M u n d a r I j a

xe
−2x
− 2x
2
e
−2x
= 2xe
−2x
(1 − x).
1-xossaga ko’ra, f
0
(x) = 2xe
−2x
(1 − x) > 0 teng-
sizlikni yechamiz. Barcha x ∈ R lar uchun 2e
−2x
>
0 ekanligini hisobga olsak, f
0
(x) > 0 tengsizlik
x(1 − x) > 0 tengsizlikka teng kuchli bo’ladi. Bu
tengsizlikni oraliqlar usuli bilan yechib (0; 1) ni
olamiz. [0; 1] kesmada ham funksiyaning o’sish
xossasi saqlanadi. Javob: [0; 1] (D).
15.
(00-1-44) Qaysi oraliqda f (x) = ln(4x−x
2
) funksiya
kamayadi?
A) (0; 2)
B) (−∞; 0)
C) (0; 4)
D) (2; 4)
16.
(00-7-37) Ushbu f (x) =
2
3
x
3
− 4x
2
+ 3 funksiya
kamayadigan oraliqdagi barcha butun qiymatlar
yig’indisini toping.
A) 9
B) 8
C) 10
D) 7
17.
(01-3-13) Funksiyaning kamayish oralig’ini top-
ing.
y =
x
2
2
− 12 ln(x − 4)
A) [6; ∞)
B) (4; ∞)
C) (2; 4)
D) (4; 6]
18.
(01-11-37) Qaysi oraliqda f (x) =
1
5
x
5
− 4x
2
funk-
siya kamayadi?
A) [0; 2]
B) (0; 2]
C) [0; 2)
D) (0; 2)
19.
(02-1-65) y = 2x
3
+3x
2
−2 funksiyaning kamayish
oraliqlarini aniqlang.
A) (0; 8)
B) (−∞; −1]
C) [−1; ∞)
D) [−1; 0]
20.
(02-5-43) y =
1
4
x
4
−
5
3
x
3
+ 3x
2
+ 10 funksiyaning
kamayish oraliqlarini aniqlang.
A) (2; 3)
B) (−∞; 0] ∪ [2; 3]
C) (−∞; 3)
D) (−∞; 0) ∪ (3; +∞)
21.
(02-9-31) f (x) = −2x
3
+ 15x
2
+ 12 funksiya o’sa-
digan kesmaning uzunligini aniqlang.
A) 5
B) 4
C) 6
D) 4,5
22.
(02-12-55) Funksiya qaysi oraliqda kamayadi?
f (x) =
1
5
x
5
− 4x
2
A) (−2; 0]
B) [0; 2]
C) [−2; 0)
D) (0; 3)
Funksiyaning ekstremumlari

176
23.
(96-7-29) f (x) = 3x − x
3
funksiyaning maksimu-
mini toping.
A) −1
B) 2
C) −2
D) 4
Yechish: Ferma teoremasiga ko’ra, funksiya mak-
simumga erishadigan nuqtalarda uning hosilasi
nolga aylanadi. Shu maqsadda
f
0
(x) = 3 − 3x
2
= 3(1 − x
2
) = 3(1 − x)(1 + x) = 0
tenglamani yechamiz. Bu tenglamaning yechimi
x
1
= −1 va x
2
= 1 lardir.
Oson tekshirish
mumkinki (−∞; −1) oraliqda f
0
(x) > 0 va (−1; 1)
oraliqda f
0
(x) < 0. 4-xossaga ko’ra, berilgan funk-
siya x = −1 nuqtada maksimumga erishadi. De-
mak, f (−1) = −2 funksiyaning maksimumi bo’-
ladi. Javob: −2 (C).
24.
(97-3-29) Ushbu g(x) = 12x − x
3
funksiyaning
minimumini toping.
A) −32
B) −16
C) 0
D) 16
25.
(97-10-29) Ushbu y = −4x
3
+ 12x funksiyaning
minimumini toping.
A) 0
B) −8
C) −16
D) 8
26.
(97-11-15) Ushbu y = x
2
− 8x + 7 funksiyaning
qiymatlari sohasini toping.
A) (2; ∞) B) [−9; ∞) C) [9; ∞) D) [−4; ∞)
27.
(98-1-29) Ushbu f (x) = x
3
+2, 5x
2
−2x funksiya-
ning maksimum nuqtasidagi qiymatini hisoblang.
A) −8
B) 6
C) 10,5
D) −12
28.
