M u n d a r I j a

a
(2
2
− 2
−1
)
2
2a
= 4 −
1
2
= 3, 5.
Bu qiymatni 9 dan ayirib, ya’ni 9 − 3, 5 = 5, 5 ni
olamiz.
Javob: 5, 5 (D).
25.
(02-1-39) Agar
x
y
= 2 bo’lsa, x
2
− 4y
2
nimaga
teng?
A) 4
B) 8
C) 0
D) −8
26.
(02-6-2) Agar a + b + c = 0 bo’lsa, a
3
+ a
2
c −
abc + b
2
c + b
3
ifodaning qiymatini toping.
A) 0
B) 1
C) 2
D) −1
27.
Soddalashtiring.
a − b
ab
+
b − c
bc
+
c − d
cd
+
d − a
ad
A) 1
B) abcd
C) (abcd)
−1
D) 0
28.
m ning qanday butun qiymatida quyidagi ifodani
qisqartirish mumkin:
x
2
+ mx + 36
x
2
+ 8x + 7
A) −37
B) −36
C) −35
D) 37
29.
Kasr qisqarishi mumkin bo’lsa, m ning eng katta
va eng kichik qiymatlari farqini toping.
x
3
− x
2
− 4x + 4
x
2
+ mx + 6
A) 12
B) 5
C) 7
D) 10

39
3
- bob. Ildizlar
3.1
Arifmetik ildiz. Kvadrat ildiz
Kvadrati a ga teng bo’lgan b son a sonning kvadrat
ildizi deyiladi. Kvadrat ildizdan b sonni topish a son-
dan kvadrat ildiz chiqarish deyiladi. a sondan kvadrat
ildiz chiqarish quyidagicha belgilanadi:
√
a = b,
(3.1).
Bu yerda a ildiz ostidagi ifoda deyiladi. (3.1) teng-
lik a va b sonlari orasida quyidagi bog’lanish borligini
bildiradi: b
2
= a. Ixtiyoriy a > 0 son uchun b
2
=
a tenglikni qanoatlantiruvchi ikki haqiqiy son mab-
jud. Bu sonlar absolyut qiymatlari teng bo’lgan o’zaro
qarama-qarshi sonlardir. Bu sonlarning musbati a > 0
sonning arifmetik ildizi deyiladi. Masalan,
√
16 = ±4,
bu yerda 4 soni 16 ning arifmetik ildizi hisoblanadi.
Ko’pincha ildiz atamasi o’rniga radikal termini ham
ishlatiladi. Kvadrat ildiz quyidagi xossalarga ega.
1.
(
√
a)
2
= a,
a ≥ 0.
2.
√
ab =
√
a
√
b,
a, b ≥ 0.
3.
r
a
b
=
√
a
√
b
,
a ≥ 0,
b > 0.
4.
a
√
b =
√
a
2
b,
a ≥ 0.
5.
a
√
b = −
√
a
2
b,
a ≤ 0.
6.
√
a
2
= |a|.
1.
(97-11-8) Soddalashtiring.
2
r
5
1
2
+
1
3
√
99 − 2
r
2
3
4
A) 3
√
11
B) 2
√
22
C)
√
22
D) 2
Yechish: 4-formuladan foydalanib
2
r
5
1
2
+
1
3
√
99 − 2
r
2
3
4
= 2
r
11
2
+
+
1
3
√
9 · 11−2
r
11
4
=
r
4 ·
11
2
+
1
3
·3
√
11−
r
4 ·
11
4
=
=
√
22 +
√
11 −
√
11 =
√
22
ekanini hosil qilamiz. Javob:
√
22 (C).
2.
(02-2-6) Hisoblang.
3
r
1
5
+
1
2
√
20 +
r
4
5
A) 2
√
5
B)
√
5
C) 3
√
5
D)
6
√
5
3.
(02-9-10) Hisoblang.
3
r
3
2
3
−
√
132 + 4
r
2
1
16
A) 0
B) 2
√
33
C) 3
√
3
D) 4
√
11
4.
(97-1-8) Hisoblang.
4
r
3
1
2
− 0, 5
√
56 − 3
r
1
5
9
A) 2
√
14
B) 2
√
7
C) 0
D) 2
5.
(97-6-8) Hisoblang.
15
r
3
5
− 0, 5
√
60 + 2
r
3
3
4
A) 0
B)
√
15
C) 5
√
3
D) 3
√
15
6.
(98-6-9) Hisoblang.
√
32 +
√
98 −
√
50
√
72
A) 2
B) 1
C)
√
2
D) 2
√
2
7.
(99-6-36) Hisoblang.
√
192 −
√
108 +
√
243
3
A) 5
√
3
B) 5
√
2
C) 3
√
5
D) 3
√
3
8.
(01-1-6) Kasrning maxrajini irratsionallikdan
qutqaring.
