M u n d a r I j a
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abiturshtabalgebra
tg105
0 ni hisoblang. A) −2 − √ 3 B) 2 − √ 3 C) −2 + √ 3 D) 2 + √ 3 Yechish: tg105 0 ni tg(45 0 + 60 0 ) shaklda yozib, unga 5-formulani qo’llasak tg105 0 = tg45 0 + tg60 0 1 − tg45 0 tg60 0 ni olamiz. 13.1-jadvaldan tangensning 45 0 va 60 0 dagi qiymatlarini topib, nisbatni hisoblaymiz: tg105 0 = 1 + √ 3 1 − √ 3 = −2 − √ 3. Javob: −2 − √ 3 (A). 13. ctg105 0 ni hisoblang. A) −1 2 + √ 3 B) 1 2 − √ 3 C) 1 √ 3 − 2 D) 1 2 + √ 3 14. ctg15 0 ni hisoblang. A) −2 − √ 3 B) 2 − √ 3 C) −2 + √ 3 D) 2 + √ 3 15. tg75 0 ni hisoblang. A) −2 − √ 3 B) 2 − √ 3 C) −2 + √ 3 D) 2 + √ 3 16. ctg75 0 + tg15 0 ni hisoblang. A) −4 − 2 √ 3 B) 4 − 2 √ 3 C) −4 + 2 √ 3 D) 4 + 2 √ 3 17. (03-4-23) Hisoblang. (tg60 0 cos 15 0 − sin 15 0 ) · 7 √ 2 A) 16 B) 12 C) 18 D) 14 18. (96-1-54) 2tg(−765 0 ) ning qiymatini toping. A) − √ 2 B) 2 √ 3 C) −2 D) 4 Yechish: 765 0 = 2 · 360 0 + 45 0 tenglikni va tan- gensning toq funksiya hamda π davriy ekanligini hisobga olsak 2tg(−765 0 ) = −2tg(2 · 360 0 + 45 0 ) = −2tg45 0 ni olamiz. tg45 0 = 1 dan 2tg(−765 0 ) = −2 kelib chiqadi. Javob: −2 (C). 19. (97-11-43) Hisoblang. cos(−45 0 ) + sin(315 0 ) + tg(−855 0 ) A) 0 B) √ 2 − 1 C) 1 + √ 3 D) 1 20. (98-5-49) tg1 0 · tg2 0 · · · tg88 0 · tg89 0 ni hisoblang. A) 0 B) 1 2 C) 1 D) √ 3 21. (98-10-36) Hisoblang. tg π 6 · sin π 3 · ctg 5π 4 A) 1, 5 B) 0, 5 C) − 1 2 D) √ 3 4 22. (02-3-76) Hisoblang. sin π 9 − cos 7π 18 A) 0 B) 1 2 C) √ 2 2 D) √ 3 2 23. (03-12-77) Hisoblang. ³³ tg 2 7π 24 − tg 2 π 24 ´ : ³ 1 − tg 2 7π 24 · tg 2 π 24 ´´ 2 A) 1 9 B) 9 C) 1 3 D) 3 24. (96-3-111) Agar tg( π 4 − α) = 2 bo’lsa, tgα ni to- ping. A) 3 B) −3 C) 1 3 D) − 1 3 Yechish: tgα = tg ¡ π 4 − ( π 4 − α) ¢ tenglikning o’ng tomoniga 6-formulani qo’llasak tgα = tg π 4 − tg ¡ π 4 − α ¢ 1 + tg π 4 tg ¡ π 4 − α ¢ = 1 − 2 1 + 2 = − 1 3 . Javob: − 1 3 (D). 25. (96-9-46) Agar tg( π 4 − α) = 2 bo’lsa, ctgα ni to- ping. A) 3 B) 1 3 C) − 1 3 D) −3 26. (01-1-42) Agar tgα = 1 2 , tgβ = 1 3 , π < α + β < 2π bo’lsa, α + β ning qiymatini toping. A) 7π 3 B) 5π 3 C) 5π 4 D) 7π 4 27. (97-1-60) Agar ½ tg(x + y) = 3 tg(x − y) = 2 145 bo’lsa, tg2x ni hisoblang. A) 5 B) 2,5 C) 1 D) −1 Yechish: Agar tg2x = tg ¡ (x + y) + (x − y) ¢ tenglikning o’ng tomoniga 5-formulani qo’llasak tg2x = tg(x + y) + tg(x − y) 1 − tg(x + y) · tg(x − y) = 3 + 2 1 − 3 · 2 = −1. Javob: −1 (D). 