M u n d a r I j a

x = 3 nuqtadagi hosilasini toping.
A) 0
B) 3
C) 27
D) −27
5.
(96-9-22) Ushbu
f (x) =
x
2
x
2
− 1
funksiya uchun f
0
(−2) ni hisoblang.
A)
4
9
B) −
4
9
C)
3
4
D) −
3
4
Yechish: 2-qoidaga ko’ra
f
0
(x) =
(x
2
)
0
· (x
2
− 1) − x
2
(x
2
− 1)
0
(x
2
− 1)
2
.
Endi hosilalarni hisoblaymiz va soddalashtiramiz:
f
0
(x) =
−2x
(x
2
− 1)
2
=⇒ f
0
(−2) =
−2(−2)
((−2)
2
− 1)
2
=
4
9
.
Javob:
4
9
(A).
6.
(96-3-81) Agar
f (x) =
x
1 − x
bo’lsa, f
0
(2) ni toping.
A) −1
B) −2
C) 2
D) 1
7.
(96-13-22) F
0
(1) ni toping.
F (x) =
x
2
x
2
+ 1
A) −
1
2
B)
1
2
C)
2
3
D) −
2
3
8.
(98-10-69) f
0
(1) ni toping.
f (x) =
√
x + 1
√
x
A)
1
2
B) 2
C) −
1
2
D) 1
9.
(02-1-27) f
0
(1) ni toping.
f (x) =
8x
√
x + 2
x
A) 2
B) 1
C) 0
D) 3
10.
(97-5-33) y = e
sin
2
x
funksiya hosilasini toping.
A) e
sin
2
x
B) e
sin
2
x
· sin 2x
C) 2e
sin
2
x
· sin x
D) sin
2
x · e
sin
2
x−1
Yechish: Murakkab funksiyaning hosilasini hisob-
lash qoidasi 5-ga ko’ra
y
0
= e
sin
2
x
· 2 sin x · cos x
ekanini topamiz. 2 sin x · cos x = sin 2x formulaga
ko’ra y
0
= e
sin
2
x
· sin 2x bo’ladi.
Javob: e
sin
2
x
· sin 2x (B).
11.
(96-3-34) f (x) = e
sin 2x
funksiya hosilasini to-
ping.
A) sin 2x · e
sin 2x−1
B) 2 cos 2x · e
sin 2x
C) 2 cos 2x · e
cos 2x
D) cos 2x · e
sin 2x
12.
(96-12-36) f (x) = e
cos 2x
funksiyaning hosilasini
toping.
A) 2 sin 2x · e
cos 2x
B) cos 2x · e
cos 2x−1
C) −2 sin 2x · e
−2 sin 2x
D) −2 sin 2x · e
cos 2x
13.
(97-6-48) g(x) =
1
3
ctg3x funksiyaning x =
π
18
dagi
hosilasini hisoblang.
A) −2
B)
4
3
C) 4
D) −4
14.
(00-6-26) Agar f (x) = 3x
2
· e
sin x
− 8 bo’lsa, f
0
(π)
ning qiymatini toping.
A) 3π(2 + π)
B) 3π
2
(3 − π)
C) 2π(3 + π)
D) 3π(2 − π)
15.
(99-4-33) Agar f (x) = (x − 2)
2
· (x + 4) bo’lsa,
f
0
(x) ≤ 0 tengsizlikni eching.
A) [−4; 2]
B) [2; 4]
C) [−2; 2]
D) [−3; 2]
16.
(96-1-28) Agar f (x) = x · 2
x+1
bo’lsa, f
0
(0)
ni toping.
A) −2
B) −1
C) 1
D) 2
17.
(96-3-29) y = cos(x
3
− 5) funksiyaning hosilasini
toping.
A) −3x
2
sin(x
3
− 5)
B) 3x
2
sin(x
3
− 5)
C) − sin(3x
2
− 5)
D) sin(3x
2
− 5)

173
18.
(96-3-33) f (x) = ln(x
2
− 3 sin x) funksiyaning
hosilasini toping.