3
√
5 − 2
√
2
2
√
5 − 3
√
2
A)
1
2
(
√
5 + 3
√
2)
B)
1
2
(3
√
5 − 2
√
2)
C) 9 + 2, 5
√
10
D) 2, 5
√
10 − 9
Yechish: Kasr maxrajini irratsionallikdan qutqar-
ish deganda shu narsa tushuniladiki, bu kasr o’ziga
teng bo’lgan boshqa bir kasr bilan almashtiri-
ladi, bu kasrning maxrajida ildiz amali ishtirok
etmaydi. Bu kasr surat va maxrajini 2
√
5 + 3
√
2
ga ko’paytiramiz va amallarni bajaramiz
3
√
5 − 2
√
2
2
√
5 − 3
√
2
·
2
√
5 + 3
√
2
2
√
5 + 3
√
2
=
18 + 5
√
10
4 · 5 − 9 · 2
.
Bu kasrning maxraji 2 ga teng. Bulardan
9 + 2, 5
√
10 ni olamiz. Javob: 9 + 2, 5
√
10 (C).
9.
(96-7-24) Hisoblang.
3 −
√
5
3 +
√
5
+
3 +
√
5
3 −
√
5
A) 2
B) 3
√
5
2
C) 4, 5
D) 7
10.
(97-7-24) Ifodaning qiymatini toping.
3 +
√
7
3 −
√
7
−
3 −
√
7
3 +
√
7
A) 4 +
√
7
B) −3
√
7
C) 6
√
7
D) 3

40
11.
Kasrning maxrajini irratsionallikdan
qutqaring.
4
1 −
√
5 +
√
20
A)
√
5 + 1
B)
√
5 − 1
C)
√
10
D) 1 −
√
5
12.
(01-6-23) Hisoblang.
àp
2 +
√
3
p
2 −
√
3
+
p
2 −
√
3
p
2 +
√
3
!
2
A) 12
B) 14
C) 18
D) 16
13.
(02-6-26) Hisoblang.
1
√
7 −
√
6
−
3
√
6 −
√
3
−
4
√
7 +
√
3
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
14.
(03-8-24) Hisoblang.
³
15
√
6 + 1
+
4
√
6 − 2
−
12
3 −
√
6
´
· (
√
6 + 11)
A) −115
B) 127
C) 100
D) −116
15.
(03-10-17) Hisoblang.
√
2 + 1
3 + 2
√
2
−
√
2 − 1
3 − 2
√
2
A) 1
B) −1
C) 2
D) −2
16.
(96-6-50) Hisoblang.
1
3 −
√
8
− 2
√
2 + 6
A) 8
B) 7
C) 9
D) 10
Yechish: Dastlab birinchi kasr maxrajini irrat-
sionallikdan qutqaramiz. Buning uchun kasrning
surat va maxrajini 3 +
√
8 ga ko’paytiramiz
1
3 −
√
8
·
3 +
√
8
3 +
√
8
− 2
√
2 + 6 =
3 +
√
8
9 − 8
− 2
√
2 + 6.
Endi 9 − 8 = 1 va
√
8 = 2
√
2 ekanligini hisobga
olsak, 3 + 2
√
2 − 2
√
2 + 6 = 9 ni olamiz. Javob:
9 (C).
17.
(97-2-50) Hisoblang.
2
√
3 − 5 −
11
√
12 − 1
A) 2
√
3 − 4
B) 4
C) −4
D) −6
18.
(97-8-50) Hisoblang.
19
√
20 − 1
− 2
√
5 + 3
A) 4
√
5 + 4
B) 4
√
5 − 4
C) 2
√
5 + 4
D) 4
19.
(97-12-49) Hisoblang.
19
√
20 + 1
+ 6 − 2
√
5
A) 6
B) 5
C) 4
√
5 − 7
D) 4
√
5 − 6
20.
(98-2-20) Hisoblang.
1
2 +
√
3
+
2
√
3 − 1
A) 2
B) 3
C) 4
D)
√
3
Yechish: Birinchi kasr surat va maxrajini 2 −
√
3
ga ikkinchi kasr surat va maxrajini
√
3 + 1 ko’pay-
tiramiz hamda (2 −
√
3)(2 +
√
3) = 1 va (
√
3 + 1)·
(
√
3 − 1) = 2 ekanligini hisobga olsak,
1
2 +
√
3
·
2 −
√
3
2 −
√
3
+
2
√
3 − 1
·
√
3 + 1
√
3 + 1
=
= 2 −
√
3 +
√
3 + 1 = 3 ni olamiz. Javob: 3 (D).
21.
(99-6-38) Hisoblang.
√
5
√
5 − 2
−
10
√
5
A) 1
B) 4
C) 3
D) 5
22.
(99-10-15) Hisoblang.
