M u n d a r I j a

a > 0 va a 6= 1 bo’lsa, log
√
a
3
√
a
ifodaning qiymatini toping.
A)
2
3
B)
3
2
C) 3
D) 6
32.
(02-3-33) Hisoblang.
1
log
2
4
+
1
log
4
4
+
1
log
8
4
+
1
log
16
4
+
+
1
log
32
4
+
1
log
64
4
+
1
log
128
4
A) 14
B) 16
C) 7
D) 32
33.
(02-5-24) Hisoblang.
log
−1
3
3
r
3
q
3
√
3
A) 27
B) −27
C)
1
27
D) 3
Yechish: Logarifmning 5-xossasi va ildizning xos-
sasidan foydalansak
log
−1
3
3
r
3
q
3
√
3 =
1
log
3
3
1
27
=
1
1
27
log
3
3
= 27
bo’ladi. Javob: 27 (A).
34.
(03-5-39) Hisoblang.
y = log
5
log
5
5
s
5
r
5
q
5
√
5
A) −4
B)
1
5
C) −
1
4
D) 4
35.
(02-10-73) Hisoblang.
Ã
log
6
27 + 2 log
6
2
log
6
3
√
0, 25 + log
6
1
3
!
3
A) −27
B) 27
C) −8
D) 8 log
6
27
36.
(02-12-48) Hisoblang.
3 lg 2 + 3 lg 5
lg 1300 − lg 0, 13
A) 0, 8
B) 0, 6
C) 0, 7
D) 0, 75
37.
(03-2-20) Hisoblang.
1 + 2 log
3
2
(1 + log
3
2)
2
+ log
2
6
2
A) 2
B) 0, 5
C) 1
D)
1
4
38.
(03-3-33) Hisoblang.
log
8
5
2 log
25
32
A)
1
2
B)
1
3
C)
5
3
D) 2
39.
(03-4-32) ln(3
log
3
0,64
+8
log
8
0,36
) ning qiymati −11
dan qancha ko’p?
A) 10
B) 9
C) 11
D) 12
40.
(03-4-33) Hisoblang.
2 log
4
8 − 3 log
8
4 + log
2
32 + 18
A) 22
B) 24
C) 26
D) 20
41.
(98-5-29) Agar log
3
5 = a, log
3
2 = b bo’lsa,
log
6
45 ni a va b orqali ifodalang.
A)
b + 2
a + 2
B)
2 + a
1 + b
C)
a
1 + b
D)
b
1 + a
Yechish: log
3
5 = a,
log
3
2 = b berilgan. Bir
asosdan boshqa asosga o’tish formulasi 7-ga ko’ra
log
6
45 =
log
3
(9 · 5)
log
3
(2 · 3)
=
log
3
9 + log
3
5
log
3
2 + log
3
3
=
2 + a
b + 1
ekanini hosil qilamiz. Javob:
2 + a
b + 1
(B).
42.
(96-10-36) Agar log
4
125 = a bo’lsa, lg 64 ni a
orqali ifodalang.
A)
3
2
a + 4 B)
2
3
a + 6 C)
18
2a + 3
D)
6
3a + 2
43.
(96-9-28) Agar a = log
50
40 bo’lsa, log
5
2 ni a
orqali ifodalang.
A)
3a − 1
2 − a
B)
a − 3
1 − 2a
C)
a − 3
2a − 1
D)
1 − 2a
a − 3
44.
(96-3-86) Agar a = log
98
56 bo’lsa, log
7
2 ni a
orqali ifodalang.
A)
3 − a
2a − 1
B)
2a − 1
3 − a
C)
a − 3
2a − 1
D)
1 − 2a
3 − a

128
45.
(00-1-38) Agar a = log
12
2 bo’lsa, log
6
16 ning
qiymatini toping.
A)
4a
1 + a
B)
2a
1 − a
C)
4a
1 − a
D)
3a
1 + a
46.
(00-6-32) Agar log
0,5
27 = a bo’lsa, log
√
3
6
√
1, 5
ning qiymatini toping.
A)
1
3
+ a
−1
B) a
2
− 1 C) 3 + a
−1
D) 1 + a
−3
47.