28. (97-6-60) Agar ½ tg(α + β) = 5 tg(α − β) = 3 bo’lsa, tg2β ni hisoblang. A) 15 B) 8 C) 1 8 D) 1 29. (97-6-68) Agar 2tgα = 3 + √ x, 2tgβ = 3 − √ x 4(α + β) = π bo’lsa, x ni toping. A) π 3 B) −17 C) − π 6 + πk D) 17 30. (98-6-48) Agar tg(x + y) = 5 va tgx = 3 bo’lsa, tgy ni toping. A) 2 B) 1 8 C) 8 D) 1 2 Yechish: Agar tgy = tg ¡ (x + y) − x ¢ tenglikning o’ng tomoniga 6-formulani qo’llasak tgy = tg(x + y) − tgx 1 + tg(x + y) · tgx = 5 − 3 1 + 5 · 3 = 1 8 . Javob: 1 8 (B). 31. (00-1-29) Agar α = −45 0 va β = 15 0 bo’lsa, cos(α + β) + 2 sin α · sin β ning qiymatini toping. A) − 1 2 B) √ 3 2 C) − √ 3 2 D) 1 2 32. (02-6-46) Agar ( cos x · cos y = 1 6 tgx · tgy = 2 bo’lsa, cos(x + y) ni toping. A) 1 2 B) 1 3 C) − 1 2 D) − 1 6 33. (01-1-49) Agar sin α = − 1 3 va cos β = − 1 2 bo’lsa, sin(α + β) · sin(α − β) ning qiymatini toping. A) − 23 36 B) 23 36 C) 3 4 D) − 3 4 34. (03-1-25) Agar ½ 3 sin x · cos y = −1 3 cos x · sin y = 2 bo’lsa, ctg(x − y) ni hisoblang. A) 0 B) 1 C) − 1 2 D) 1 2 35. (00-1-26) Soddalashtiring. sin( π 2 − α) · cos(π + α) ctg(π + α) · tg( 3π 2 − α) A) − sin 2 α B) − sin 2 α · tg 2 α C) − cos 2 α D) cos 2 α · ctg 2 α Yechish: Berilgan kasr suratiga keltirish formu- lasini qo’llab cos α(− cos α) = − cos 2 α ni olamiz. Kasr maxrajiga ham keltirish formulasini qo’llab ctgα · ctgα = ctg 2 α ni olamiz. U holda berilgan kasr − cos 2 α · tg 2 α = − cos 2 α · sin 2 α cos 2 α = − sin 2 α ga teng bo’ladi. Javob: − sin 2 α (A). 36. (96-1-57) Soddalashtiring. cos(α + β) + 2 sin α · sin β sin(α + β) − 2 cos β · sin α A) ctg(β − α) B) tg(α − β) C) 2tg(α + β) D) 2ctg(α − β) 37. (01-11-24) Soddalashtiring. sin α + cos α √ 2 cos( π 4 − α) A) 1,6 B) ctg( π 4 + α) C) 1,5 D) 1 38. (99-1-41) Soddalashtiring. tgα · ctg(π + α) + ctg 2 α A) 1 sin 2 α B) 1 cos 2 α C) tgα D) tg 2 α 39. (00-8-60) Soddalashtiring. tg(π − α) cos(π + α) · sin( 3π 2 + α) tg( 3π 2 + α) A) tg 2 α B) ctg 2 α C) −tg 2 α D) 1 tgα 13.2.4 Ikkilangan va yarim burchak formulalari Qo’shish teoremalaridan ikkilangan burchakning trigo- nometrik funksiyalari uchun quyidagilar kelib chiqadi. 1. sin 2x = 2 sin x cos x. 2. cos 2x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = = 1 − 2 sin 2 x. 3. sin 2x = 2tgx 1 + tg 2 x . 4. cos 2x = 1 − tg 2 x 1 + tg 2 x . 146 5. tg2x = 2tgx 1 − tg 2 x . Ikkilangan burchak formulalaridan yarim burchak uchun formulalar kelib chiqadi. 6. sin 2 x 2 = 1 − cos x 2 , sin x 2 = ± r 1 − cos x 2 . 7. cos 2 x 2 = 1 + cos x 2 , cos x 2 = ± r 1 + cos x 2 . 