M u n d a r I j a
Download 1.09 Mb. Pdf ko'rish
|
abiturshtabalgebra
x
0 ; y 0 ) nuqta f funksiyaning grafigiga tegishli bo’lsa, u holda (y 0 ; x 0 ) nuqta f −1 funksiyaning grafigiga tegishli bo’ladi. Agar f : D(f ) → R funksiya uchun, biror y ∈ E(f ) da (1) tenglama ikki yoki undan ko’p yechimga ega bo’lsa, u holda f funksiya teskarilanuvchan emas, ya’ni f ga teskari funksiya mavjud emas. Bu holda berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi D(f ) ni ”kichraytirish” hisobiga (1) tenglamani barcha y ∈ E(f ) larda yagona yechimga ega bo’ladigan qilish mumkin. Buni quyidagi misolda tushuntiramiz: f : R −→ R + = [0; ∞), f (x) = x 2 funksiyani qaraymiz. f (x) = 4 ⇐⇒ x 2 = 4 tenglama ikkita x 1 = −2, x 2 = 2 yechimlarga ega. Agar bu funksiyaning aniqlanish sohasini R + desak, u holda istalgan y ∈ R + uchun x 2 = y tenglama D(f ) = R + da yagona x = √ y yechimga ega bo’ladi. Demak, f : R + → R + , f (x) = x 2 funksiyaga teskari funksiya f −1 (y) = √ y ekan. 1. (97-1-9) Quyidagilardan qaysi biri y = 3 x + 1 − 2 funksiyaga teskari funksiya? A) y = 3 x − 2 B) y = x + 1 3 − 2 C) y = x + 1 3 − 1 2 D) y = 3 x + 2 − 1 Yechish: Berilgan funksiyaning aniqlanish so- hasi D(f ) = (−∞; −1) ∪ (−1; ∞) dan qiymat- lar sohasi esa E(f ) = (−∞; −2) ∪ (−2; ∞) dan iborat. Istalgan y ∈ E(f ) uchun 3 x + 1 − 2 = y tenglama yagona x = 3 y + 2 − 1 yechimga ega. Demak, y = f −1 (x) = 3 x + 2 − 1. Javob: (D). 116 2. (97-11-9) Quyidagilardan qaysi biri y = 3 2 − x − 1 funksiyaga teskari funksiya? A) y = x − 2 B) y = 3 x − 2 + 1 C) y = x − 2 3 + 1 D) y = 2 − 3 x + 1 3. (00-3-61) Ushbu y = x 2 −4x+7 funksiyaga (−∞; 2] oraliqda teskari funksiyani toping. A) 2 ± √ x − 3 B) 2 − √ x − 3 C) 2 + √ x − 3 D) 2 + √ 3 − x 4. y = √ x + 1, x ≥ 0 funksiyaga teskari funksiyani toping. A) y = (x − 1) 2 B) y = (x + 1) 2 C) y = x 2 + 1 D) y = x 2 − 1 5. (01-8-19) Ushbu y = 4 2 − x −3 funksiyaga teskari bo’lgan funksiyani ko’rsating. A) y = 4 x − 3 − 2 B) y = 4 3 − x − 2 C) y = 4 x + 3 + 2 D) y = − 4 x + 3 + 2 6. (97-6-9) Quyidagilardan qaysi biri y = 2 x − 1 − 1 funksiyaga teskari funksiya? A) y = 1 − 2 x + 1 B) y = 2 − 3 x C) y = − 2 x + 1 D) y = 2 x + 1 + 1 7. (99-3-29) Funksiyaga teskari funksiyani toping. y = x − 1 2 − 3x A) y = 2 − 3x x − 1 B) y = − 2 − 3x x − 1 C) y = 2 − 3x 1 − x D) y = 2x + 1 3x + 1 8. (01-1-66) Ushbu y = x 2 − 8 (x ≥ 0) funksiyaga teskari bo’lgan funksiyaning aniqlanish sohasini toping. A) (−8; ∞) B) [−8; ∞) C) (−8; 8) D) [−8; 8] Yechish: Berilgan funksiyaning aniqlanish so- hasi D(f ) = [0; ∞) dan qiymatlar sohasi esa E(f ) = [−8; ∞) dan iborat. 