va 5-xossalardan foydalanib
3
p
n
√
n =
3
p√
n
2
· n =
6
√
n
3
=
√
n ni olamiz. Endi n = 81
desak,
√
81 = 9.
Javob: 9 (C).
12.
(02-12-44) Agar a = 729 bo’lsa,
a
4
3
− 8a
1
3
a
2
3
+ 2a
1
3
+ 4
: (
3
√
a − 2)
ning qiymatini toping.
A) 9
B) 6
C) 12
D) 15
13.
(03-4-9) Agar x = 256 bo’lsa,
x − 1
x
3
4
+ x
1
2
·
x
1
2
+ x
1
4
x
1
2
+ 1
· x
1
4
+ 1
ning qiymatini toping.
A) 14
B) 15
C) 16
D) 13
14.
(03-4-28) a = 64 bo’lganda,
a
4
3
− 8a
1
3
b
a
2
3
+ 2a
1
3
b
1
3
+ 4b
2
3
:
Ã
1 −
2b
1
3
a
1
3
!
− 4a
2
3
ning qiymatini hisoblang.
A) −46
B) −48
C) −44
D) −50
15.
(03-8-14) Quyida berilgan ifodaning x =
√
3−
3
√
2
bo’lgandagi qiymatini toping.
x
2
− 2x
√
3 −
3
√
4 + 3
x −
√
3
A)
√
3
B)
3
√
2
C) 1
D) 0
Yechish: Dastlab ifodani soddalashtiramiz, keyin
x o’rniga berilgan qiymatini qo’yamiz. Berilgan
kasr surati x
2
− 2x
√
3 −
3
√
4 + 3 ni x
2
− 2x
√
3 +
(
√
3)
2
−
3
√
2
2
= (x −
√
3)
2
− (
3
√
2)
2
shaklda yozib
olamiz. Bu ifodaga ikki son kvadratlarining ayir-
masi uchun formulani qo’llab (x −
√
3 −
3
√
2)(x −
√
3 +
3
√
2) ni olamiz. Agar x o’rniga
√
3 −
3
√
2 ni
qo’ysak ikkinchi qavs ichi nolga aylanadi. Shun-
ing uchun ko’paytma nol bo’ladi. Javob: 0 (D).
16.
(99-9-2) Agar a = 27 bo’lsa,
Ã
a − b
3
√
a −
3
√
b
+
3
√
ab
!
:
³
3
√
a +
3
√
b
´
+
+
³
3
√
a
2
−
3
√
b
2
´
:
³
3
√
a +
3
√
b
´
ning qiymatini hisoblang.
A) 4
B) 4