M u n d a r I j a

.
Qisqa ko’paytirish formulalarining 3-dan foydalanib,
ifodani ko’paytuvchilarga ajratamiz:
(2x − 2 + x + 3)(2x − 2 − x − 3) ≤ 0
⇐⇒ (3x + 1)(x − 5) ≤ 0.
Bu tengsizlikni oraliqlar usuli bilan yechib, [−
1
3
; 5]
yechimni olamiz. Bu kesmada 0, 1, 2, 3, 4, 5 butun
sonlari yotadi, ular 6 ta. Javob: 6 (A).
11.
(01-12-17) Tengsizlikni yeching.
|x + 1| > 2|x + 2|
A) (−2; −1)
B) [−3; −1]
C) (−3; −
5
3
)
D) (−3; 0)
12.
(03-7-22) Tengsizlikni yeching.
|x − 4| < |x + 4|
A) (−4; 4)
B) (0; 4) ∪ (4; ∞)
C) (0; ∞)
D) (−∞; −4) ∪ (−4; 0)
13.
(01-5-24) Tengsizlikni butun yechimlari yig’indisini
toping.
|5 − 2x| ≤ 3
A) 10
B) 15
C) 6
D) 3

84
14.
(02-1-47) Tengsizlikni qanoatlantiruvchi butun son-
lar nechta?
|3x + 8| ≤ 2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
15.
(96-3-26) |x − 1| ≥ 2 tengsizlikni yeching.
A) (−∞; −1]
B) [−1; 3]
C) (−∞; −1] ∪ [3; ∞)
D) [1; 3]
Yechish: Misolni 3-usul, ya’ni geometrik usul-
dan foydalanib yechamiz. |x − 1| miqdor son-
lar o’qida x va 1 nuqtalar orasidagi masofani ifo-
dalaydi. Demak, berilgan tengsizlikning yechimi
sonlar o’qida koordinatasi 1 bo’lgan nuqtadan ma-
sofasi 2 birlik va undan katta x ning barcha qiy-
matlaridan iborat (6.3-chizmaga qarang). Son-
lar o’qida koordinatasi 1 bo’lgan nuqtadan 2 bir-
lik chapda −1 ni, 2 birlik o’ngda yotuvchi 3 ni,
topamiz. Shunday qilib tengsizlikning yechimi
(−1; 3) intervalning tashqarisi bo’ladi. Demak,
yechim (−∞; −1] ∪ [3; ∞) dan iborat. Javob:
(−∞; −1] ∪ [3; ∞). (C)
16.
(96-7-8) Tengsizlik nechta butun yechimga ega?
|x − 2| ≤ 5
A) 11
B) 10
C) 8
D) 7
17.
(96-11-27) Tengsizlikni yeching.
|x − 1| ≥ 1
A) [0; 2]
B) (−∞; 0] ∪ [2; ∞)
C) [−2; 0]
D) [2; ∞)
18.
(96-12-27) Tengsizlikni yeching.
|x − 1| ≤ 2
A) (−∞; 3]
B) (−∞; −1] ∪ [3; ∞)
C) [−1; 3]
D) [1; 3]
19.
(97-7-8) Tengsizlik nechta butun yechimga ega.
|x + 2| ≤ 3
A) 5
B) 6
C) 7
D) 4
20.
(97-1-73) Tengsizlikning eng katta natural yechi-
mini toping.
|3x − 7| < 5
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
21.
(97-3-8) Tengsizlik nechta butun yechimga ega.
|3 − x| < 4
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
22.
(97-10-8) Tengsizlik nechta butun yechimga ega?
|4 − x| < 6
A) 3
B) 5
C) 8
D) 11
23.
(98-5-23) Tengsizlikning eng kichik natural yechi-
mini toping.
|x − 7| ≤ 1
A) 5
B) 7
C) 8
D) 6
24.
