M u n d a r I j a

x ≥ a,
−1 ≤ a ≤ 1
2nπ+arcsin a ≤ x ≤ − arcsin a+(2n+1)π, n ∈ Z.
2.
sin x ≤ a,
−1 ≤ a ≤ 1
(2n − 1)π − arcsin a ≤ x ≤ arcsin a + 2nπ, n ∈ Z.
3.
cos x ≥ a,
−1 ≤ a ≤ 1
2nπ − arccos a ≤ x ≤ arccos a + 2nπ, n ∈ Z.
4.
cos x ≤ a,
−1 ≤ a ≤ 1
2nπ + arccos a ≤ x ≤ 2(n + 1)π − arccos a, n ∈ Z.
5.
tgx ≥ b,
arctgb + nπ ≤ x <
π
2
+ nπ,
n ∈ Z.
6.
tgx ≤ b,
−
π
2
+ πn < x ≤ arctgb + nπ,
n ∈ Z.
7.
ctgx ≥ b,
nπ < x ≤ arcctgb + nπ,
n ∈ Z.

165
8.
ctgx ≤ b,
arcctgb + nπ ≤ x < π + nπ,
n ∈ Z.
9.
sin x ≥ a,
a > 1
bo’lsa
x ∈ ∅.
10.
sin x ≤ a,
a ≥ 1
bo’lsa
x ∈ (−∞; ∞).
11.
cos x ≥ a,
a > 1
bo’lsa
x ∈ ∅.
12.
cos x ≤ a,
a ≥ 1
bo’lsa
x ∈ (−∞; ∞).
Agar sin x ≤ a, cos x ≤ a, tgx ≤ a, ctgx ≤ a teng-
sizliklarda ≤ belgisi < belgi bilan almashsa, u holda
yechimlarda ham ≤ belgisi o’rniga < belgisi qo’yiladi.
1.
(97-6-47) Ushbu y =
√
2 sin x − 1 funksiyaning
aniqlanish sohasini toping.
A)
³
−
π
6
+ 2πn;
π
6
+ 2πn
´
,
n ∈ Z
B) [
π
6
+ 2πn;
5π
6
+ 2πn],
n ∈ Z
C)
³ π
6
+ 2πn;
5π
6
+ 2πn
´
,
n ∈ Z
D) [−
π
6
+ 2πn;
π
6
+ 2πn],
n ∈ Z
Yechish: y =
√
2 sin x − 1 funksiya 2 sin x − 1 ≥
0 bo’lganda aniqlangan. Bu tengsizlikni
sin x ≥
1
2
ko’rinishda yozamiz. 1-formulaga ko’ra uning javobi
2πn +
π
6
≤ x ≤
5π
6
+ 2πn, n ∈ Z. Javob: (B).
2.
(96-9-51) Ushbu sin
2
x −
5
2
sin x + 1 < 0 tengsiz-
lik x (x ∈ [0; 2π]) ning qanday qiymatlarida o’rinli?
A) [0;
π
6
] ∪ [
5π
6
; 2π]
B) (
π
6
;
5π
6
)
C) (0;
π
3
) ∪ (
2π
3
; 2π]
D) [0;
π
3
) ∪ (
2π
3
; 2π]
3.
(99-1-43) Tengsizlikni yeching.
2 sin x ≥
√
2
A)
π
4
+ 2πn ≤ x ≤
3π
4
+ 2πn, n ∈ Z
B) −
5π
4
+ 2πn ≤ x ≤
π
4
+ 2πn, n ∈ Z
C)
π
4
+ 2πn ≤ x ≤