(98-9-8) t ning qanday qiymatida −t
2
+ 14t − 31
uchhad eng katta qiymatga erishadi?
A) 6
B) 5
C) 8
D) 7
29.
(99-3-16) Ushbu
x
2
− ax + a − 1 = 0
tenglamaning ildizlari x
1
va x
2
bo’lsin. a ning
qanday qiymatida x
2
1
+x
2
2
yig’indi eng kichik qiy-
matga ega bo’ladi?
A) 1
B) 2
C) 1,5
D) 2,5
30.
(99-4-21) Agar 2x + y = 6 bo’lsa, xy ning eng
katta qiymati nechaga teng bo’ladi?
A) 2,5
B) 4,5
C) 3
D) −2, 5
31.
(99-9-48) Ushbu y = −x
2
+ 6x − 12 funksiyaning
qiymatlari sohasini toping.
A) (−3; ∞)
B) [−3; ∞)
C) (−∞; −3)
D) (−∞; −3]
32.
(99-4-25) Ushbu f (x) =
√
2 − x − x
2
funksiya-
ning eng katta qiymatini toping.
A)
√
2
B) 1,5
C) 3
D) 2
√
2
Yechish: y =
√
t funksiya [0; ∞) o’suvchi bo’lganligi
uchun, berilgan funksiyaning eng katta qiymati
ildiz ostidagi g(x) = 2 − x − x
2
funksiyaning
eng katta qiymatida erishadi. Ferma teoremasiga
ko’ra, g funksiya maksimumga erishadigan nuq-
talar g
0
(x) = −1 − 2x = 0 tenglama ildizlari
ichida bo’ladi. Bu tenglama esa yagona x
0
=
−0, 5 ildizga ega. Shuning uchun f (x
0
) =
=
p
2 − (−0, 5) − (0, 5)
2
=
p
2, 5 − 0, 25 = 1, 5
f ning eng katta qiymati bo’ladi. Javob: 1, 5
(B).
33.
(99-3-28) Funksiyaning qiymatlar sohasini toping.
y =
p
3x
2
− 4x + 5
A) [0; ∞)
B) [
√
3; ∞)
C) [
r
3
2
; ∞)
D) [
r
11
3
; ∞)
34.
(03-2-7) y =
√
x
2
+ 2x + 4 funksiyaning qiymat-
lar sohasini ko’rsating.
A) [0; ∞)
B) [2; ∞)
C) (0; ∞)
D) [
√
3; ∞)
35.
(99-8-37) Ushbu y =
√
3 − x
2
− 2x funksiyaning
eng katta qiymatini toping.
A) −2
B) 4
C) 2
D) 3
36.
(00-7-35) Ushbu f (x) = 3
1+x
+3
1−x
funksiyaning
eng kichik qiymatini toping.
A) 9
B) 4
C) 8
D) 6
37.
(99-10-42) Ushbu y =
√
x
2
− 2x + 10 funksiya-
ning qiymatlar sohasini toping.
A) [3; ∞) B) (3; ∞) C) [5; ∞) D) [2; ∞)
38.
(01-1-34) Ushbu f (x) = 3x
5
− 5x
3
− 3 funksiyan-
ing ekstremum nuqtalaridagi qiymatlari yig’indisini
hisoblang.
A) −9
B) −6
C) −8
D) −4
Yechish: Dastlab berilgan funksiyaning ekstre-
mum nuqtalari topamiz. Ferma teoremasiga ko’ra,
funksiyaning ekstremum nuqtalari
f
0
(x) = 15x
4
− 15x
2
= 15x
2
(x − 1)(x + 1) = 0
tenglama ildizlari ichida bo’ladi. Bu tenglama
x
0
= −1, x
1
= 0, x
2
= 1 ildizlarga ega. Argu-
ment x x
0
= −1 yoki x
2
= 1 nuqtadan o’tganda
funksiya hosilasi ishorasini o’zgartiradi. 3 va 4-
xossalarga ko’ra, funksiya bu nuqtalarda ekstre-
mumga erishadi. Argument x x
1
= 0 nuqtadan
o’tganda funksiya hosilasi ishorasini o’zgartirmay-
di. 5-xossaga ko’ra, bu nuqta funksiya uchun eks-
tremum emas. Masalani oxiriga yetkazish uchun
f (x
0
) + f (x
2
) yig’indini hisoblashimiz kerak.
f (−1)+f (1) = 3(−1)
5
−5(−1)
3
−3+3−5−3 = −6.