8. tg x 2 = sin x 1 + cos x = 1 − cos x sin x . 9. ctg x 2 = sin x 1 − cos x = 1 + cos x sin x . 10. tg 2 α 2 = 1 − cos α 1 + cos α , ctg 2 α 2 = 1 + cos α 1 − cos α . 1. (97-6-51) Hisoblang. sin π 8 · cos 3 π 8 − sin 3 π 8 · cos π 8 A) 0 B) 1 C) 2 D) 1 4 Yechish: 1 va 2-dan, ya’ni sin α · cos α = 1 2 sin 2α va cos 2 α − sin 2 α = cos 2α ekanligidan sin π 8 · cos 3 π 8 − sin 3 π 8 · cos π 8 = sin π 8 · cos π 8 ³ cos 2 π 8 − sin 2 π 8 ´ = 1 2 sin π 4 cos 2π 8 = = 1 2 sin π 4 · cos π 4 = 1 4 sin π 2 = 1 4 ni hosil qilamiz. Javob: 1 4 (D). 2. (97-1-52) Hisoblang. sin π 16 · cos 3 π 16 − sin 3 π 16 · cos π 16 A) √ 2 2 B) √ 2 3 C) √ 2 4 D) √ 2 8 3. (99-6-53) Hisoblang. cos π 7 · cos 4π 7 · cos 5π 7 A) − 1 8 B) 1 4 C) 1 2 D) 1 8 Yechish: Keltirish formulasi cos α = − cos(π − α) dan foydalanib berilgan ifodada quyidagicha shakl almashtirish qilamiz: A = cos π 7 · cos 4π 7 · cos 5π 7 = − cos π 7 · · cos 4π 7 · cos(π − 5π 7 ) = − cos π 7 · cos 2π 7 cos 4π 7 . Tenglikni 8 sin π 7 ga ko’paytirib va 1-formulani bir necha marta qo’llab 8A sin π 7 = −8 cos 4π 7 cos 2π 7 cos π 7 sin π 7 = = −4 cos 4π 7 ·cos 2π 7 ·sin 2π 7 = −2 cos 4π 7 sin 4π 7 = = − sin 8π 7 ni hosil qilamiz. Demak, A = − sin 8π 7 8 sin π 7 = − sin(π + π 7 ) 8 sin π 7 = 1 8 . Javob: 1 8 (D). 4. (98-1-54) Agar tgα = − 1 4 bo’lsa, 2 cos 2 α − sin 2α 2 sin 2 α − sin 2α ni hisoblang. A) −4 B) 4 C) 1 4 D) − 1 2 5. (98-10-101) Agar tgα = 1 2 bo’lsa, tg2α ni toping. A) 5 3 B) 4 3 C) 3 4 D) 3 5 6. (98-8-54) Agar ctgα = 1 8 bo’lsa, sin 2α + 2 sin 2 α sin 2α + 2cos 2 α ni hisoblang. A) 1 8 B) 8 C) 1 4 D) 4 7. (96-10-35) Agar cos α = 1 5 bo’lsa, 2 sin α + sin 2α 2 sin α − sin 2α ni hisoblang. A) 0,5 B) 1,5 C) 3 D) 2 3 8. (98-11-17) tg22, 5 0 + tg −1 22, 5 0 ni hisoblang. A) √ 2 B) √ 2 −1 C) 4 √ 2 D) 2 √ 2 Yechish: 8-formuladan foydalansak tg22, 5 0 + tg −1 22, 5 0 = 1 − cos 45 0 sin 45 0 + sin 45 0 1 − cos 45 0 . ni olamiz. Endi cos 45 0 = sin 45 0 = √ 2 2 ni yuqori- dagi ifodaga qo’yib, uni soddalashtirsak 2 √ 2 ni olamiz. Javob: 2 √ 2 (D). 9. (98-10-32) tg15 0 − ctg15 0 ni hisoblang: A) 2 √ 3 B) −2 √ 3 C) − 2 √ 3 3 D) 2 √ 3 3 10. (98-4-29) Hisoblang: cos92 0 · cos2 0 + 0, 5 · sin4 0 + 1 A) 1 2 B) 1 C) 0 D) 2 147 11. (99-6-12) Hisoblang: 2tg(240 0 ) 1 − tg 2 (240 0 ) A) − √ 3 B) √ 3 C) √ 3 3 D) 2 √ 3 12. (00-10-13) Hisoblang. cos π 5 · cos 2π 5 A) 1 2 B) 1 8 C) 1 4 D) 1 12 13. (96-9-47) Soddalashtiring. 