(99-7-24) Tengsizlikning eng kichik natural yechi-
mini toping.
|x − 6| ≤ 8
A) 2
B) 7
C) 3
D) 1
25.
(99-9-18) Ushbu |x − 4| ≤ 12 tengsizlikning eng
kichik va eng katta butun yechimlari yig’indisini
toping.
A) 6
B) 8
C) −6
D) −8
6.3
Modulli tenglamalar va tengsizlik-
lar sistemasi
1.
(98-8-25) b ning qanday qiymatlarida tenglamalar
sistemasi yagona yechimga ega?
½
x = 3 − |y|
2x − |y| = b
A) b = 0
B) b > 0
C) b < 1
D) b = 6
Yechish: Agar (x
0
; y
0
) berilgan sistemaning ye-
chimi bo’lsa, u holda |y| = | − y| tenglikka ko’ra,
(x
0
; −y
0
) ham uning yechimi bo’ladi. Demak,
sistema yagona yechimga ega bo’lishi uchun y
0
=
0 bo’lishi kerak ekan. Uni sistemaning birinchi
tenglamasiga qo’yib x = 3 ekanini, ikkinchi tengla-
madan esa b = 6 ekanini hosil qilamiz. Javob:
b = 6 (D).
2.
(98-1-25) a ning qanday qiymatlarida
½
3|x| + y = 2
|x| + 2y = a
sistema yagona yechimga ega?
A) a = 0 B) a > 0 C) a = 2 D) a = 4
3.
(98-8-23) Agar
½
x + 2|y| = 3
x − 3y = 5
bo’lsa, x − y ning qiymatini toping.
A) 3
B) 2
C) 1
D) −1
4.
(98-1-23) Agar
½
|x| + y = 2
3x + y = 4
bo’lsa, x + y ning qiymatini toping.
A) 3
B) 1
C) 2, 5
D) 2

85
5.
(00-1-18) Tengsizliklar sistemasini yeching.
½
x ≥ 3
|x − 3| ≤ 1
A) 2 ≤ x ≤ 3
B) −2 ≤ x ≤ 4
C) 3 ≤ x ≤ 4
D) x ≤ 4
Yechish: 6.2-dagi 1-qoidaga ko’ra berilgan sis-
temaning 2-tengsizligi −1 ≤ x − 3 ≤ 1 qo’sh
tengsizlikka teng kichli. Bu tengsizlikning har
bir qismiga 3 ni qo’shib 2 ≤ x ≤ 4 ni olamiz.
Sistemaning 1-tengsizligi x ≥ 3 ni hisobga olsak,
3 ≤ x ≤ 4 javobni olamiz. Javob: 3 ≤ x ≤ 4
(C).
6.
(02-10-55) Tengsizliklar sistemasini yeching.
½
|2x − 3| ≤ 1
5 − 0, 4x > 0
A) [1; 2]
B) (−∞; 2]
C) (−∞; 1] ∪ (2; ∞)
D) (−0, 4; 2)
7.
(01-7-20) Tenglamalar sistemasi nechta yechimga
ega?
½
|x| + |y| = 1
x
2
+ y
2
= 4
A) 1
B) 2
C) 4
D) ∅
8.
(02-12-17) Agar
½
|x − 1| + |y − 5| = 1
y = 5 + |x − 1|
bo’lsa, x+y qanday qiymatlar qabul qilishi mum-
kin?
A) 6 yoki 8 B) 7 C) 8 yoki 10 D) 6 yoki 7
9.
(00-7-20) Agar
½
(x − 2)
2
+ |y| = 4
|x − 2| + |y| = 2
bo’lsa, x + y ning qiymatini toping.
A) 4 yoki 2 yoki 0
B) 0 yoki 3
C) 2 yoki 4
D) 0 yoki 4
10.
(03-10-31) Agar
½
|x + y| = 5
xy = 4, 75
bo’lsa, son o’qida x va y sonlari orasidagi maso-
fani toping.
A)
√
6
B)
√
3
C)
√
5
D)
√
7
7
-bob. Irratsional tenglama
va tengsizliklar
7.1
Irratsional tenglamalar
Noma’lumi ildiz belgisi ostida bo’lgan tenglamalar
irratsional tenglamalar deyiladi. Masalan,
4
√
x − 3 = 3 −
√
x;
(5 − x)
√
x − 3 = 3 −
3
√
2x
tenglamalar irratsional tenglamalardir. Irratsional teng-
lamalarni yechish ma’lum bir shakl almashtirishlar yor-
damida ularni ratsional tenglamalarga keltirishga asos-
langan. Radikallardan (ildiz belgisidan) qutilish maqsa-
dida tenglamaning ikkala qismini bir xil darajaga ko’ta-
riladi. Lekin darajaga ko’targanda chet ildizlar hosil
bo’lishi mumkin. Shuning uchun oxirgi tenglamani ye-
chishda topilgan ildizlarni, berilgan irratsional tenglama-
ning o’ziga qo’yib tekshirib ko’rish lozim.
Irratsional tenglamalarni yechishda ko’p qo’llaniladi-
gan quyidagi tengkuchliliklarni keltiramiz.
1.
2k
p
f (x) = ϕ(x) ⇐⇒
½
f (x) = [ϕ(x)]
2k
ϕ(x) ≥ 0
2.
2k+1
p
f (x) = ϕ(x) ⇐⇒ f (x) = [ϕ(x)]
2k+1
Irratsional tenglamalarni yechish usullarini misol-
larda namoyish qilamiz.
1-misol.
√
x + 2 + x = 0 tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamada x ni tenglikning o’ng qis-
miga o’tkazamiz va ikkala qismini kvadratga ko’taramiz,
natijada
x + 2 = (−x)
2
⇐⇒ x
2
− x − 2 = 0
kvadrat tenglamaga kelamiz. Bu kvadrat tenglamaning
ildizlari x
1
= −1 va x
2
= 2 lardir. Topilgan yechim-
larni berilgan tenglamaga qo’yamiz. Dastlab x
1
= −1
ni qo’yamiz:
√
−1 + 2 + (−1) = 1 − 1 = 0. Endi x
2
= 2
ni
√
2 + 2 + 2 = 2 + 2 = 4 6= 0. Demak, x
2
= 2 chet
ildiz ekan, x
1
= −1 esa tenglamani qanoatlantiradi.
Javob: x = −1.
2-misol.
√
x + 1 = −7 tenglamani yeching.
Yechish: Arifmetik ildizning manfiymasligidan
√
x + 1 ≥ 0 ekanligi kelib chiqadi. Tenglamaning o’ng
qismi −7 esa manfiy son. Shuning uchun tenglama
ildizga ega emas. Javob: ∅.
Xuddi shunday ko’rsatish mumkinki,
|x
2
− 1| +
√
2x + 1 = −1
irratsional tenglama ham yechimga ega emas.
3-misol. Quyidagi tenglamani yeching:
x
2
− 3x +
p
x
2
− 3x + 5 = 7.
(1)
Yechish: Tenglamada x
2
−3x = t belgilash olamiz,
natijada berilgan tenglama t +
√
t + 5 = 7 ko’rinishga
ega bo’ladi. Bu tenglamada t ni tenglikning o’ng qis-
miga o’tkazib, keyin tenglikning har ikkala qismini kvad-
ratga ko’tarib, t + 5 = (7 − t)
2
kvadrat tenglamaga ke-
lamiz. Bu kvadrat tenglamani yechib t
1
= 4, t
2
= 11
ni olamiz. t
2
= 11 ildiz t +
√
t + 5 = 7 irratsional
tenglamani qanoatlantirmaydi. Shuning uchun faqat
t
1
= 4 qiymatni x
2
− 3x = t belgilashga qo’yib,
x
2
− 3x = t
1
⇐⇒ x
2
− 3x = 4
kvadrat tenglamaga ega bo’lamiz. Bu kvadrat tenglama-
ning ildizlari x
1
= −1, x
2
= 4 lardir. Tekshirish mum-
kinki, ular (1) tenglamani ham qanoatlantiradi. Javob:
x
1
= −1, x
2
= 4.

86
1.
(98-9-19) Tenglama ildizlari yig’indisini toping.
p
x
4
+ 5x
2
= −3x
A) 0
B) −2
C) −4
D) 2
Yechish: 1-qoidaga ko’ra berilgan tenglama
½
x
4
+ 5x
2
= 9x
2
−3x ≥ 0
sistemaga teng kuchli. Uning birinchi tenglamasini
x
4
− 4x
2
= 0 ⇐⇒ x
2
(x
2
− 4) = 0
shaklda yozib olamiz. Bu tenglamaning yechim-
lari x
1
= 0, x
2
= −2, x
3
= 2 lardir. Endi −3x ≥
0 shartni tekshiramiz. Uni faqat x
1
= 0 va x
2
=
−2 sonlar qanoatlantiradi. Shunday qilib, beril-
gan tenglamaning ildizlari x
1
= 0 va x
2
= −2
ekan. Ular yig’indisi 0 + (−2) = −2. Javob: −2
(B).
2.
(97-1-72) Tenglamani yeching.
√
x + 2 + x = 0
A) −1
B) −2
C) 2
D) 0
3.
(97-5-39) Tenglamalar sistemasini yeching.
½ p
(x + 2)
2
= x + 2
p
(x − 2)
2
= 2 − x
A) x ≥ −2
B) x < 2
C) x ≤ 2
D) −2 ≤ x ≤ 2
4.
(97-7-61) Ushbu
√
3 + 2x = −x tenglik x ning
qanday qiymatlarida o’rinli?
A) −1
B) 1
C) −3
D) 3
5.
(98-2-21) Agar
√
x
4
− 9x
2
= −4x tenglamaning
katta ildizi x
0
bo’lsa, x
0
+ 10 nechaga teng?
A) 10
B) 12
C) 20
D) 15
Yechish: Berilgan tenglamaning har ikkala tomo-
nini kvadratga ko’tarib, o’ng tomondagi hadni
chap tomonga o’tkazib,
x
4
− 25x
2
= 0 ⇐⇒ x
2
(x
2
− 25) = 0
tenglamani olamiz. Bu tenglamaning ildizlari
x
1
= −5, x
2
= 0, x
3
= 5 lardir. Lekin x
3
=
5 dastlabki tenglamani qanoatlantirmaydi. Shu-
ning uchun tenglamaning katta ildizi x
2
= 0 bo’-
ladi. x
0
+ 10 = 0 + 10 = 10. Javob: 10 (A).
6.
(99-2-19) Tenglamaning ildizlari yig’indisini to-
ping.
p
x
2
− 3x + 5 + x
2
− 3x = 7
A) 4
B) −3
C) 3
D) −4
7.
(99-6-41)
√
a −
√
b = 4 va a − b = 24 bo’lsa,
√
a +
√
b nimaga teng.
A) 6
B) 4
C) 5
D) 3
8.
(99-5-15) Tenglamaning natural ildizlari nechta?
p
(3x − 13)
2
= 13 − 3x
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
9.
(99-8-3) Tenglamani yeching.
√
x + 1 +
√
2x + 3 = 1
A) −1
B) 3
C) −1; 3
D) 1
10.
(99-9-11) Tenglama ildizlari o’rta arifmetigini to-
ping.
(x
2
− 25)(x − 3)(x − 6)
√
4 − x = 0
A) 4
1
3
B) 1
1
3
C)
2
3
D) 4
1
2
11.
(99-9-12) Tenglama ildizlari ko’paytmasini toping.
p
x
2
+ 77 − 2
4
p
x
2
+ 77 − 3 = 0
A) −3
B) 3
C) 4
D) −4
Yechish: Tenglamada
4
√
x
2
+ 77 = t belgilash
olamiz, natijada berilgan tenglama t
2
−2t−3 = 0
ko’rinishga ega bo’ladi. Bu kvadrat tenglama
yechimlari t
1
= −1, t
2
= 3 lardir. Yechimlarni
4
√
x
2
+ 77 = t belgilashga qo’yib,
4
√
x
2
+ 77 = −1
va
4
√
x
2
+ 77 = 3 tenglamalarni hosil qilamiz.
Ammo
4
√
x
2
+ 77 = −1 tenglama yechimga ega
emas (chunki tenglamaning chap qismi musbat,
o’ng qismi esa manfiy). Ikkinchi tenglamaning
har ikkala qismini 4-darajaga ko’tarib,
x
2
+ 77 = 3
4
⇐⇒ x
2
= 4
tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglamaning ye-
chimlari x
1
= −2, x
2
= 2 lardir. Tekshirish nati-
jasi ko’rsatadiki, x
1
= −2, x
2
= 2 lar dastlabki
tenglamani qanoatlantiradi. Ularning ko’paytmasi
(−2) · 2 = −4. Javob: −4 (D).
12.
(00-1-19) Agar
r
1 −
1
x
=
x − 1
x
− 6
bo’lsa, 6
1
8
+ x ning qiymatini hisoblang.
A) −7
B) 6
C) 7
D) −6
13.
(00-2-19) Tenglamani yeching.
p
(2x − 1)
2
(3 − x) = (2x − 1)
√
3 − x
A) [0, 5; 3]
B) [0; 3]
C) [1; 3]
D) (−∞; 0, 5]
Yechish: Tenglama x ≤ 3 da ma’noga ega. De-
mak, berilgan tenglama
½ p
(2x − 1)
2
(3 − x) = (2x − 1)
√
3 − x
x ≤ 3

87
sistemaga teng kuchli. Uning birinchi tenglamasi
x ≤ 3 shartda
|2x − 1|
p
(3 − x) − (2x − 1)
√
3 − x = 0
tenglamaga teng kuchli. Bu tenglama esa
√
3 − x · (|2x − 1| − (2x − 1)) = 0
ga teng kuchli. Bu tenglama yechimlari esa
√
3 − x = 0 hamda |2x − 1| = 2x − 1 tenglama
yechimlari bilan ustma-ust tushadi. 1-tenglamadan
x = 3 ni olamiz. 2-tenglik modul ta’rufiga ko’ra
(6.1-ning 1-qoidasiga qarang) 2x − 1 ≥ 0 shartda
o’rinli. Bu tengsizlikning yechimi x ≥ 0, 5 dan
iborat. Agar x ≤ 3 shartni hisobga olsak, x ∈
[0, 5 ; 3] ni olamiz. Javob: [0, 5 ; 3] (A).
14.
(00-3-10) Tenglamani yeching.
3
√
2x − 5
√
8x + 7
√
18x = 28
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
15.
(00-3-22) Tenglama ildizlari yig’indisini toping.
√
x + 1 +
√
2x + 3 = 1
A) 2
B) 3
C) 4
D) −1
16.
(00-4-7) Tenglamani yeching.
2
√
x −
√
2x
2
+ 3 =
√
x + 1
A) 8
B) 4
C) 9
D) 1
17.
(00-5-29) Tenglamani yeching.
p
x
2
− x − 2 = x − 3
A) 5
B) 2,2
C) 4
D) ∅
18.
(00-6-33) Agar
p
3x
2
− 6x + 16 = 2x − 1
bo’lsa, x
2
· (x + 2) ning qiymatini toping.
A) −75
B) −45
C) 15
D) 45
19.
(00-8-5) Tenglamani yeching.
(x
2
− 9)
√
x + 1 = 0
A) −1; 3
B) ±3
C) ±3; 1
D) 2
20.
(00-8-25) Agar
√
8 − a +
√
5 + a = 5
bo’lsa,
p
(8 − a)(5 + a) ning qiymatini toping.
A) 6
B) 20
C) 12
D) 10
Yechish: Tenglamaning ikkala qismini kvadratga
ko’taramiz, natijada
8 − a + 2
√
8 − a
√
5 + a + a + 5 = 25
⇐⇒ 2
p
(8 − a)(5 + a) = 12
tenglikni olamiz. Bu yerdan
p
(8 − a)(5 + a) = 6
ni olamiz. Javob: 6 (A).
21.
(00-8-26) Agar
p
25 − x
2
+
p
15 − x
2
= 5
bo’lsa,
√
25 − x
2
−
√
15 − x
2
ifodaning qiymatini
toping.
A) 2
B) 3
C) 5
D) 6
22.
(00-9-31) Agar
4
√
ab = 2
√
3 va a, b ∈ N bo’lsa, a−
b quyidagi keltirilgan qiymatlardan qaysi birini
qabul qila olmaydi?
A) −32
B) 10
C) 0
D) 25
23.
(97-5-26) Agar
½ √
x +
√
y = 3
√
xy = 2
bo’lsa, x + y ni toping.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
24.
(01-1-19) Agar
½
x − y = 21
√
x −
√
y = 3
bo’lsa, x + y ning qiymatini toping.
A) 7
B) 12
C) 23
D) 29
25.
(01-2-24) Tenglama ildizlari o’rta arifmetigini to-
ping.
x − 5
√
x + 4 = 0
A) 16
B) 8, 5
C) 3
D) 2
26.
(01-5-9) Tenglama ildizlari yig’indisini toping.
(x
2
− 4)
√
x + 1 = 0
A) 1
B) −1
C) 3
D) 2
Yechish: Tenglamaning chap qismi x ≥ −1 da
ma’noga ega. Ko’paytma nolga aylanishi uchun,
ko’paytuvchilardan biri nolga aylanishi yetarli.
Shuning uchun x
2
− 4 = 0 va x + 1 = 0 tenglama
yecimlari ichidan x ≥ −1 shartni qanoatlantiru-
vchilarini olishimiz kerak. Ularning yechimlari
x
1
= −2, x
2
= 2 va x
3
= −1 lardir. x
1
= −2
yechim x ≥ −1 shartni qanoatlantirmaydi. De-
mak, x
2
= 2 va x
3
= −1 lar berilgan tenglama-
ning yechimi bo’ladi. Ularning yig’indisi 2+(−1) =
1. Javob: 1 (A).
27.
(01-6-25) Agar
√
x + 1 + x − 11 = 0 bo’lsa, x + 12
ning qiymatini toping.
A) 15
B) 16
C) 20
D) 19
28.
(01-9-12) Ushbu
½
y =
√
16 − x
2
y − x = 4
tenglamalar sistemasining nechta yechimi bor?
A) 2
B) 1
C) 0
D) 3

88
29.
(01-10-20) Tenglama nechta ildizga ega?
x − 9
√
x + 3
= x − 15
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
30.
(01-12-43) Tenglamani yeching.
√
3x − 7 −
√
7 − 3x = 0
A) 2, 3
B)
3
7
C)
7
3
D) ∅
31.
(02-1-8) Tenglama nechta ildizga ega?
p
x
2
+ 1 −
p
x
2
− 1 = 1
A) ∅
B) 1
C) 2
D) 3
32.
(03-7-20) Tenglamani yeching.
3
r
x
3
q
x
3
√
x... = 8
A) 56
B) 48
C) 60
D) 64
33.
(03-8-38) Tenglamani yeching.
√
x +
4
√
x − 12 = 0
A) 81
B) 16
C) 25
D) 9
7.2
Irratsional tengsizliklar
Irratsional tengsizliklarni yechishda quyidagi teng kuch-
liliklardan foydalaniladi.
1.
2