Javob: −6 (B).
39.
(01-2-60) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ko’paytmaning
eng kichik qiymatini toping.
A) 3
B) 2
C) 1
D) −1
40.
(01-12-38) y = −x
2
+ bx + c funksiya x = −1
nuqtada 5 ga teng eng katta qiymatni qabul qilsa,
y(1) ni toping.
A) −1
B) 0
C) 1
D) 1,5

177
41.
(02-4-6) y = x
2
+ 4x + 11 funksiyaning eng kichik
qiymatini toping.
A) 4
B) 11
C)
11
4
D) 7
42.
(02-2-4) a ning qanday qiymatida
(a − 7)
2
+ (a − 8)
2
+ (a − 12)
2
ifoda eng kichik qiymatga ega bo’ladi?
A) 9
B) 10
C) 8
D) 11
43.
(02-11-52) f (x) = 0, 9x
5
−4, 5x
3
+ 4 funksiyaning
minimum nuqtasini toping.
A) −1
B) 1
C)
√
2
D)
√
3
44.
(03-5-30) f (x) = 9
x
+ 5 · 3
−2x
funksiyaning qiy-
matlar to’plamini ko’rsating.
A) [2
√
5; ∞) B) (0; ∞) C) [5; ∞) D) [6; ∞)
Yechish: Ikkala g(x) = 9
x
va ϕ(x) = 5 · 3
−2x
funksiyalarning qiymatlari to’plami (0; ∞) dan
iborat. Shuning uchun yig’indi f (x) = 9
x
+ 5 ·
3
−2x
funksiyaning qiymatlar to’plami [m; ∞), bu
yerda m berilgan funksiyaning eng kichik qiy-
mati. Berilgan funksiyani f (x) = 9
x
+ 5 · 9
−x
shaklda yozib, uning kritik nuqtalari topamiz.
Shu maqsadda
f
0
(x) = 9
x
·ln 9−5·9
−x
·ln 9 = ln 9(9
x
−5·9
−x
) = 0
tenglamani yechamiz. Bu ko’rsatkichli tenglama
bo’lib, uning ildizi x
0
= log
9
√
5 dir. Funsiya
hosilasi yagona x
0
nuqtada nolga aylanyapti, shun-
ing uchun u minimum nuqta bo’ladi. Uni hisoblay-
miz:
f (x
0
) = 9
log
9
√
5
+5·9
− log
9
√
5
=
√
5+5·
1
√
5
= 2
√
5.
Berilgan funksiyaning qiymatlar to’plami [2
√
5; ∞)
ekan. Javob: [2
√
5; ∞) (A).
45.
(03-1-57) Qaysi sonni o’zining kvadrati bilan yig’indisi
eng kichik bo’ladi?
A) −1 B) −0, 4 C) −0, 8 D) −0, 5
46.
(03-3-52) Agar m va M sonlar y = x+
1
x
funksiya-
ning mos ravishda minimum va maksimum nuq-
talaridagi qiymatlari bo’lsa, m−2M ning qiyma-
tini toping.
A) −6
B) 6
C) −4
D) 4
47.
(03-7-81) y = −x
4
+2x
2
+5 funksiyaning qiymat-
lar to’plamini toping.
A) (−∞; 6]
B) (−∞; 6)
C) [5; 6]
D) (−∞; 5]
48.
(03-9-46) f (x) = 0, 6x
5
− 2x
3
− 1 funksiyaning
maksimum va minimum nuqtalaridagi qiymatlari
yig’indisini toping.
A) −3
B) −2
C) −1
D) 1
49.
(03-11-7) m va n natural sonlar.
6
x
=
1
m
+
1
n
va
m + n = 18 bo’lsa, x ning eng katta qiymatini
toping.
A) 27
B) 24
C) 18
D) 30
Eng katta va eng kichik qiymatlar
Berilgan f (x) funksiyaning [a; b] kesmadagi eng
katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun,
dastlab uning shu oraliqqa tegishli kritik nuqta-
lari topiladi, ya’ni f
0
(x) = 0 tenglamaning [a; b]
oraliqqa tegishli ildizlari topilib, so’ngra beril-
gan funksiyaning bu ildizlardagi qiymatlari va
kesmaning chetki x = a, x = b nuqtalardagi
qiymatlari hisoblanib, ular o’zaro taqqoslanadi.