3π
4
+ 2πn, n ∈ Z
D)
π
4
+ πn ≤ x ≤
3π
4
+ πn, n ∈ Z
4.
(96-9-105) Tengsizlikni yeching.
2 sin 2x ≥ ctg
π
4
A) [
π
6
+ 2πn;
5π
6
+ 2πn],
n ∈ Z
B) (
π
12
+ πn;
5π
12
+ πn),
n ∈ Z
C) [
π
12
+ πn;
5π
12
+ πn],
n ∈ Z
D) [
π
12
+ 2πn;
5π
12
+ 2πn],
n ∈ Z
5.
(97-9-101) Tengsizlikni yeching.
sin x · cos x >
√
2
4
A)
π
8
+ 2πk < x <
3π
8
+ 2πk,
k ∈ Z
B)
π
4
+ πk < x <
3π
4
+ πk, k ∈ Z
C)
π
8
+ πk < x <
3π
8
+ πk, k ∈ Z
D)
π
8
+ πk ≤ x ≤
3π
8
+ πk,
k ∈ Z
6.
(98-5-51) Tengsizlikni yeching.
sin 5x · cos 4x + cos 5x · sin 4x >
1
2
A)
π
6
+ 2πn < x <
5π
6
+ 2πn, n ∈ Z
B)
π
54
+ 2πn < x <
5π
54
+ 2πn, n ∈ Z
C)
π
36
+
2πn
9
< x <
5π
36
+
2πn
9
, n ∈ Z
D)
π
54
+
2πn
9
< x <
5π
54
+
2πn
9
, n ∈ Z
7.
(98-8-60) Tengsizlikni yeching.
1 − 2 sin 4x < cos
2
4x
A) (πk;
π
2
+ πk),
k ∈ Z
B) (−
π
2
+ 2πk;
π
2
+ 2πk),
k ∈ Z
C) (
πk
2
;
π
4
+
πk
2
),
k ∈ Z
D) (−
π
4
+ 2πk;
π
4
+ 2πk),
k ∈ Z
Yechish: Agar cos
2
4x = 1−sin
2
4x ayniayatdan
foydalansak, berilgan tengsizlikni
1−2 sin 4x < 1−sin
2
4x ⇐⇒ sin 4x(sin 4x−2) < 0
ko’rinishda yozishimiz mumkin. Barcha x ∈ R
lar uchun sin 4x−2 < 0 tengsizligi o’rinli, shuning
uchun berilgan tengsizlik sin 4x > 0 tengsizlikka
teng kuchli. 1-formulaga ko’ra uning yechimi 2πn <
4x < π(2n + 1), n ∈ Z. Bu tengsizlikning barcha
qismlarini 4 ga bo’lib
πn
2
< x <
π
4
+
πn
2
, n ∈ Z.
Javob: (C).
8.
(98-1-60) Tengsizlikni yeching.
1 − 2 cos 2x > sin
2
2x
A) (
π
2
+ πk; π + πk),
k ∈ Z
B) (
π
3
+ 2πk;
2π
3
+ 2πk),
k ∈ Z
C) (
π
4
+ πk;
3π
4
+ πk),
k ∈ Z
D) (−
π
2
+ πk;
π
2
+ πk), k ∈ Z
9.
(98-12-59) Tengsizlikni yeching.
sin
2
3x − cos
2
3x ≤ −
√
3
2