A)
3
x
2
− 3 sin x
B)
2x + 3 cos x
x
2
− 3 sin x
C)
2x − 3 cos x
x
2
− 3 sin x
D)
2x
x
2
− 3 sin x
Yechish: Murakkab funksiyaning hosilasini hisob-
lash qoidasi 6-ga ko’ra
f
0
(x) =
(x
2
− 3 sin x)
0
x
2
− 3 sin x
=
2x − 3 cos x
x
2
− 3 sin x
ekanini topamiz. Javob: (C).
19.
(96-12-34) Funksiyaning hosilasini toping.
f (x) = ln(x
2
+ 3 sin x)
A)
3
x
2
+ 3 sin x
B)
2x + 3 sin x
x
2
+ 3 sin x
C)
2x + 3 cos x
x
2
+ 3 sin x
D)
2x − 3 cos x
x
2
+ 3 sin x
20.
(96-6-56) Agar f (x) = ln sin x bo’lsa, f
0
(
π
6
) ni
toping.
A) −
√
3
B)
√
3
3
C)
√
3
D) −
√
3
3
21.
(97-3-28) Agar f (x) = 2
√
3 cos 4x−2 cos x bo’lsa,
f
0
(
π
6
) ni hisoblang.
A) −11
B) 13
C)
√
3 + 1
D)
√
3 − 2
22.
(97-6-62) Agar f (x) = ln sin x bo’lsa, f
0
(
π
4
) ni
hisoblang.
A) −1
B) 3
C) −
√
3
D) 1
23.
(97-8-57) Agar f (x) = (x
2
+ 1)
2
bo’lsa, f
0
(
1
2
) ni
toping.
A) 2,5
B) −1
2
5
C) −1
4
5
D)
2
5
24.
(97-10-28) Agar f (x) = 3 cos 2x − sin 2x bo’lsa,
f
0
(
π
8
) ni hisoblang.
A) −4
√
2
B)
√
2
C) 2
√
2
D) 4
√
3
25.
(97-12-62) Agar f (x) = 0, 5tg2x bo’lsa, f
0
(
π
6
) ni
toping.
A)
4
3
B) −
1
4
C) 4
D) 2
26.
(98-7-39) Ushbu y = −
1
7
sin(7x − 5) funksiyaning
hosilasini toping.
A) −
1
7
· cos(7x − 5)
B) −7 cos(7x − 5)
C) cos(7x − 5)
D) − cos(7x − 5)
27.
(98-7-40) Ushbu y = log
5
2x funksiyaning hosi-
lasini toping.
A)
1
x ln 2
B)
1
x ln 5
C)
2
x ln 5
D)
2
x ln 2
28.
(98-8-28) Agar f (x) = 3x − 2e
−x
bo’lsa, f
0
(ln 2)
ni hisoblang.
A) 1
B) 2
C) 5
D) 4
29.
(02-1-64) Agar f (x) = x · sin 2x bo’lsa,
f
0
(π) + f (π) + 2 ni hisoblang.
A) 2π
B) 2
C) 2 + 2π
D) 2 − 2π
30.
(99-1-24) Funksiyaning hosilasini hisoblang.
y = 2 − cos 2x
A) 2 sin 2x
B) sin 2x
C) 4 cos 2x
D) − sin 2x
31.
(99-1-25) y
1
= cos
2
3x,
y
2
= − sin
2
3x va
y
3
= 2 sin 6x funksiyalardan qaysilarining hosi-
lalari teng?
A) y
1
; y
2
B) y
1
; y
3
C) y
2
; y
3
D) y
1
; y
2
; y
3
32.
(99-10-43) Agar f (x) = sin
2
3x bo’lsa, f
0
(
π
12
) ni
hisoblang.
A) −3
B) 3
C) 2
D) −2
33.
(00-2-27) Agar f (x) = 5 sin(2x +
2
x
) bo’lsa, f
0
(1)
ni toping.
A) 5
B) 0
C) 2,5
D) −
1
5
34.
(00-3-62) Ushbu f (x) = sin 2x+ln cos 2x funksiya
uchun f
0
(
π
6
) ni toping.