Bu qiymatlardan eng kattasi funksiyaning [a; b]
kesmadagi eng katta qiymati, eng kichigi esa funk-
siyaning eng kichik qiymati bo’ladi.
50.
(97-9-90) Ushbu f (x) = 3x
2
−4x−4 funksiyaning
[0; 3] kesmadagi eng katta qiymatini toping.
A) 10
B) 20
C) 11
D) 16
Yechish: Yuqorida keltirilgan qoidaga ko’ra
f
0
(x) = 6x − 4 = 0
tenglamani yechamiz. Uning yechimi x =
2
3
∈
[0; 3]. Endi berilgan funksiyanung x = 0, x =
3, x =
2
3
nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz:
f (0) = −4, f (3) = 11, f (
2
3
) = −
16
3
.
Sonlardan eng kattasi 11 bo’lganligi uchun funksi-
yaning [0; 3] kesmadagi eng katta qiymati 11 ga
teng bo’ladi. Javob: 11 (C).
51.
(97-4-30) Ushbu f (x) = x
2
− 3x + 1, 25 funksiya-
ning [−1; 1] oraliqdagi eng katta qiymatini to-
ping.
A) 0
B) −0, 75
C) 5,25
D) 6,25
52.
(98-5-27) Ushbu y = x
2
− 2x + 5 funksiyaning
[0; 1] kesmadagi eng katta qiymatini toping.
A) 5
B) 4
C) −2
D) 0
53.
(98-9-38) Ushbu f (x) = x
3
+ 2x − 5 funksiyaning
[−1; 1] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymat-
lari ayirmani toping.
A) −6
B) 6
C) −5
D) 5
54.
(98-10-72) y = 2x
3
+3x
2
−12x funksiyaning [0; 2]
kesmadagi eng kichik qiymatini toping.
A) 0
B) −2
C) −5
D) −7
55.
(98-11-33) y = 0, 25x
4
−
x
3
3
− x
2
funksiyaning
[−2, 5; ∞) oraliqdagi eng kichik qiymatini aniqlang.
A) −
3
8
B)
3
8
C)
8
3
D) −
8
3
56.
(99-2-42) y = 3x
4
− 4x
3
funksiyaning [0; 2] kes-
madagi eng kichik qiymatini toping.
A) 0
B) −16
C) −1
D) 1

178
57.
(99-3-53) Ushbu y = x
3
− 3x
2
+ 1 funksiyaning
[−1; 4] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymat-
lari ayirmasini toping.
A) 20
B) 14
C) 15
D) 18
58.
(99-7-28) Ushbu y = x
2
− 2x − 1 funksiyaning
[−1; 1] kesmadagi eng katta qiymatini toping.
A) 4
B) 2
C) 0
D) 6
59.
(00-1-15) Agar m > 0,
n > 0 va m + n = 16
bo’lsa, mn ning eng katta qiymatini toping.
A) 62
B) 72
C) 64
D) 60
Yechish: Masala shartlaridan m = 16 − n va
mn = (16 − n)n, n ∈ (0; 16) kelib chiqadi. Agar
f (n) = (16 − n)n = 16n − n
2
deb belgilab olsak,
bu funksiyaning (0; 16) intervaldagi eng katta qiy-
matini topish talab qilinadi. f
0
(n) = 16 − 2n = 0
tenglama yagona n = 8 yechimga ega. f (0) =
f (16) = 0, f (8) = 8 · 8 = 64. Demak, mn ning
eng katta qiymati 64 ekan. Javob: 64 (C).
60.
(00-3-66) Ushbu f (x) = 3x − x
3
funksiyaning
[−2; 3] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymat-
lari ayirmasini toping.
A) 20
B) 18
C) 16
D) 12
61.
(00-3-67) Bir tomondan imorat bilan chegaralan-
gan, qolgan tomonlari uzunligi 120 m panjaradan
iborat to’gri to’rtburchak shaklidagi yer maydo-
nining eng katta yuzini toping.
A) 1600
B) 1500
C) 1800
D) 2000
62.
(00-4-52) Ushbu y = 4x
2
+
1
x
funksiyaning
[0, 25; 1] kesmadagi eng katta qiymatini toping.
A) 3
B) 4,25
C) 4,5
D) 5
63.
(00-10-28) y = 12x − x
3
funksiyaning [−1; 3]
kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari
ayirmasini toping.
A) 27
B) 15
C) 5
D) 32
64.