(00-10-34) Agar a = log
2
3 bo’lsa, log
8
0, 75 ni a
orqali ifodalang.
A)
1
3
(a − 1)
B)
1
3
(a + 1)
C)
1
3
(a − 2)
D)
1
3
(a + 2)
48.
(00-10-66) Agar log
a
27 = b bo’lsa, log
√
3
6
√
a ni
toping.
A)
1
b
B)
2
b
C) −
b
2
D) 2b
49.
(99-10-35) Agar log
2
a = 2 va log
3
b = 2 bo’lsa,
log
6
ab ning qiymatini toping.
A) −2
B) 3
C) −3
D) 2
50.
(00-8-38) Agar lg 5 = a va lg 3 = b bo’lsa, log
30
8
ni a va b orqali ifodalang.
A)
3 − 3a
1 + b
B)
3(1 − b)
1 + a
C)
3(a − b)
a + b
D)
b − 1
a + 1
51.
(01-8-31) Agar log
0,2
27 = a bo’lsa,
log
√
3
6
√
1, 8 ni a orqali ifodalang.
A) a
2
−
2
3
B) a
−1
+ 1, 5
C) a
−3
+ 2
D) a
−1
+
2
3
52.
(02-8-12) Agar
7
log
5
b
= 4 bo’lsa, b
log
5
√
7
ni hisoblang.
A) 2
B) 3
C) 1
D) 4
53.
(02-8-13) Agar lg 2 = a va lg 3 = b bo’lsa, log
9
20
ni a va b orqali ifodalang.
A)
1 + a
2b
B)
1 − a
2b
C)
b
1 + 2a
D)
b
1 − 2a
Yechish: Boshqa asosga o’tish formulasi 7-ga
ko’ra
log
9
20 =
lg 20
lg 9
=
lg 10 + lg 2
lg 3
2
=
1 + a
2b
ekanini hosil qilamiz. Javob:
1 + a
2b
(A).
54.
(02-9-38) Agar log
b
a
(
a
2
b
) = −
1
2
bo’lsa, log
a
2
b
(ab)
ni hisoblang.
A) −
1
4
B) −1
C) 1
D) 0, 8
55.
(02-10-27) lg 2 = a va log
2
7 = b bo’lsa, lg 56 ni a
va b orqali ifodalang.
A) 3a+ab
B) 2a+3b
C) 3a+2b
D)
2a + 5b
3
56.
(03-4-37) Agar
log
a
8 = 3 va log
b
243 = 5 bo’lsa,
ab ning qiymatini toping.
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
57.
(03-7-67) Agar lg 5 = a va lg 3 = b bo’lsa, log
30
8
ni a va b orqali ifodalang.
A)
a
2a + 3b
B)
b − 3
1 − 2a
C)
3a − 3
b + 2
D)
3(1 − a)
1 + b
58.
(03-8-43) Agar a = log
5
4 va b = log
5
3 bo’lsa,
log
25
12 ni a va b orqali ifodalang.
A)
a + b
2
B)
a − b
4
C)
ab
2
D)
a
2
+ b
4
12.2
Logarifmik tenglamalar
O’zgaruvchisi logarifm belgisi ostida kelgan tenglamalar
logarifmik tenglamalar deyiladi. Masalan,
log
2
x = 3,
log
x
2 = 1,
log
3
(x
2
− 5x + 3) = 0.
Eng sodda logarifmik tenglamaning ko’rinishi log
a
x =
b bo’lib, uning yechimi x = a
b
. Agar
log
a
f (x) = log
a
g(x)
(1)
tenglamada f (x) > 0, g(x) > 0 shart bajarilganda, u
f (x) = g(x)
(2)
tenglamaga teng kuchli bo’ladi. (1) tenglamadan (2)
tenglamaga o’tganda chet ildizlar paydo bo’lishi mumkin.
Chet ildizlarni aniqlash uchun, ildizlarni dastlabki tengla-
maga qo’yib tekshirib ko’riladi. Quyidagi teng kuchlilik-
larni keltiramiz.
1.
log
a
f (x) = b ⇐⇒ f (x) = a
b
.
2.
log
a
f (x) = log
a
g(x) ⇐⇒



f (x) = g(x),
f (x) > 0,
g(x) > 0.