166
A)
h
−
π
36
+
πn
3
;
π
36
+
πn
3
i
, n ∈ Z
B)
³
−
π
36
+
πn
3
;
π
36
+
πn
3
´
,
n ∈ Z
C)
h
−
π
6
+ 2πn;
π
6
+ 2πn
i
,
n ∈ Z
D)
³
−
π
6
+ 2πn;
π
6
+ 2πn
i
,
n ∈ Z
10.
(99-3-38) Tengsizlikni yeching.
4 cos
2
x − 3 ≥ 0
A) [−
π
3
+ 2πk;
π
3
+ 2πk], k ∈ Z
B) [−
π
3
+ πk;
π
3
+ πk], k ∈ Z
C) [−
π
6
+ πk;
π
6
+ πk],
k ∈ Z
D) [−
π
6
+ 2πk;
π
6
+ 2πk], k ∈ Z
11.
(99-7-49) Tengsizlikni yeching.
cos 5x · cos 4x + sin 5x · sin 4x <
√
3
2
A)
π
3
+ 2πn < x <
5π
3
+ 2πn, n ∈ Z
B)
π
6
+ 2πn < x <
11π
6
+ 2πn, n ∈ Z
C)
π
3
+ πn < x <
5π
3
+ πn, n ∈ Z
D)
π
6
+ πn < x <
11π
6
+ πn,
n ∈ Z
12.
(96-12-111) x (x ∈ [0; 2π]) ning qanday qiymat-
larida tengsizlik to’g’ri?
cos
2
x −
5
2
cos x + 1 > 0
A) [0;
π
3
] ∪ (
5π
3
; 2π]
B) (
π
3
;
π
2
] ∪ [
3π
2
;
5π
3
)
C) (
π
3
;
5π
3
)
D) (
π
3
;
π
2
]
Yechish: Berilgan tengsizlikda cos x = y belgi-
lash olib, uni quyidagicha yozib olamiz
y
2
− 2, 5y + 1 > 0 ⇐⇒ (y − 0, 5)(y − 2) > 0.
Yana eski belgilashga qaytib berilgan tengsizlikka
teng kuchli bo’lgan
(cos x − 0, 5)(cos x − 2) > 0
tengsizlikka ega bo’lamiz. Barcha x ∈ R larda
cos x − 2 < 0 tengsizligi o’rinli bo’lgani uchun,
berilgan tengsizlik
cos x − 0, 5 < 0 ⇐⇒ cos x <
1
2
tengsizlikka teng kuchli. 4-formulaga ko’ra uning
yechimi 2πn +
π
3
< x < 2π(n + 1) −
π
3
, n ∈ Z
ko’rinishda bo’ladi. Bu yechimning [0; 2π] kesma-
dagi qismini olish uchun n = 0 deymiz, u holda
(
π
3
;
5π
3
) oraliq [0; 2π] kesmaning qismi bo’ladi.
Agar n 6= 0 bo’lsa, u holda (2πn +
π
3
; 2π(n + 1) −
π
3
) interval [0; 2π] kesma bilan umumiy qismga
ega emas. Javob: (
π
3
;
5π
3
) (C).
13.
(96-13-26) Ushbu
cos
2
x −
5
2
cos x + 1 ≤ 0
tengsizlik x (x ∈ [0; 2π]) ning qanday qiymatla-
rida o’rinli?
A) [0;
π
3
] ∪ [
5π
3
; 2π]
B) [0;
π
3
]
C) [
5π
3
; 2π]
D) [
π
3
;
π
2
] ∪ [
3π
2
;
5π
3
]
14.
(97-4-41) Tengsizlikni yeching.
cos
2
x <
√
2
2
+ sin
2
x
A)
π
8
+ 2πn < x <
7π
8
+ 2πn, n ∈ Z
B)
π
8
+ πn < x <
7π
8
+ πn, n ∈ Z
C) −
π
8
+ 2πn < x <
π
8
+ 2πn, n ∈ Z
D)
π
4
+ 2πn < x <
7π
4
+ 2πn,
n ∈ Z
15.
(98-6-55) Ushbu
cos 2x ≤ −
1
2
tengsizlikning [0; π] kesmadagi yechimini toping.
A) [
π
3
;
2π
3
]
B) [0;
2π
3
]
C) [−
2π
3
;
4π
3
]
D) [
4π
3
; 2π]
16.
(00-3-55) Quyidagi tengsizlik
−1 −
2
√
3
cos x > 0
[−π; π] kesmada nechta butun yechimga ega?
A) 4
B) 3
C) 6
D) 2
17.
(00-6-56) Tengsizlikni yeching.
cos x < sin x
A) (
π
4
+ πk;
3π
4
+ πk), k ∈ Z
B) (
π
4
+ πk;
5π
4
+ πk), k ∈ Z
C) (
π
4
+ 2πk;
3π
4
+ 2πk), k ∈ Z
D) (
π
4
+ 2πk;
5π
4
+ 2πk), k ∈ Z
18.
(96-1-59) Tengsizlikni yeching.
tg
³
x +
π
4
´
≥ 1
A)
h
−
π
4
+ πk;
π
2
+ πk
i
, k ∈ Z
B) [πk;
π
2
+ πk) k ∈ Z