(01-3-18) Ushbu f (x) = x
2
(x − 6) funksiyaning
[−1; 3] dagi eng katta va eng kichik qiymatlarini
aniqlang.
A) 2; −4
B) 0; −32
C) 6; −21
D) 0; −27
65.
(01-7-49) Ushbu y = 4x
2
+
1
x
funksiyaning
[
1
4
; 1] kesmadagi eng katta va eng kichik
qiymatlari yig’indisini toping.
A) 7
1
4
B) 9
1
4
C) 10
1
4
D) 8
66.
(01-9-49) Ushbu y =
1
3
x
3
+ x
2
− 8x funksiyaning
[1; 3] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymat-
larining ko’paytmasini toping.
A) 48
B) −37
C) 50
D) 56
67.
(01-11-39) Ushbu y =
1
3
x
3
− 4x funksiyaning
[0; 2] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymat-
larining ayirmasini toping.
A) 5
1
3
B) 15
2
3
C) 10
2
3
D) 15
1
5
14.3
Hosilaning geometrik va mexanik
ma’nosi. Urinma va tezlik
y = f (x) funksiya grafigiga (x
0
; y
0
) nuqtada o’tkazilgan
urinmaning burchak koeffitsiyenti k, bu urinmaning Ox
o’qining musbat yo’nalishi bilan tashkil qilgan burchagi
α bo’lsin (14.2-chizma). U holda quyidagilar o’rinli.
1.
k = f
0
(x
0
) = tgα.
2.
y = f (x) funksiya grafigining (x
0
; y
0
) nuq-
tasidan o’tuvchi urinma tenglamasi
y = y
0
+ f
0
(x
0
)(x − x
0
).
(1)
3.
y = f (x) va y = g(x) funksiyalar grafiklari-
ga abssissasi x
0
bo’lgan nuqtada o’tkazilgan
urinmalarning parallellik sharti:
f
0
(x
0
) = g
0
(x
0
).
S(t) qonuniyat bo’yicha harakatlanayotgan mod-
diy nuqtaning tezligi ϑ(t), tezlanishi esa a(t) bo’l-
sin. U holda quyidagilar o’rinli.
4.
ϑ(t) = S
0
(t).
5.
a(t) = ϑ
0
(t).
1.
(96-13-23)
y =
x
1 − x
funksiya grafigiga abssis-
sasi x
0
= 3 bo’lgan nuqtada o’tkazilgan urinma-
ning Ox o’qi bilan tashkil qilgan burchagi α bo’lsa,
tg2α ni toping.
A)
7
15
B)
2
5
C)
8
15
D)
3
5
Yechish: 1-xossaga ko’ra tgα = f
0
(x
0
) ekani
ma’lum. Endi funksiyaning hosilasini topamiz:
y
0
=
1 − x + x
(1 − x)
2
=
1
(1 − x)
2
So’ngra x ning o’rniga x = 3 ni qo’yib
tgα =
1
(1 − 3)
2
=
1
4
ni topamiz. Ikkilangan burchak formulasidan
tg2α =
2tgα
1 − tg
2
α
=
2 ·
1
4
1 −
1
16
=
8
15
ni hosil qilamiz. Javob:
8
15
(C).

179
2.
(96-6-46) Ushbu y = x
2
− 3x + 2 parabolaga abs-
sissasi x
0
= 2 bo’lgan nuqtada o’tkazilgan urin-
maning burchak koeffitsiyenti nimaga teng.
A) 1
B) 2
C) −3
D) 3
3.
(97-2-46) y = ln x + x
2
funksiyaning grafigiga
x
0
=
1
2
nuqtada o’tkazilgan urinmaning burchak
koeffitsiyentini toping.
A) 3
B) 6
C) 4
D)6,5
4.
(97-8-46) Ushbu y =
1
3
x
3
− ln x funksiyaning grafi-
giga x
0
= 2 nuqtada o’tkazilgan urinmaning bur-
chak koeffitsiyentini toping.
A) 4
B) 3
C) 2
D) 3,5
5.
(97-4-29) y = 3x
2
+ 2x funksiya grafigiga ab-
ssissasi x
0
= −3 nuqtada o’tkazilgan urinma Ox
o’qining musbat yo’nalishi bilan qanday burchak
hosil qiladi?
A) arctg3
B) π − arctg16
C) π − arctg3
D) −arctg16
6.
(98-9-39) Ushbu f (x) =
√
3
3
· x
3
− 1 funksiyaning
grafigiga