3.
log
f (x)
g(x) = b ⇐⇒
½
[f (x)]
b
= g(x),
f (x) > 0,
f (x) 6= 1.
A. log
a
f (x) = b,
log
a
f (x) = log
a
g(x)
ko’rinishdagi tenglamalar
1.
log
5
x = 2 tenglamani yeching.
A) 10
B) 25
C)
√
5
D) 32
Yechish: 1-xossaga ko’ra x = 5
2
= 25.
Javob: 25 (B).
2.
lg x = −1 tenglamani yeching.
A) 10
B) 0, 1
C)
√
10
D) −1
3.
ln x = ln(8 − x) tenglamani yeching.
A) e
2
B) 0, 8
C)
√
8
D) 4
4.
log
2
x
2
= 4 tenglamani yeching.
A) 4
B) ±2
C) ±4
D) 16
5.
log
2
log
3
x = 0 tenglamani yeching.
A) 8
B) ±3
C) 3
D) 9
6.
lg(x − 4) = lg(4 − x) tenglama nechta ildizga ega.
A) 1
B) 2
C) 0
D) 4

129
7.
(00-7-33) a ning qanday qiymatlarida
lg x + lg(x − 6) = lg(−a)
tenglama bitta ildizga ega bo’ladi?
A) 9
B) a ∈ (−∞; 0)
C) 7
D) 6
Yechish: Berilgan tenglamaning aniqlanish so-
hasi x > 6 to’plamdan iborat. log
a
b + log
a
c =
log
a
bc formula yordamida tenglamaning chap qis-
mini almashtiramiz. lg x(x − 6) = lg(−a). Uni
potenserlaymiz. x(x − 6) = −a (a < 0). Hosil
bo’lgan tenglamani yechamiz.
x
2
− 6x + a = 0;
D = 36 − 4a = 4(9 − a).
Bu tenglama a ≤ 9 da yechimga ega va uning
ildizlari quyidagilar
x
1,2
=
6 ± 2
√
9 − a
2
= 3 ±
√
9 − a
x
1
= 3 −
√
9 − a ≤ 3 bo’lgani uchun u beril-
gan tenglamaning aniqlanish sohasiga kirmaydi.
Demak, u chet ildiz. x
2
= 3 +
√
9 − a berilgan
tenglamaning ildizi bo’lishi uchun x
2
> 6 bo’lishi
kerak. Bu tengsizlikdan a ni topamiz.
√
9 − a > 3 ⇐⇒ 9 − a > 9 ⇐⇒ a < 0.
Shunday qilib, a ∈ (−∞; 0) da berilgan tenglama
bitta ildizga ega. Javob: a ∈ (−∞; 0) (B).
8.
(98-9-34) Tenglamani yeching.
lg(x
2
+ 2x − 3) = lg(x − 3)
A) 0
B) −1
C) 0; −1
D) ∅
9.
(99-6-26) Tenglamani yeching.
log
18
log
2
log
2
³
−
1
x
´
= 0
A) −
1
16
B) −
1
8
C)
1
8
D) −
1
4
10.
(99-6-50) Tenglamani yeching.
log
1
5
log
5
√
5x = 0
A) −5
B) 1
C) 0
D) 5
11.
(00-2-22) Agar
½
3
x
· 2
y
= 972,
log
√
3
(x − y) = 2
bo’lsa, xy ning qiymatini toping.
A) 14
B) 12
C) 10
D) 8
12.
(01-3-26) Tenglama ildizlari yig’indisini toping.
lg
³
3
q
x2−4x
x−3
+ 1
´
= 1
A) 10
B) 2
C) 8
D) 25
13.
(01-7-25) Tenglamani yeching
lg(3 + 2 lg(1 + x)) = 0
A) 0
B) 1
C) −15
D) −0, 9
Yechish: Berilgan tenglamani
lg(3 + 2 lg(1 + x)) = lg 1
shaklda yozamiz. Bu yerdan 3+2 lg(1+x) = 1 ni,
undan esa lg(1+x) = −1 ni olamiz. Ta’rifga ko’ra
1 + x = 10
−1
⇐⇒ x = −0, 9. Bevosita tekshirish
ko’rsatadiki, x = −0, 9 tenglamani qanoatlanti-
radi. Javob: −0, 9 (D).