A)
1
2
(1 −
√
3)
B) 1 − 2
√
3
C) −
3
2
D)
3
2
35.
(00-8-67) Ushbu f (x) = sin
³ 1
x
− 1
´
funksiyaning
hosilasini toping.
A)
1
x
cos(
1
x
− 1)
B) −
1
x
cos(
1
x
− 1)
C)
1
x
cos(
1
x
+ 1)
D) −
1
x
2
cos(
1
x
− 1)
36.
(01-8-26) Agar f (x) = e
1−2x
· cos 2x bo’lsa, f
0
(0)
ning qiymatini toping.
A) −2e
B) 0
C) e
D) 2e
37.
(01-10-49) Agar
f (x) = sin
4
3x,
ϕ(x) = 6 sin 6x
bo’lsa, f
0
(x) = ϕ(x) tenglik o’rinli bo’ladigan x
ning barcha qiymatlarini toping.
A)
πn
3
,
n ∈ Z
B)
πn
6
,
n ∈ Z
C)
πn
4
,
n ∈ Z
D)
π
3
+
πn
4
,
n ∈ Z
38.
(02-1-66) f (x) = sin
2
2x funksiya berilgan.
f
0
(x)
2 cos 2x
ni toping.
A) sin 2x
B) cos 2x
C) − sin 2x
D) 2 sin 2x
39.
(02-2-28) Agar f (x) =
√
sin 2x bolsa, f
0
(
π
4
) ni
toping.
A) 0
B) 1
C)
1
2
D)
√
2
2

174
Yechish: Berilgan funksiyani f (x) = (sin 2x)
1/2
shaklda yozib, unga murakkab funksiyalarning
hosilalarini hisoblashdagi 6-qoidani qo’llab
f
0
(x) =
1
2
2 cos 2x
√
sin 2x
=
cos 2x
√
sin 2x
ekanini topamiz. Endi hosilaning
π
4
nuqtadagi
qiymatini hisoblaymiz:
f
0
(
π
4
) =
cos(2 ·
π
4
)
r
sin(2 ·
π
4
)
=
cos
π
2
r
sin
π
2
=
0
1
= 0.
Javob: 0 (A).
40.
(02-3-46) Agar f (x) =
√
tgx bolsa, f
0
(
π
4
) ni to-
ping.
A) 1
B)
1
2
C)
1
4
D)
3
4
41.
(02-9-32) Agar
f (x) = cos(x +
π
2
),
tg(
α
2
) =
1
2
bolsa, f
0
(α) ni hisoblang.
A) −0, 6
B)
3
5
C) 0,8
D) −
1
3
42.
(03-1-50)
y = sin
4
2x,
y
0
=?
A) 2 sin
2
2x sin 4x
B) 4 sin
2
4x sin 2x
C) 4 sin 2x sin
2
4x
D) 4 sin
2
2x sin 4x
43.
(03-2-10) Agar
f (x) = e
1−x
· sin
πx
2
bolsa, f
0
(1) ning qiymatini toping.
A) 1
B) 2
C) −
√
2
D) −1
44.
(03-6-21)
f (x) = |x
2
− 14x + 45|. f
0
(6)−?
A) 0
B) 5
C) 2
D) 7
14.2
Funksiyani hosila yordamida tek-
shirish. Maksimum va minimum
Funksiyalarni tekshirishda ularning o’sish yoki kamay-
ish oraliqlarini topish muhim ahamiyatga ega. Bizga
[a; b] kesmada aniqlangan va uning har nuqtasida hosi-
lasi mavjud bo’lgan f : [a; b] → R funksiya berilgan
bo’lsin. Aniqlanish sohasining har nuqtasida hosilasi
mavjud bo’lgan funksiyalar, differensiallanuvchi funksi-
yalar deyiladi.