1-qoidaga ko’ra D(f −1 ) = [−8; ∞). Javob: [−8; ∞) (B). 9. (98-11-15) Ushbu y = 2x 2 − 1 2 (x ≥ 0) funksiyaga teskari bo’lgan funksiyani toping. A) √ 2x + 1 · 2 −1 B) √ 2x + 1 · 4 −1 C) √ 2x + 1 · 2 −1 − 1 2 D) √ 2x + 1 · 4 −1 − 1 2 10. D(f ) qanday tanlansa f (x) = x 2 −2x+3 funksiyaga teskari funksiya mavjud bo’ladi. A) [0; ∞) B) [1; ∞) C) [−2; ∞) D) [−2; 2) 11. D(f ) qanday tanlansa f (x) = |x − 3| funksiyaga teskari funksiya mavjud bo’ladi. A) [3; ∞) B) [1; ∞) C) [−2; ∞) D) [−3; 5) 12. D(f ) qanday tanlansa f (x) = {x} funksiyaga teskari funksiya mavjud bo’ladi. A) [1; ∞) B) [1; 5) C) [−2; 0) D) [0; 1) 13. (98-6-14) Qaysi nuqta y = x 3 + 5x − 2 funksiyaga teskari funksiyaning grafigiga tegishli? A) (−2; 1) B) (0; −2) C) (4; 1) D) (−8; 1) Yechish: 4-qoidaga ko’ra, agar (x 0 ; y 0 ) ∈ Gr(f ) bo’lsa, u holda (y 0 ; x 0 ) ∈ Gr(f −1 ) bo’ladi. Shu sababli javoblarda keltirilgan nuqtalarning koor- dinatalari o’rinlarini almashtirib berilgan funksiya- ga qo’yib tekshiramiz. y(1) = 4 bo’lgani uchun (1; 4) nuqta berilgan funksiyaning grafigiga te- gishli bo’ladi. Demak, (4; 1) nuqta unga teskari funksiyaning grafigiga tegishli. Javob: (4; 1) (C). 10.5 Aralash tipdagi masalalar 1. y = f (x) va y = g(x) funksiyalar grafiklari kesishgan nuqtalarning abssissalari f (x) = g(x) tenglamaning ildizlari bo’ladi. 2. Tekislikdagi M 1 (x 1 ; y 1 ) va M 2 (x 2 ; y 2 ) nuqta- lar orasidagi masofa |M 1 M 2 | = p (x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 . 3. y = |x − a| + |x − b| (a < b) funksiyaning qiy- matlar sohasi E(y) = [b − a; ∞) dan iborat. 1. (00-3-59) Agar f (x+1) = x 2 −3x+2 bo’lsa, f (x) ni toping. A) x 2 − 3x − 1 B) x 2 − 5x + 1 C) x 2 − 5x + 6 D) x 2 − 4 Yechish: x + 1 = t deb olamiz, u holda x = t − 1 bo’ladi. Uni f (x + 1) = x 2 − 3x + 2 tenglikka qo’yamiz: f (t) = (t − 1) 2 − 3(t − 1) + 2 = t 2 − 5t + 6. Javob: f (x) = x 2 − 5x + 6 (C). 