1 + sin 2α sin α + cos α − sin α A) cos α B) sin α C) − cos α D) −2 sin α Yechish: Asosiy trigonometrik ayniyat va 1-for- muladan foydalanib berilgan kasr suratini quyida- gicha yozib olamiz: 1 + sin 2α = 1 + 2 sin α cos α = (sin α + cos α) 2 . Endi soddalashtiramiz (sin α + cos α) 2 sin α + cos α − sin α = sin α + cos α − sin α. O’xshash hadlarni ixchamlab cos α ga ega bo’lamiz. Javob: cos α (A). 14. (97-7-56) Soddalashtiring: sin(π − 2α) 1 − sin( π 2 − 2α) A) −tgα B) 2 sin α C) ctgα D) tgα 15. (96-3-112) Soddalashtiring. sin 3α sin α − cos 3α cos α A) 2 cos α B) 2 C) 2 sin α D) 1 16. (96-12-85) Soddalashtiring. 2 tgα + ctgα A) cos 2α B) 1 cos 2α C) 1 sin 2α D) sin 2α 17. (96-13-38) Soddalashtiring. 2 ctgα − tgα A) ctg2α B) sin 2α C) tg2α D) cos 2α 18. (00-1-27) Soddalashtiring. 1 − cos 2α 1 + cos 2α + 1 A) cos −2 α B) sin −2 α C) sin 2 α D) cos 2 α 19. (00-2-48) Soddalashtiring. (cos 3x + cos x) 2 + (sin 3x + sin x) 2 A) 4 cos 2 x B) 2 cos 2 x C) 3sin 2 x D) 4 sin 2 x 20. (96-7-56) Soddalashtiring. sin 2α + cos(π − α) · sin α sin( π 2 − α) A) cos α B) sin α C) −2 sin α D) − cos α 21. (97-3-56) Soddalashtiring. cos 2α + cos( π 2 − α) · sin α sin( π 2 + α) A) cos α B) 2 sin α C) − cos α D) tgα 22. (97-10-56) Soddalashtiring. sin(2α − π) 1 − sin( 3π 2 + 2α) A) tgα B) −tgα C) −2ctgα D) sin α 23. (99-6-23) Soddalashtiring. 1 + tg 2 (−α) − 1 sin(0, 5π + 2α) A) −tg 2 α B) tg 2 α C) ctg 2 α D) −ctg 2 α 24. (98-8-57) Hisoblang. sin 4 ³ 23π 12 ´ − cos 4 ³ 13π 12 ´ A) √ 3 2 B) 1 2 C) − √ 3 2 D) − √ 2 2 Yechish: Argumentlarni 23π 12 = 2π − π 12 va 13π 12 = π + π 12 shaklda yozib, keyin keltirish for- mulalarini qo’llab, berilgan ifodani sin 4 ³ π 12 ´ −cos 4 ³ π 12 ´ = ³ sin 2 ³ π 12 ´´ 2 − ³ cos 2 ³ π 12 ´´ 2 shaklda yozib olamiz. Bu ifodaga ikki son kvadrat- lari ayirmasi formulasini, keyin asosiy trigono- metrik ayniyatni qo’llab sin 2 π 12 −cos 2 π 12 = −(cos 2 π 12 −sin 2 π 12 ) = − cos 2π 12 ni olamiz. cos 2π 12 = cos π 6 ning qiymatini 13.1- jadvaldan qarab, berilgan ifodaning qiymati − √ 3 2 ekanligini olamiz. Javob: − √ 3 2 (C). 25. (98-12-90) Hisoblang. √ 3 sin 100 0 + 1 cos 260 0 A) 2 B) −4 C) −3 D) −1 148 26. (01-11-18) Hisoblang. 1 sin 10 0 − √ 3 cos 10 0 A) 3,5 B) 2,5 C) 3 D) 4 27. (02-7-11) Hisoblang. sin 4 105 0 · cos 4 75 0 A) 1 256 B) √ 2 2 C) 1 128 D) √ 6 4 28. (00-8-41) Hisoblang. log 2 cos 20 0 +log 2 cos 40 0 +log 2 cos 60 0 +log 2 cos 80 0 A) Download 1.09 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
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