167
C)
h π
4
+ 2πk;
π
2
+ 2πk
i
,
k ∈ Z
D)
h
πk;
π
4
+ πk
´
,
k ∈ Z
19.
(96-12-91) x (x ∈ [0; 2π]) ning qaysi qiymatlarida
funksiya aniqlangan?
y =
q
1 − log
1
2
cos x
A) [
π
3
;
π
2
)
B) (
3π
2
;
5π
3
]
C) [0;
π
3
]
D) [
5π
3
; 2π] ∪ [0;
π
3
]
20.
(96-13-34) Ushbu y =
q
1 + log
1
2
sin x funksiya-
ning aniqlanish sohasiga tegishli bo’lgan x ning
[0; 2π] kesmadagi barcha qiymatlarini aniqlang.
A)
h π
6
;
5π
6
i
B)
³
0;
π
6
i
∪
h 5π
6
; π
´
C)
³
0;
π
6
i
D) (0; π)
21.
(01-4-3) Ushbu y = arccos(2 sin x) funksiyaning
aniqlanish sohasiga tegishli bo’lgan x ning [−π; π]
kesmadagi barcha qiymatlarini aniqlang.
A) [−
π
6
;
π
6
]
B) [−
π
4
;
π
4
]
C) [−
π
3
;
π
3
]
D) [−π; −
5π
6
] ∪ [−
π
6
π
6
] ∪ [
5π
6
; π]
22.
(01-10-39) Tengsizlikni yeching.
sin 2x < cos 2x
A) (−
3π
8
+ 2πn;
π
8
+ 2πn), n ∈ Z
B) (−
3π
4
+ 2πn;
π
4
+ 2πn), n ∈ Z
C) (−
π
8
+ πn;
π
8
+ πn),
n ∈ Z
D) (−
3π
8
+ πn;
π
8
+ πn),
n ∈ Z
23.
(01-11-22) Tengsizlikning [0; 2π] kesmadagi eng
katta va eng kichik yechimlari yig’indisini hisoblang.
2
1
2
≤ 2
sin x
≤ 2
√
3
2
A)
2π
3
B) π
C)
4π
5
D)
π
2
24.
(02-1-62) Tengsizlikni yeching.
cos(sin x) < 0
A) (
π
2
+ 2πn;
3π
2
+ 2πn), n ∈ Z
B) (
π
2
+ πn;
3π
2
+ πn), n ∈ Z
C) (0;
3π
2
+ 2πn),
n ∈ Z
D) yechimga ega emas
Yechish: Ma’lumki, ixtiyoriy x ∈ R da sin x ∈
[−1; 1] bo’ladi. Kosinus funksiya esa (−
π
2
;
π
2
) da
musbat qiymatlar qabul qiladi. Demak, ixtiyoriy
t = sin x ∈ (−
π
2
;
π
2
) da ham cos(sin x) = cos t >
0 bo’ladi. Bu yerdan berilgan tengsizlik yechimga
ega emasligi kelib chiqadi. Javob: yechimga ega
emas. (D).
25.
(02-6-45) Tengsizlikni yeching.
sin x >
√
3 · cos x
A) (
π
3
+ 2πn;
4π
3
+ 2πn), n ∈ Z
B) (
π
6
+ πn;
2π
3
+ πn), n ∈ Z
C) (
π
6
+ 2πn;
7π
6
+ 2πn),
n ∈ Z
D) (
π
4
+ πn;
3π
4
+ πn), n ∈ Z
26.
(02-8-19) Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
y =
p
log
3
sin x
A)
π
2
+ 2πn, n ∈ Z
B)
π
2
+ πn, n ∈ Z
C) (0; 1)
D) (0; π)
27.
(02-10-62) Tengsizlikni yeching.
r
cos
2
x − cos x +
1
4
≥
1
2
A) [
π
2
+ 2πn;
3π
2
+ 2πn] ∪ {2πn}, n ∈ Z
B) [−
π
2
+ 2πn;
π
2
+ 2πn] ∪ {2πn}, n ∈ Z
C) (−
π
2
+ 2πn; π + 2πn] ∪ {2πn},
n ∈ Z
D) [
2π
3
+ πn;
7π
6
+ πn], n ∈ Z
28.
(03-2-31) Tengsizlikni yeching.
cos(π sin x) > 0
A)
³
πk;
π
3
+ πk
´
,
k ∈ Z
B)
³
−
π
6
+ πk;
π
6
+ πk
´
, k ∈ Z
C)
³
−
π
3
+ 2πk;
π
3
+ 2πk
´
, k ∈ Z
D)
³
πk;
π
6
+ πk
´
,
k ∈ Z
13.6
Aralash tipdagi masalalar
1.
y = arcsin x funksiyaning aniqlanish sohasi
[−1; 1], qiymatlar sohasi esa - [−
π
2
;
π
2
].
y = arcsin x funksiya [−1; 1] da o’suvchi.
2.
y = arccos x funksiyaning aniqlanish sohasi
[−1; 1], qiymatlar sohasi esa - [0; π].
y = arccos x funksiya [−1; 1] da kamayuvchi.
3.
y = arctgx funksiyaning aniqlanish sohasi
(−∞; ∞), qiymatlar sohasi esa - (−
π
2
;
π
2
).
y = arctgx funksiya (−∞; ∞) da o’suvchi.
4.
y = arcctgx funksiyaning aniqlanish sohasi
(−∞; ∞), qiymatlar sohasi esa - (0; π).
y = arcctgx funksiya (−∞; ∞) da kamayu-
vchi.