2. (00-9-60) Agar f (x−1) = x 2 +3x−2 bo’lsa, f (x) ni aniqlang. A) x 2 + 2x − 3 B) x 2 + 5x − 4 C) x 2 + 5x + 2 D) x 2 − x − 2 3. (97-7-16) k ning qanday qiymatlarida y = k x − 1 funksiyaning grafigi C(− 1 2 ; −3) nuqtadan o’tadi? A) 1 B) −2 C) −1 D) 1 2 4. (97-10-16) k ning qanday qiymatida y = kx 3 + 2 funksiyaning grafigi B(−2; 10) nuqtadan o’tadi? A) 2 B) 1 C) −0, 5 D) −1 5. (99-4-15) y = k x + 2 , (k > 0) funksiyaning grafigi qaysi choraklar orqali o’tadi? A) I va III B) II va IV C) I, III, IV D) I, II va III 117 6. (03-6-40) y = x|x| −1 funksiya grafigi koordinata- lar tekisligining qaysi choraklarida joylashgan? A) III B) IV C) II, III D) I, III 7. (99-5-40) y(x) = |x − 1| + |x − 3| funksiyaning qiymatlar sohasini toping. A) [0; ∞) B) [1; ∞) C) [2; ∞) D) [3; ∞) Yechish: 3-qoidaga ko’ra, E(y) = [2; ∞) ni olamiz. Javob: [2; ∞) (C). 8. (03-12-26) y = |x − 1| + |x − 3| funksiyaning eng kichik qiymatini toping. A) 3 B) 4 C) 2 D) 1 9. (00-9-45) f (x) = |x + 2| + |x + 8| funksiyaning qiymatlar sohasini toping. A) [0; ∞) B) [3; ∞) C) [4; ∞) D) [6; ∞) 10. (02-7-13) f (x) = 3 x − 4 funksiyaning qiymatlar to’plamini toping. A) (−∞; 0)∪(0; ∞) B) (−∞; 4)∪(4; ∞) C) (−∞; 3) ∪ (3; ∞) D) (−∞; −1) ∪ (−1; ∞) 11. (00-3-60) Argumentning qanday qiymatida y = 5x 2|x + 1| − 5 funksiya 2 ga teng? A) − 4 3 B) − 5 3 C) −2 D) − 14 9 12. (00-7-17) Koordinata boshidan y = x 2 va y = 1 x funksiyalarning grafiklari kesishgan nuqtagacha bo’lgan masofani aniqlang. A) 2 B) 1,5 C) √ 2 D) 1 2 √ 2 Yechish: 1-qoidaga ko’ra, funksiyalar grafiklari kesishgan nuqtalar abssissalari x 2 = 1 x ⇐⇒ x 3 = 1 tenglama yechimlari bo’ladi. Bu tenglamaning yechimi x = 1. Bundan y = 1 ni olamiz. Ko- ordinata boshi O(0; 0) dan N (1; 1) nuqtagacha masofa (2-ga qarang) |ON | = p (1 − 0) 2 + (1 − 0) 2 = √ 2. Javob: √ 2 (C). 13. (03-12-32) 3x + 4y + 7 = 0 va 3x + y − 5 = 0 to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtasi koordinata boshidan qanday masofada joylashgan? A) 5 B) 6 C) 8 D) 8 √ 2 14. (01-4-12) M (x, y) nuqtaning koordinatalari yig’in- disi 3 ga teng. Bu nuqta va koordinata boshi orasidagi eng qisqa masofa qanchaga teng bo’ladi? A) 3 √ 2 B) 2 √ 3 C) 1, 5 √ 2 D) 4, 5 √ 2 15. (00-10-8) y = |x − 1| − 5 va y = 0 funksiyalar grafiklari kesishgan nuqtalar abssissalarining kvad- ratlari yig’indisini toping. A) 36 B) 48 C) 24 D) 52 Yechish: 1-qoidaga ko’ra, funksiyalar grafiklari kesishgan nuqtalar abssissalari |x−1|−5 = 0 ⇐⇒ |x − 1| = 5 tenglama yechimlari bo’ladi. Bu tenglamani geometrik usulda yechsak, sonlar o’qida koordinatasi 1 bo’lgan nuqtadan 5 birlik chapda −4 ni, 5 birlik o’ngda 6 ni olamiz. Ular kvadrat- lari yig’indisi (−4) 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52. Javob: 52 (D). 