Agar biror δ > 0 va barcha x ∈ (x
0
−δ; x
0
+δ)∩[a; b]
lar uchun f (x) ≤ f (x
0
) (f (x) ≥ f (x
0
)) tengsizligi ba-
jarilsa, x = x
0
nuqta f : [a; b] → R funksiyaning mak-
simum nuqtasi (minimum nuqtasi) deyiladi. Funksiya-
ning minimum va maksimum nuqtalari shu funksiya-
ning ekstrimum nuqtalari, funksiyaning bu nuqtalardagi
qiymatlari esa funksiyaning ekstrimumlari deyiladi.
Funksiyaning hosilasi nolga aylanadigan yoki hosi-
lasi mavjud bo’lmagan nuqtalari funksiyaning kritik
nuqtalari deyiladi.
Ekstrimumning zaruriy sharti haqida Ferma teore-
masini keltiramiz. Agar differensiallanuvchi y = f (x)
funksiya x = x
0
nuqtada minimumga yoki maksimumga
erishsa, u holda f
0
(x
0
) = 0 bo’ladi. Demak, funksiyan-
ing ekstrimum nuqtalarini, uning hosilasi nolga aylanadi-
gan nuqtalari ichidan izlashimiz kerak ekan.
1.
Agar [a; b] kesmada differensiallanuvchi y =
f (x) funksiya uchun f
0
(x) > 0,
x ∈ (a
1
; b
1
) ⊂
[a; b] bo’lsa, u holda f funksiya (a
1
; b
1
) oraliq-
da o’suvchi bo’ladi.
2.
Agar [a; b] kesmada differensiallanuvchi y =
f (x) funksiya uchun f
0
(x) < 0,
x ∈ (a
1
; b
1
) ⊂
[a; b] bo’lsa, u holda f funksiya (a
1
; b
1
) oraliq-
da kamayuvchi bo’ladi.
3.
Agar x
0
∈ (a; b) nuqtaning shunday δ > 0
atrofi mavjud bo’lib, barcha x ∈ (x
0
− δ; x
0
)
larda f
0
(x) < 0 va barcha x ∈ (x
0
; x
0
+ δ)
larda f
0
(x) > 0 bo’lsa, u holda x = x
0
nuqta
f funksiya uchun minimum nuqta bo’ladi.
4.
Agar x
0
∈ (a; b) nuqtaning shunday δ > 0
atrofi mavjud bo’lib, barcha x ∈ (x
0
− δ; x
0
)
larda f
0
(x) > 0 va barcha x ∈ (x
0
; x
0
+ δ)
larda f
0
(x) < 0 bo’lsa, u holda x = x
0
nuqta
f funksiya uchun maxsimum nuqta bo’ladi.
5.
Agar f
0
(x
0
) = 0 bo’lib, biror δ > 0 va barcha
x ∈ (x
0
− δ; x
0
) ∪ (x
0
; x
0
+ δ) larda f
0
(x) > 0 (
yoki f
0
(x) < 0 ) bo’lsa, u holda x = x
0
nuqta
f funksiya uchun bo’rilish nuqtasi bo’ladi.
Bo’rilish nuqta funksiya uchun ekstrimum
nuqta bo’la olmaydi.
1.
(98-6-18) Ushbu y =
x
2
2
− ln x funksiyaning o’sish
oraliqlarini toping.
A) [−1; 0) ∪ [1; ∞)
B) [1; ∞)
C) [−1; ∞)
D) (−∞; −1) ∪ [1; ∞)
Yechish: 1-xossaga ko’ra, agar f (x) funksiya
uchun f
0
(x) > 0,
x ∈ (a; b) bo’lsa, u holda f (x)
funksiya (a; b) oraliqda o’suvchi bo’ladi. Berilgan
funksiyaning hosilasini topamiz.
f
0
(x) = x −
1
x
=
x
2
− 1
x
=
(x − 1)(x + 1)
x
f
0
(x) > 0 tengsizlik oraliqlar usuli bilan oson
yechiladi. Uning yechimi (−1; 0) ∪ (1; ∞). Beril-
gan funksiyaning aniqlanish sohasi x > 0 bo’lgani
uchun (−1; 0) oraliqni chiqarib tashlaymiz. Bun-
dan tashqari x = 1 nuqta funksiyaning aniqlanish
sohasiga tegishli bo’lgani uchun uni ham funksiyan-
ing o’sish oralig’iga qo’shib qo’yamiz. Javob:
[1; ∞) (B).