14.
(01-7-26) Tenglamani yeching
log
2
|x − 1| = 1
A) 3
B) 2
C) −1
D) 3; −1
15.
(01-9-41) Ushbu
lg(5x − 2) = lg(2 − 5x)
tenglamaning aniqlanish sohasini toping.
A) (0, 4; ∞)
B) ∅
C) (−∞; 0, 4)
D) {2,5}
16.
(02-3-35) Tenglama ildizlari ayirmasining moduli
nechaga teng?
log
3
(4 · 3
x
− 1) = 2x + 1
A) 1
B) 2
C) 3
D) 0
17.
(02-10-69) Tenglamani yeching.
log
2
(2
2x
+ 16
x
) = 2 log
4
12
A) log
4
3
B) log
2
3
C) 2
D) log
4
6
18.
(02-10-71) Agar
½
log
2
(x − y) = 1
2
x
· 3
y+1
= 72
bo’lsa, x va y ning o’rta proporsional qiymatini
toping.
A)
√
3
B) 2
C)
√
2
D) 2
√
2
B. a
log
a
f (x)
= g(x) ko’rinishdagi tenglamalar
19.
(96-6-55) Tenglamaning ildizini toping.
3
2 log
3
x
= 16
A) 3
B) −4
C) 4
D) ±4
Yechish: Tenglama x > 0 da aniqlanish. Loga-
rifmning 5-xossasidan foydalanib, uni
3
log
3
x
2
= 16
shaklda yozamiz. Asosiy logarifmik ayniyatdan
x
2
= 16 ni olamiz. Bu yerdan x
1
= −4, x
2
= 4
kelib chiqadi. x
1
= −4 tenglamaning aniqlanish
sohasida yotmaydi. x = 4 tenglamani qanoat-
lantiradi. Javob: 4 (C).

130
20.
(97-2-55) Tenglamaning ildizi 20 dan qancha katta?
4
log
4
(x−5)
= 19
A) 6
B) 2
C) 4
D) 3
21.
(97-8-40) Tenglamani yeching.
4
2 log
4
x
= 25
A) 5
B) ±5
C) −5
D) 10
22.
Tenglamani yeching.
2
log
4
x
=
1
4
A) 1
B) 2
C) 0, 5
D) 0, 25
23.
(01-5-12) Tenglamani yeching
x
log
x
(x
2
−1)
= 3
A) 2
B) 1
C) 3
D) 4
C. 3-4 va 5-xossalariga oid tenglamalar
24.
(97-12-54) Tenglamaning ildizi 8 dan qanchaga
kam?
log
2
(x + 2) + log
2
(x + 3) = 1
A) 7
B) 9
C) 10
D) 6
Yechish: Tenglamaning aniqlanish sohasi x >
−2 to’plam. 3-xossadan foydalansak, tenglamani
log
2
(x+2)(x+3) = log
2
2 shaklda yozish mumkin.
Bu yerdan
(x + 2)(x + 3) = 2 ⇐⇒ x
2
+ 5x + 4 = 0
kelib chiqadi. Bu kvadrat tenglamaning ildizlari
x
1
= −4, x
2
= −1 dir. x
1
= −4 tenglamaning
aniqlanish sohasida yotmaydi. x = −1 tenglamani
qanoatlantiradi. 8 − (−1) = 9. Javob: 9 (B).
25.
(00-3-38) Tenglamani yeching
lg
³ 1
2
+ x
´
= lg
1
2
− lg x
A) 2
B)
1
2
C) 1
D) −1
26.
(99-3-20) Tenglamani yeching
lg
√
x − 5 + lg
√
2x − 3 + 1 = lg 30
A)
1
2
B) 6
C)
1
2
; 6
D)
1
2
; 8
27.
(02-12-50) Agar lg(x
2
+ y
2
) = 2, lg 2 + lg xy =
lg 96 va x > 0 bo’lsa, x+y yig’indining qiymatini
toping.
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
28.
(03-7-21) Tenglamani yeching.
log
√
5
(4
x
− 6) − log
√
5
(2
x
− 2) = 2
A)
3
2
B)
5
4
C) 2
D) 2,5
29.