16. (98-11-12) y = |x − 2| + 1 va y = 5 funksiyalar grafiklari kesishgan nuqtalar abssissalari kvadrat- larining yig’indisini toping. A) 52 B) 32 C) 40 D) 36 17. (01-11-14) Ushbu y = x 4 va y = 2x 2 −1 funksiya- larning grafiklari nechta umumiy nuqtaga ega? A) 4 B) 3 C) 1 D) 2 18. (02-1-53) Agar y = x 3 + 1 va −1 < x < 2 bo’lsa, y qanday oraliqda o’zgaradi? A) (−1; ∞) B) (0; 9) C) (1; 8) D) (−1; 9) 19. (02-12-47) y = ax 3 +b kubik parabolaning grafigi A(1; 18) va B(−1; 14) nuqtalardan o’tadi. Qaysi nuqtada bu funksiyaning grafigi Ox o’qini kesib o’tadi? A) (0; 2) B) (−3; 0) C) (3; 0) D) (−2; 0) 20. (98-4-41) f (x) = 1 − 2x funksiya berilgan. Agar f (ϕ(x)) = x bo’lsa, ϕ(x) funksiyani toping. A) 1 − x 2 B) x + 1 2 C) x − 1 2 D) 2x − 1 4 Yechish: Masala shartiga ko’ra f (ϕ(x)) = 1 − 2ϕ(x) = x. Bu yerdan 1−x = 2ϕ(x), ya’ni ϕ(x) = 1 − x 2 . Javob: (A). 21. (00-9-43) f (x) = 2x 2 va ϕ(x) = x + 1 bo’lsa, x ning nechta qiymatida f (ϕ(x)) = ϕ(f (x)) bo’ladi? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 22. Agar f (x) = x 2 − 1 va ϕ(x) = x + 1 bo’lsa, f (ϕ(x)) ning qiymatini toping. A) x 2 B) x 2 + 2x C) 2x D) x 2 − 2x 23. (01-7-46) Agar f (x) = 1 − x 1 + x bo’lsa, f ( 1 x )+ 1 f (x) ning qiymatini toping. A) 4x 1 − x 2 B) 4x x 2 − 1 C) x 2 + 1 x 2 − 1 D) 2(x 2 + 1) x 2 − 1 11 -bob. Ko’rsatkichli tenglama va tengsizliklar 11.1 Ko’rsatkichli funksiya y = a x , a > 0, a 6= 1 ko’rinishdagi funksiyaga ko’rsatkich- li fuksiya deyiladi. Uning aniqlanish D(y) = (−∞; ∞) va qiymatlar sohasi E(y) = (0; ∞). y = a x funksiya a > 1 da o’suvchi, 0 < a < 1 da kamayuvchi. y = a x funksiyaning grafigi I va II choraklarda yotadi (11.1- chizmaga qarang). 118 Ixtiyoriy a > 0, b > 0 sonlar uchun quyidagi teng- liklar o’rinli: 1. a x+y = a x · a y . 2. (a x ) y = a xy . 3. a x a y = a x−y . 4. ³ a · b ´ x = a x · b x . 5. ³ a b ´ x = a x b x . 6. ³ a b ´ −x = ³ b a ´ x . 7. a −x = 1 a x . 8. a −m/n = 1 a m/n . 1. (98-7-23) Quyidagilardan qaysilari kamayuvchi funk- siyalar? 1) y = 0, 37 x ; 2) y = ( 3 √ 11) x ; 3) y = 3 · ( 1 2 ) x ; 4) y = ( 3 4 ) x ; 5) y = 1 2 · 3 x A) 1; 3; 5 B) 2; 3; 4 C) 1; 4 D) 1; 3; 4 Yechish: y = a x funksiya 0 < a < 1 da kama- yuvchi bo’lgani uchun 1; 3; 4 funksiyalar kamayuv- chi bo’ladi. Javob: 1; 3; 4 (D). 