175
2.
(97-9-25) Ushbu y = x
2
− 2 funksiyaning kamay-
ish oralig’ini ko’rsating.
A) (−∞; −2)
B) (−∞; 2)
C) (2; ∞)
D) (−∞; 0]
3.
(97-11-20) Ushbu y = 2x
3
+3x
2
−12x+7 funksiya-
ning kamayish oralig’ini aniqlang.
A) (−∞; −2] ∪ [1; ∞)
B) [−2; 1]
C) [−1; 2]
D) [−2; ∞)
4.
(96-11-21) Ushbu f (x) = x
2
+2x+4 funksiyaning
o’sish oralig’ini toping.
A) (−∞; −1)
B) [−1; ∞)
C) (1; ∞; )
D) (0; ∞)
5.
(96-12-21) f (x) = x
2
− 2x + 3 funksiyaning o’sish
oralig’ini toping.
A) (0; ∞)
B) (−∞; 1)
C) [1; ∞)
D) (−∞; −1)
6.
(01-2-35) Ushbu y = x +
1
x − 1
funksiyaning ka-
mayish oraliqlarini toping.
A) [0; 1) ∪ (1; 2]
B) (0; 2)
C) (0; 1)
D) (1; 2)
7.
(96-3-20) Ushbu f (x) = −x
2
+2x−1 funksiyaning
o’sish oralig’ini toping.
A) (1; ∞)
B) (0; ∞)
C) (−∞; −1)
D) (−∞; 1]
8.
(96-6-44) a ning qanday qiymatlarida f (x) = ax+
sin x funksiya o’zining aniqlanish sohasida o’sadi.
Shunday a larning barchasini toping.
A) |a| > 1
B) 0 < a < 1
C) a ≥ 1
D) a = 0
Yechish: Berilgan funksiyaning aniqlanish so-
hasi D(f ) = R. 1-xossaga ko’ra, f
0
(x) = a +
cos x > 0,
x ∈ R bo’lishi kerak. Bu tengsizlik
a > 1 shartda bajariladi. a = 1 da bu funksiya
o’suvchidir. Javob: a ≥ 1 (C).
9.
(96-10-14) Quyidagi funksiyalardan qaysi biri
(0; ∞) oraliqda kamayuvchi bo’ladi?
A) y = x + 8
B) y = 3 − x
C) y = −
4
x
D) y = 2x
2
10.
(96-1-14) Quyidagi funksiyalardan qaysi biri
(−∞; 0) oraliqda o’suvchi bo’ladi?
A) y = 3x + 2
B) y =
3
x
C) y = 6 − 3x
D) y = x
2
11.
(96-9-64) Quyidagi funksiyalardan qaysi biri
(−∞; 0) oraliqda o’suvchi bo’ladi?
A) y = 0, 5 − 2x
B) y =
5
x
C) y = 2 + 3x
D) y = 2
√
−x
12.
(97-8-44) k ning qanday qiymatlarida f (x) = sin x−
kx funksiya o’zining aniqlanish sohasida o’sadi?
A) (−∞; 1)
B) (1; ∞)
C) (−1; 0)
D) (−∞; −1]
13.
(02-11-54) Quyidagi funksiyalardan qaysi biri o’zi-
ning aniqlanish sohasida o’suvchi bo’ladi?
A) y = sin x
B) y =
ln x
x
C) y =
1
x
2
+ 1
D) y = 2x
7
− 8
14.
(01-1-35) Ushbu y = x
2
e
−2x
funksiyaning o’sish
oraliqlarini toping.
A) (−∞; −1)
B) [−1; 1]
C) (−∞; −1) ∪ [0; 1]
D) [0; 1]
Yechish: Ko’paytmaning hosilasini hisoblash qoi-
dasidan foydalanib, berilgan funksiyaning hosi-
lasini topamiz:
f
0
(x) = 2