(99-6-28) Tenglamani yeching.
log
2
(54 − x
3
) = 3 log
2
x
A) −3
B) 2
C) 1
D) 3
Yechish: 5-xossadan foydalansak, tenglamani
log
2
(54 − x
3
) = log
2
x
3
shaklda yozish mumkin.
Bu yerdan
54 − x
3
= x
3
⇐⇒ 27 = x
3
⇐⇒ x = 3
kelib chiqadi. x = 3 tenglamani qanoatlantiradi.
Javob: 3 (D).
30.
(00-2-24) log
5
x = 2 log
5
3 + 4 log
25
7 bo’lsa,
x ni toping.
A) 441
B) 125
C) 256
D) 400
31.
(00-3-28) Tenglamani yeching.
³ 4
9
´
x
·
³ 27
8
´
x−1
=
lg 4
lg 8
A) 3
B) 4
C) 2
D) 1
32.
(00-8-15) Tenglamani yeching.
log
2
(9
x−1
+ 7) = 2 log
2
(3
x−1
+ 1)
A) 2
B) 1
C) 3
D) 4
33.
(01-5-11) Tenglamani yeching
log
a
x − log
a
2
x + log
a
4
x =
3
4
A) a
B) a
2
C) a
4
D) 2
34.
(03-4-34) Agar
log
4
(2 − x)
2
(3 − x)
3
= −3 log
4
|3 − x|
bo’lsa, x − 27 ni hisoblang.
A) −25
B) −29
C) −26
D) −24
35.
(03-11-13) Tenglamani yeching.
7
(2x
2
−5x−9)/2
= (
√
2)
3 log
2
7
A) −1, 5; 1
B) 1, 5
C) −2, 5; 4
D) −1, 5; 4
D. 6-7 va 8-xossalarga oid tenglamalar
36.
(99-6-55) Tenglamani yeching.
log
√
2
x +
2
log
x
2
= 4
A) 2
B) 1
C) 3
D) 4
Yechish: 6-8-xossalardan foydalanib, tenglamani
1
1
2
log
2
x + 2log
2
x = 4 ⇐⇒ 4log
2
x = 4
shaklda yozamiz. Bu yerdan log
2
x = 1 kelib
chiqadi. Logarifm ta’rifidan x = 2
1
ni olamiz.
Javob: 2 (A).

131
37.
(98-11-45) Tenglama ildizlari ko’paytmasini top-
ing.
log
x
2 log
2x
2 = log
4x
2
A) 1
B)
1
√
2
C) −
1
√
2
D)
1
2
38.
(99-3-21) Tenglamani yeching.
log
4
(x + 12) · log
x
2 = 1
A) 4
B) −3
C) 2
D) 4;2
39.
(02-3-36) Tenglama ildizlari ko’paytmasini toping.
log
x
2 + log
4x
4 = 1
A) 2
B) 4
C) 1
D) 8
E. 11-xossa yoki logarifmlash yordamida
yechiladigan tenglamalar
40.
(97-6-59) Tenglamani yeching.
x
lg 9
+ 9
lg x
= 6
A) 1
B) 10
C)
√
10
D) 2
Yechish: 11-xossadan foydalanib, tenglamani
9
lg x
+ 9
lg x
= 6 ⇐⇒ 2 · 9
lg x
= 6 ⇐⇒ 9
lg x
= 3
shaklda yozamiz. Bu tenglikning ikkala qismini
3 asosga ko’ra logarifmlaymiz
log
3
9
lg x
= log
3
3 ⇐⇒ lg x · 2 = 1 ⇐⇒ lg x =
1
2
.
Logarifm ta’rifidan x = 10
1/2
ni olamiz. Javob:
√
10 (C).
41.
(00-3-39) Tenglama ildizlari ko’paytmasini toping.
x
lg x−1
= 100
A) 10
B) 20
C) 100
D) 1
42.
(01-2-73) Tenglama ildizlari ko’paytmasini toping.
x
(lg x+5)/3
= 10
5+lg x
A) 100
B) 10
C) 1
D) 0,01
43.
(01-9-9) Tenglama ildizlarining o’rta proporsional
qiymatini toping.
x
3−log
3