2. Kamayuvchi funksiyalarni ajrating. y 1 = 2 x ; y 2 = e x ; y 3 = π −x ; y 4 = ( e π ) x A) y 1 ; y 2 B) y 2 ; y 3 C) y 3 ; y 4 D) y 4 ; y 1 3. O’suvchi funksiyalarni ajrating. y 1 = 3 x ; y 2 = e x ; y 3 = π x A) y 1 B) y 2 C) y 3 D) barchasi 4. f (x) = e x −1 funksiyaning qiymatlar sohasini to- ping. A) (0; ∞) B) (1; ∞) C) (−1; ∞) D) [0; ∞) 5. f (x) = 2 x − 2 −x funksiyaning qiymatlar sohasini toping. A) (0; ∞) B) (1; ∞) C) (−∞; ∞) D) [0; ∞) 6. f (x) = 2 x − 2 −x funksiyaning x = 2 nuqtadagi qiymatini toping. A) 0 B) 2 C) 3, 75 D) 3, 25 Yechish: f (2) = 2 2 − 2 −2 = 4 − 1 2 2 = 4 − 1 4 . Demak, f (2) = 3, 75 ekan. Javob: 3, 75 (C). 7. y = 2 x − 1 funksiya grafigi qaysi choraklar orqali o’tadi? A) I; III B) II; IV C) I; II D) II; III 8. Grafigi koordinata boshidan o’tuvchi funksiyani toping. A) y = 2 x − e x B) y = e x + 1 C) y = 3 x − 3 D) y = 2 x − 2 9. y = 7 x − 1 funksiya grafigi qaysi nuqta orqali o’tadi? A) (0; 1) B) (1; 6) C) (2; 13) D) (−1; 0) 10. (97-7-16) k ning qanday qiymatida y = 2 kx − 1 funksiyaning grafigi C(2; 15) nuqtadan o’tadi? A) 1 B) −2 C) 4 D) 2 Yechish: Masala shartidan 15 = 2 2k − 1 teng- likni olamiz. Bu yerdan 16 = 2 2k ⇐⇒ 2 4 = 2 2k ⇐⇒ 4 = 2k kelib chiqadi. Demak, k = 2. Javob: 2 (D). 11. (98-2-30) Quyidagi sonlardan qaysi biri 1 dan katta? a = 0, 7 2,3 · 0, 3 0,8 , b = 3, 2 −4,2 · 1, 2 −0,8 , c = 0, 7 −1,2 · 0, 6 −0,4 , d = 0, 6 0,4 · 0, 3 0,6 , A) a, d B) b, c C) c D) d, c 12. (98-5-31) Ushbu y = a x funksiya uchun qaysi mu- lahaza noto’g’ri? A) aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to’plami B) qiymatlari to’plami barcha musbat haqiqiy sonlar to’plami C) garifigi (0;1) nuqtadan o’tadi D) aniqlanish sohasida har doim o’suvchi 13. Toq funksiyalarni ajrating. y 1 = a x − a −x ; y 2 = x(a x + a −x ); y 3 = x · e|x|. A) y 1 B) y 2 C) y 2 ; y 3 D) barchasi 14. (99-3-27) Funksiyalardan qaysilari juft funksiya? y 1 = a x + a −x 2 ; y 2 = a x + 1 a x − 1 ; y 3 = x a x − 1 ; y 4 = x a x − 1 a x + 1 ; A) y 1 B) y 2 C) y 2 ; y 3 D) y 1 ; y 4 11.2 Ko’rsatkichli tenglamalar A. Bir xil asosga keltirib yechiladigan tenglamalar Bu yerda quyidagi tenglikdan foydalaniladi: 1. a f (x) = a g(x) ⇐⇒ f (x) = g(x), a > 0, a 6= 1. |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling