M u n d a r I j a

≤ arccos x ≤
π
2
tengsizlikni olamiz. Kosinus funksiyaning [0;
π
2
]
da kamayuvchi ekanligidan
cos
π
3
≥ x ≥ cos
π
2
⇐⇒
1
2
≥ x ≥ 0
ni olamiz. Demak, berilgan tengsizlikning yechimi
[0;
1
2
] kesmadan iborat. Bu kesmaning o’rtasi
0, 25 dir. Javob: 0, 25 (C).
7.
(01-5-18) Tenglama nechta ildizga ega?
x · arctgx = 1
A) 2
B) 1
C) 0
D) 3
8.
(01-5-19) Tenglama nechta ildizga ega?
cos(10arctgx) = 1
A) 5
B) cheksiz ko’p
C) 1
D) 3
9.
(01-9-14) Tenglama ildizlari ko’paytmasini toping.
4arctg(x
2
− 3x + 3) − π = 0
A) 2
B) 3
C) −3
D) 1
10.
(01-12-27) Tengsizlikni yeching.
lg(arcsin x) > −1
A) (0;
π
2
]
B) [sin 0, 1; 1]
C) (sin 0, 1; 1)
D) (sin 0, 1; 1]
11.
(00-10-25) Tenglamaning nechta ildizi bor?
arctg|x| =
π
2
A) 2
B) 1
C) 0
D) cheksiz ko’p

169
12.
(02-4-37) Tengsizlikni qanoatlantiruvchi x ning
eng katta butun qiymatini toping.
arctgx < 0
A) −2
B) −1
C) 0
D) 1
13.
(99-8-35) Ushbu y = arcsin x +
π
2
funksiyaning qiy-
matlar to’plamini toping.
A) [0; π]
B) [−
π
2
;
π
2
]
C) [
π
2
− 1;
π
2
+ 1]
D) [0;
π
2
]
Yechish: 1-xossaga ko’ra y = arcsin x funksiyan-
ing qiymatlar to’plami [−
π
2
;
π
2
] kesmadan iborat.
Shuning uchun y = arcsin x+
π
2
funksiyaning qiy-
matlar to’plami [0; π] kesmadan iborat bo’ladi.
Javob: [0; π] (A).
14.
(98-6-49) Ushbu x = arccos 0, 9; y = arccos(−0, 7);
z = arccos(−0, 2) sonlarni o’sib borish tartibida
yozing.
A) y < z < x
B) x < y < z
C) y < x < z
D) x < z < y
15.
(07-156-36) cos(2 arccos
4
5
) ning qiymatini top-
ing.
A)
7
25
B)
24
25
C) −
24
25
D) −
7
25
16.
(07-158-36) cos(2 arccos
4
9
) ning qiymatini top-
ing.
A)
49
81
B)
8
9
C) −
49
81
D) −
8
9
17.
(99-3-30) Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
y = arcsin
x − 3
2
− lg(4 − x)
A) [1; 4]
B) [1; 5]
C) (1; 4)
D) [1; 4)
Yechish: y = arcsin x funksiyaning aniqlanish
sohasi [−1; 1] kesmadan, y = lg x funksiyaning
aniqlanish sohasi (0; ∞) dan iborat. Bularga ko’ra
berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi
(
−1 ≤
x − 3
2
≤ 1
4 − x > 0
sistema yechimidan iborat bo’ladi. Bu sisteman-
ing yechimlari [1; 4) kesmadan iborat. Javob:
[1; 4) (D).
18.
(99-8-73) y = arcsin
x
3
8
funksiyaning aniqlanish
sohasini toping.
A) [−2; 2]
B) [−1; 1]
C) (−2; 2)
D) [1; 2]
19.
(99-10-41) Funksiyaning aniqlanish sohasini to-
ping.
y =
√
x + 0, 2
arccos x
A) (−0, 2; 1)
B) (−0, 2; 1]
C) [−0, 2; 1]
D) [−0, 2; 1)
20.
(03-6-62) Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
y = arcsin
2
2 + sin x
A) −π + 2πk ≤ x ≤ π + 2πk,
k ∈ Z
B) x ≤ π + 2πk,
k ∈ Z
C) x > 2πk,
k ∈ Z
D) 2πk ≤ x ≤ π + 2πk,
k ∈ Z
21.
(03-6-67) y = arccos |x − 2| funksiyaning aniqla-
nish sohasini toping.
A) 1 ≤ x ≤ 3
B) x > 1
C) x < 3
D) 2 ≤ x ≤ 3
22.
(03-7-58) Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
y =
√
x
2
− 5x + 6
lg(x + 5)
2
+
1
arccos(x + 3)
A) (−4; −2]
B) (−∞; 2) ∪ [3; ∞)
C) (−∞; −3) ∪ (−3; 2]
D) (−4; −2)
23.
(02-4-35) y = (x − 10)arctgx funksiya grafigining
Ox o’qi bilan kesishish nuqtasi abssissasining eng
kichik qiymatini toping.
A) −2
B) −1
C) 0
D) 1
Yechish: Ox o’qidagi nuqtalarning ordinatasi,
ya’ni y = 0 bo’ladi. Shunday qilib, (x−10)arctgx =
0 tenglama yechimlarini topamiz. Bu tenglaman-
ing yechimlari x−10 = 0 va arctgx = 0 tenglama
yechimlaridan iborat. Demak, berilgan tenglama
x
1
= 10 va x
2
= 0 yechimlarga ega. Ularning
kichigi x = 0. Javob: 0 (C).
24.
(02-7-5) y = arcsin(3x − 7) funksiyaning aniqla-
nish sohasiga tegishli x ning butun qiymatlari
nechta?
A) 2
B) 3
C) 1
D) 4
25.
(02-11-48) y = arccos(log
3
x − 1) funksiyaning
aniqlanish sohasiga tegishli butun sonlar nechta?
A) 12
B) 9
C) 8
D) 7
14
-bob. Hosila va integral
Funksiyaning uzluksizligi, hosilasi va integrali funksiya
limiti tushunchasi bilan uzviy bog’liq. Shuning uchun
funksiya limiti tushunchasi beramiz. Bizga f : [a; b] →
R funksiya va x
0
∈ [a; b] berilgan bo’lsin. Agar ixtiy-
oriy ε > 0 uchun shunday δ > 0 mavjud bo’lib, 0 <
|x − x
0
| < δ shartni qanoatlantiruvchi batcha x ∈ [a; b]
larda |f (x) − A| < ε tengsizligi bajarilsa, f funksiya
x → x
0
da A limitga ega deyiladi va quyidagicha yozi-
ladi:
lim
x→x
0
f (x) = A.
Xususan, agar lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
) bo’lsa, f funksiya
x
0
nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar funksiya aniqlan-
ish sohasining barcha nuqtalarida uzluksiz bo’lsa, u
uzluksiz funksiya deyiladi. Uzluksiz funksiyaga misol-
lar: y = ax + b − chiziqli funksiya, y = ax
2
+ bx +

170
c − kvadratik funksiya, ixtiyoriy ko’phad y = a
0
+
a
1
x + a
2
x
2
+ · · · + a
n
x
n
, ko’rsatkichli funksiya y =
a
x
, logarifmik funksiya y = log
a
x va trigonometrik
funksiyalar y = sin x, y = cos x, y = tgx, y = ctgx
funksiyalar o’zlarining aniqlanish sohasida uzluksizdir.
Ishora funksiyasi
y = signx =



−1 agarx < 0
0
agarx = 0
1
agarx > 0
yagona x = 0 nuqtada uzilishga ega, qolgan barcha
nuqtalarda uzluksiz. x ning butun qismi y = [x] va x
ning kasr qismi y = {x} lar barcha butun nuqtalarda
uzilishga ega. Endi hosila ta’rifini beramiz. x va x+∆x
lar [a; b] kesmaga qarashli bo’lsin. Agar
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
nisbat ∆x → 0 da chekli limitga ega bo’lsa, u holda f
funksiya x nuqtada hosilaga ega deyiladi va bu quyidagi-
cha yoziladi:
f
0
(x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
.
Matematika, mexanika va fizikada hosilaning ko’pgina
tadbiqlari uchraydi. Endi elementar funksiyalar uchun
hosilalar jadvalini va hosilani hisoblash qoidalarini kelti-
ramiz.
14.1
Elementar funksiyalarning hosilasi
Hosilalar jadvali
1.
c
0
= 0,
c = const.
2.
(x
α
)
0
= α x
α−1
,
x
0
= 1.
3.
(
√
x)
0
=
1
2
√
x
.
4.
(
1
x
)
0
= −
1
x
2
.
5.
(a
x
)
0
= a
x
ln a,
(e
x
)
0
= e
x
.
6.
(log
a
x)
0
=
1
x ln a
,
(ln x)
0
=
1
x
.
7.
(sin x)
0
= cos x,
(cos x)
0
= − sin x.
8.
(tgx)
0
=
1
cos
2
x
,
(ctgx)
0
= −
1
sin
2
x
.
Yig’indi va ayirmaning hosilasi
9.
(u(x) ± v(x))
0
= u
0
(x) ± v
0
(x)
10.
(C · u(x))
0
= C · u
0
(x),
C- o’zgarmas son.
1.
Agar f (x) = 2x + 3 bo’lsa, f
0
(x) ni hisoblang.
A) 1
B) 2
C) 0
D) 5
Yechish: 9 va 10-qoidalarga ko’ra f
0
(x) = (2x +
3)
0
= 2 x
0
+ 3
0
. Endi 1 va 2-formulalardan foy-
dalanamiz: f
0
(x) = 2 · 1 + 0 = 2. Javob: 2 (B).
2.
Agar f (x) = 2x
2
+3x+7 bo’lsa, f
0
(x) ni hisoblang.
A) 2x + 3
B) 4x + 3
C) 4x
D) 3
3.
Agar f (x) = x
2
+ 2
√
x bo’lsa, f
0
(x) ni hisoblang.
A) 2x +
2
√
x
B) 2x +
√
x C) x D) 2x + x
−1/2
4.
Agar f (x) = −
2
x
bo’lsa, f
0
(x) ni hisoblang.
A) 2x
−2
B)
−2
x
2
C)
4
x
2
D) x
−1/2
5.
Agar f (x) = 2
x
+ 7 bo’lsa, f
0
(x) ni hisoblang.
A) 2
x
· ln 2 B)
2
x
ln 2
C) 2
x−1
D) −2
x
· ln 2
6.
Agar f (x) = ln x + 5 bo’lsa, f
0
(x) ni hisoblang.
A)
1
x
B)
1
x · ln 2
C) −
1
x
D)
ln 2
x
7.
Agar f (x) = x − tgx bo’lsa, f
0
(x) ni hisoblang.
A) −tg
2
x
B) 1 +
1
cos
2
x
C) 1 −
1
sin
2
x
D) 1 − ctgx
8.
(96-7-28) Agar f (x) = 5 sin x + 3 cos x bo’lsa,
f
0
(
π
4
) ni hisoblang.
A) −
√
2
B)
√
2
C) −2
√
3
D) 4
√
2
Yechish: 7 va 10-qoidalarga ko’ra
f
0
(x) = 5(sin x)
0
+ 3(cos x)
0
= 5 cos x − 3 sin x.
Endi x =
π
4
deb f
0
(
π
4
) ni hisoblaymiz:
f
0
(
π
4
) = 5 cos
π
4
− 3 sin
π
4
=
√
2
2
(5 − 3) =
√
2.
Javob:
√
2 (B).
9.
(97-6-19) Agar
g(x) = ctgx +
12x
3
π
2
+ π
bo’lsa, g
0
(
π
6
) ni hisoblang.
A) −1
B) −3
C) 5
D) 3
10.
(97-7-28) Agar f (x) = 2 sin x − 4
√
3 cos x bo’lsa,
f
0
(
π
3
) ni hisoblang.
A) 7
B) −5
C) 2 + 4
√
3
D) 2
√
3 − 2
11.
(97-9-34) Ushbu y =
1
3
6
x
− 6 funksiyaning x = 1
nuqtadagi hosilasini toping.
A) ln 12
B) ln 36
C) ln 6
D) ln
6
e
12.
(97-12-55) Agar
f (x) =
1
3
x
3
− 16x
bo’lsa, f
0
(4) ni toping.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 0

171
13.
(98-1-28) Agar
f (x) = e
x
+ 5x
bo’lsa, f
0
(ln 3) ni hisoblang.
A) 8
B) 5
C) e
3
+ 5
D) e
3
14.
(98-5-26) Ushbu y = sin
2
x + cos
2
x funksiyaning
hosilasini toping.
A) 2 sin 2x
B) 0
C) 4 sin x
D) sin 4x
15.
(99-7-27) Ushbu y = tgx · ctgx funksiyaning
hosilasini toping.
A) 1
B) 2
C) −
1
sin
2
x · cos
2
x
D) 0
16.
(96-1-30) Agar f (x) = x
3
− 3x − 4 bo’lsa,
f
0
(x)
x − 5
≥ 0
tengsizlikning eng kichik butun yechimini toping.
A) 1
B) −1
C) −5
D) 0
Yechish: 2-qoidaga ko’ra f
0
(x) = 3x
2
− 3. Endi
3x
2
− 3
x − 5
≥ 0 ⇐⇒
3(x − 1)(x + 1)
x − 5
≥ 0
tengsizlikni yechamiz. Bu tengsizlik oraliqlar usuli
bilan oson yechiladi (14.1-chizma) va uning yechimi
[−1; 1]∪(5; ∞) to’plamdan iborat. Bu to’plamdagi
eng kichik butun son −1 dir. Javob: −1 (B).
17.
(96-10-32) Agar f (x) = x
3
− 12x + 7 bo’lsa,
f
0
(x)
x − 4
≤ 0
tengsizlikning eng katta butun yechimini toping.
A) 2
B) −4
C) 3
D) −2
18.
(98-5-25) x ning qanday qiymatlarida f (x) = sin x
va g(x) = 5x + 3 funksiyalar uchun f
0
(x) < g
0
(x)
tengsizlik bajariladi?
A) (−∞; 5)
B) (2πn;
π
2
+ 2πn),
n ∈ Z
C) (−∞; ∞)
D) (0; ∞)
19.
(00-6-27) Agar f (x) = −4x
3
−11x
2
−8x+7 bo’lsa,
f
0
(x) ≥ 0 tengsizlikning nechta butun yechimi
bor?
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
20.
(97-5-34) Ushbu y = 2
x
− 1 funksiyaning x = 1
nuqtadagi hosilasini toping.
A) 1
B) ln 2
C) ln
4
e
D) ln 4
21.
(01-6-42) Agar f (x) = x
2/3
+ 85
1
3
ln x bo’lsa, f
0
(8)
ning qiymatini toping.
A) 10
B) 12
C) 9
D) 11
22.
(02-2-29) Agar f (x) = 3x +
3
x
bo’lsa, f
0
(x) < 0
tengsizlikni yeching.
A) (−1; 0) ∪ (0; 1)
B) (−∞; −1)
C) (1; ∞)
D) (0; 1)
23.
(02-2-32) Nechta nuqtada f (x) = x
3
funksiya va
uning hosilasi qiymatlari teng bo’ladi?
A) 2
B) 1
C) ∅
D) 3
Yechish: 2-qoidaga ko’ra f
0
(x) = 3x
2
bo’ladi.
Masala shartiga ko’ra
f (x) = f
0
(x) ⇐⇒ x
3
= 3x
2
⇐⇒ x
2
(x − 3) = 0
tenglamani yechamiz. Bu tenglamaning ildizlari
x
1
= 0 va x
2
= 3 lardir. Javob: 2 (A).
24.
(03-2-9) Agar
f (x) = x
3
+ x −
√
2,
g(x) = 3x
2
+ x +
√
2
bo’lsa, f
0
(x) > g
0
(x) tengsizlikning eng kichik
natural yechimini toping.
A) 3
B) 2
C) 6
D) 5
25.
(03-8-48) f (x) = x
4
+ x
3
− 13, 5x
2
+ 2003 bo’lsa,
f
0
(x) ≤ 0 tengsizlikning eng kichik natural yechi-
mini toping.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
26.
(03-12-20) Agar f (x) = ln x bo’lsa, f
0
(x) ≤ x
tengsizlikni yeching.
A) [−1; 0) ∪ [1; ∞)
B) (−1; 0) ∪ [1; ∞)
C) (−∞; −1] ∪ [1; ∞)
D) [1; ∞)
27.
(03-12-73) Agar f (x) = x
3
+ 5x
2
+ 4x + 2
bo’lsa, f
0
(x) = f (1) tenglamaning eng kichik
ildizini toping.
A) −6
B) −
1
3
C) −2
D) −4
14.1.1
Murakkab funksiyaning hosilasi
Ko’paytma va bo’linmaning hosilasi
1.
(u(x) · v(x))
0
= u
0
(x)v(x) + u(x)v
0
(x).
2.
µ
u(x)
v(x)
¶
0
=
u
0
(x)v(x) − u(x)v
0
(x)
v
2
(x)
,
v(x) 6= 0.
Murakkab funksiyalarning hosilalari
3.
(f (g(x)))
0
= f
0
(g(x))g
0
(x) umumiy qoida.
4.
(u
α
(x))
0
= α u
α−1
(x) u
0
(x).
5.
(e
u(x)
)
0
= e
u(x)
u
0
(x),
(a
u(x)
)
0
= a
u(x)
ln a u
0
(x).
6.
(log
a
u(x))
0
=
u
0
(x)
u(x) ln a
,
(ln u(x))
0
=
u
0
(x)
u(x)
.
7.
(sin u(x))
0
= cos u(x) u
0
(x).

172
8.
(cos u(x))
0
= − sin u(x) u
0
(x).
9.
(tgu(x))
0
=
u
0
(x)
cos
2
u(x)
.
10.
(ctgu(x))
0
= −
u
0
(x)
sin
2
u(x)
.
1.
(96-9-79) Agar f (x) = 3x · 2
x
bo’lsa, f
0
(0) ni
toping.
A) −3
B) 3
C) 1
D) −1
Yechish: 1-qoidaga ko’ra
f
0
(x) = (3x)
0
· 2
x
+ 3x · (2
x
)
0
= 3 · 2
x
+ 3x · 2
x
· ln 2
bo’ladi. Endi f
0
(0) ni hisoblaymiz:
f
0
(0) = 3 · 2
0
+ 3 · 0 · 2
0
· ln 2 = 3 + 0 = 3.
Javob: 3 (B).
2.
(96-10-30) Agar f (x) = 2x · 3
x
bo’lsa, f
0
(0) ni
toping.
A) −1
B) 2
C) −2
D) 3
3.
(98-12-39) Ushbu y = e
x
· x
2
funksiyaning hosi-
lasini toping.
A) e
x
(x
2
+ 2x)
B) e
x
(x
2
+ 2)
C) e
x
(2x + 1)
D) e
x
(x
2
+ x)
4.
(00-5-46) y = (x − 3)(x
2
+ 3x + 9) funksiyaning