168
5.
y = arcsin x va y = arctgx - toq funksiyalar,
y = arccos x va y = arcctgx funksiyalar esa
juft ham emas, toq ham emas va ular uchun
arccos(−x) = π − arccos x,
arcctg(−x) = π −
arcctgx tengliklar o’rinli.
6.
arcsin x + arccos x =
π
2
,
x ∈ [−1; 1].
7.
arcsin a > arcsin b ⇔



a > b
b ≥ −1
a ≤ 1.
8.
arccos a > arccos b ⇔



a < b
a ≥ −1
b ≤ 1.
9.
arctga > arctgb ⇔ a > b.
10.
arcctga > arcctgb ⇔ a < b.
1.
(98-6-51) Tengsizlikni yeching.
arcsin x < arcsin(1 − x)
A) [0;
1
2
)
B) [−1; 1]
C) (−∞;
1
2
]
D) [0; 2]
Yechish: y = arcsin x,
−1 ≤ x ≤ 1 funksiya
o’suvchi ekani ma’lum. U holda berilgan tengsi-
zlik quyidagi



x < 1 − x
−1 ≤ x ≤ 1
−1 ≤ 1 − x ≤ 1
sistemaga ekvivalent bo’ladi. Uni yechamiz.



2x < 1
−1 ≤ x ≤ 1
0 ≤ x ≤ 2
Demak,
0 ≤ x <
1
2
Javob: [0;
1
2
) (A).
2.
(98-6-53) Tenglamaning eng kichik musbat ildizini
toping.
arcsin(2 sin x) =
π
2
A)
1
3
B)
5π
6
C)
1
2
D)
π
6
3.
(98-11-30) Tenglamaning yechimi nechta?
arctg|x| = −
π
6
A) 1
B) 0
C) 2
D) cheksiz ko’p
4.
(98-11-74) Tengsizlikni yeching.
arccos x > arccos x
2
A) (0; 1)
B) [−1; 0)
C)[−1; 1]
D) (−∞; 0) ∪ (1; ∞)
5.
(00-1-33) Tenglamaning ildizlari yig’indisini
toping.
2(arccos x)
2
+ π
2
= 3π arccos x
A)
√
2
2
B) −1
C) 1
D) −
√
2
2
6.
(01-4-4) Ushbu
arccos
2
x −
5π
6
· arccos x +
π
2
6
≤ 0
tengsizlik o’rinli bo’ladigan kesmaning
o’rtasini toping.
A) 0,5
B) 0,4
C) 0,25
D)
π
4
Yechish: Berilgan tengsizlikning chap qismini
ko’paytuvchilarga ajratamiz
(arccos x −
π
3
)(arccos x −
π
2
) ≤ 0.
Bu tengsizlikka oraliqlar usulini qo’llab
π
3