³
1
√
3 +
√
2
+
1
2 +
√
3
´
· (2 +
√
2)
A) 2
√
2
B) 2
√
3
C) 2
D) 3
√
2
23.
(00-10-47) Amallarni bajaring.
9
5 −
√
7
+
22
7 +
√
5
−
1
√
7 +
√
5
A) 1
B) 6
C)
1
5
D) 5
24.
(98-7-17) O’zaro teskari sonlarni aniqlang.
1)
√
7
2
va
2
√
7
7
2)
√
6 −
√
5 va
√
6 +
√
5
3)
2
√
5
9
va
9
√
5
10
4)
√
3 − 1 va
√
3 + 1.
A) hammasi
B) 2; 3; 4
C) 1; 3; 4
D) 1; 2; 3
25.
(01-7-4) Soddalashtiring.
4 + 5
√
2 +
√
75
√
3 −
√
6
A) 2
√
2 + 1
B) 3
C) 2
D) −1
26.
(01-11-8) Hisoblang.
³√
18 +
√
72 −
√
12
´
·
³√
18 +
√
72 +
√
12
´
A) 148
B) 149
C) 147
D) 150

41
27.
(99-2-13) Ushbu
q
9 +
√
65 ·
q
9 −
√
65
son 14 dan qanchaga kam?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
Yechish: 2-qoidadan foydalanib
q
9 +
√
65·
q
9 −
√
65 =
q
(9 +
√
65) · (9 −
√
65)
=
√
81 − 65 =
√
16 = 4 ni olamiz. Ifodaning
qiymati 14 dan 10 ta kam ekan. Javob: 10 (C).
28.
(99-7-4) Hisoblang.
q
9 +
√
77 ·
q
9 −
√
77
A) 3
B) 12
C) 2
D) 4
29.
(00-1-48) Hisoblang.
q
7 + 2
√
10 ·
q
7 − 2
√
10
A) 2
B) 3, 2
C) 3
D) 2, 5
30.
(03-5-2) Hisoblang.
√
196 ·
√
19, 6
√
0, 196 ·
√
1, 96
A) 1000
B) 100
C) 196
D) 10
31.
(96-7-14) Hisoblang.
r
65
3
+ 35
3
100
− 35 · 65
A) 100
B) 30
C) 10
D) 45
Yechish: Ikki son kublari yig’indisidan foydalansak,
65
3
+ 35
3
= 100 · (65
2
− 65 · 35 + 35
2
) ni olamiz.
Buni ildiz ostidagi ifodaga qo’yib
r
100 · (65
2
− 65 · 35 + 35
2
)
100
− 35 · 65 =
=
p
65
2
− 2 · 65 · 35 + 35
2
=
p
(65 − 35)
2
= 30
ni olamiz. Javob: 30 (B).
32.
(97-3-14) Ifodaning qiymatini toping.
r
68
3
− 32
3
36
+ 68 · 32
A) 16
2
3
B) 85
C) 100
D) 25
5
6
33.
(99-5-11) Agar
√
t
5
+ 3 −
√
t
5
− 2 = 1 bo’lsa,
p
t
5
+ 3 +
p
t
5
− 2
ning qiymati nechaga teng bo’ladi?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
34.
(98-7-20) Agar a : b = −
√
5 bo’lsa, a
2
− 5b
2
ni
hisoblang.
A) 0
B)
√
5
C) 5
D) −5
35.
(03-5-12) Agar
√
5 = m,
√
7 = n bo’lsa,
√
560 ni
m va n orqali ifodalang.
A) 4mn
B) 2mn
C) 6mn
D) 8mn
3.1.1
Hisoblashga oid misollar
Ildiz qatnashgan ifodalarni hisoblashda (soddalashtirish-
da) quyidagi formulalardan foydalaniladi.
1.
p
a + b
√
c =
q
a+A
2
+
q
a−A
2
, A =
√
a
2
− b
2
c.
2.
p
a − b
√
c =
q
a+A
2
−
q
a−A
2
, A =
√
a
2
− b
2
c.
3.
p
a + b + 2
√
a · b =
√
a +
√
b, a > 0; b > 0.
4.
p
a + b − 2
√
a · b =
√
a −
√
b, a > b > 0.
1.
(03-4-11) Hisoblang.
q
2 +
√
3 −
q
2 −
√
3
A)
√
3
B) 2
√
3
C) 2
√
2
D)
√
2
Yechish: Bu misolni yechishda 1 va 2-qoidalardan
foydalanamiz. Demak, a = 2, b = 1, c = 3
bunga ko’ra ko’ra A =
√
2
2
− 1
2
· 3 =
√
4 − 3 =
1. 1-qoidaga ko’ra
q
2 +
√
3 =
r
2 + 1
2
+
r
2 − 1
2
=
√
3
√
2
+
1
√
2
.
Ikkinchi ifoda
p
2 −
√
3 ga 2-qoidani qo’llab
q
2 −
√
3 =
√
3
√
2
−
1
√
2
ni olamiz. Ularni ayirib 2 ·
1
√
2
=
√
2 ga ega bo’lamiz.
Javob:
√
2 (D).
2.
(01-1-4) Hisoblang.
q
5 − 2
√
6 −
q
5 + 2
√
6
A) 2
√
2 B) −4
√
6 C)
√
2 D) −2
√
2
3.
(01-11-36) Hisoblang.
q
6 + 4
√
2 +
q
6 − 4
√
2
A) 3, 8
B) 3, 6
C) 4
D) 4, 2
4.
(02-10-43) Hisoblang.
q
52 − 30
√
3 −
q
52 + 30
√
3
A) −10
B) 10
C) −8
D) 8
5.
(03-11-74) Hisoblang.
q
17 − 12
√
2 · (6 + 4
√
2)
A)
√
2
B) −
√
2
C)
p
3 +
√
8
D) 2
6.
Hisoblang.
q
15 −
√
56 −
√
14
A)
√
3
B) −2
√
14
C) −1
D) 1

42
7.
(96-3-73) Ayirmaning qiymatini toping.
q
9 − 2
√
20 −
q
9 + 2
√
20
A) −3
B) −6
C) −4
D) −5
Yechish: 1-usul. x =
p
9 − 2
√
20 −
p
9 + 2
√
20
deb belgilaymiz. x < 0 ekani ravshan. U holda
x
2
= 9 − 2
√
20 − 2
q
(9 − 2
√
20)(9 + 2
√
20) + 9+
+2
√
20 = 18 − 2
√
81 − 80 = 18 − 2 = 16.
x < 0 va x
2
= 16 dan x = −4 ni olamiz.
2-usul. 3 va 4-qoidalardan foydalanamiz bu mis-
olni yechamiz. Ildiz ostidagi 9 − 2
√
20 ni 5 +
4 − 2
√
5 · 4 deb yozib olamiz. U holda 3-ga ko’ra
u
√
5 −
√
4 =
√
5 − 2 ga teng bo’ladi. Ikkinchi
qo’shiluvchi
p
9 + 2
√
20 esa
√
5 +
√
4 =
√
5 + 2
ga teng. Ularni ayirib
√
5 − 2 −
√
5 − 2 = −4 ni
olamiz. Javob: −4 (C).
8.
(96-6-28) Hisoblang.
q
23 − 8
√
7 +
q
23 + 8
√
7
A) 7
B) 6
C) 8
D) 9
9.
(96-9-13) Yig’indining qiymatini toping.
q
11 + 6
√
2 +
q
11 − 6
√
2
A) 6
B) 4
C) 8
D) 5
10.
(96-12-71) Ayirmaning qiymatini toping.
q
9 + 2
√
20 −
q
9 − 2
√
20
A) 4
B) 5
C) 6
D) 3
11.
(97-2-28) Hisoblang.
q
19 + 8
√
3 +
q
19 − 8
√
3
A) 6
B) 7
C) 9
D) 8
12.
(96-13-13) Yig’indining qiymatini toping.
q
7 + 4
√
3 +
q
7 − 4
√
3
A) 3
B) 5
C) 4
D) 6
13.
(00-10-4) Hisoblang.
s
21 − 2
r
21 + 2
q
19 − 6
√
2
A) 3
√
2+1 B) 3
√
2+2 C) 3
√
2−2 D) 3
√
2−1
14.
(01-7-6) Ushbu
√
45 · 10 · 18 va
√
21 · 56 · 6 son-
larning eng katta umumiy bo’luvchisini toping.
A) 9
B) 10
C) 18
D) 6
15.
(97-5-21) Soddalashtiring.
q
7 − 4
√
3
A) 2 +
√
3
B)
√
3 − 2
C) 3 +
√
3
D) 2 −
√
3
Yechish: Misolni yechishda 3 va 4-qoidalardan
foydalanamiz. Ildiz ostidagi 7 − 4
√
3 ni 4 + 3 −
2
√
4 · 3 deb yozib olamiz. U holda 3-ga ko’ra u
√
4−
√
3 = 2−
√
3 ga teng bo’ladi. Javob: 2−
√
3
(D).
16.
(98-5-10) Hisoblang.
q
19 − 8
√
3
A) 4 −
√
3
B) 4 +
√
3
C) 3 +
√
3
D) 3
√
3
17.
(00-8-28) Hisoblang.
q
6 − 2
√
5
A)
√
5 − 1
B) 1 −
√
5
C)
√
3
D) 1 +
√
5
18.
(98-10-41) Hisoblang.
q
19 − 8
√
3 +
√
3
A) −4
B) 4
C) 4 + 2
√
3
D) 2