M u n d a r I j a

x
0
= 1 nuqtada o’tkazilgan urinmaning
Ox o’qi bilan tashkil qilgan burchagini toping.
A) 60
0
B) 30
0
C) 45
0
D) 120
0
7.
(98-11-76) Qaysi nuqtada y = 1 + e
x−1
funksiya-
ning grafigiga o’tkazilgan urinma Ox o’qi bilan
45
0
li burchak hosil qiladi?
A) x = 1
B) x = 0
C) x = −1
D) x = 2
8.
(99-2-41) Abssissasi x
0
= 3 bo’lgan nuqtadan
f (x) =
√
3 ln x funksiya grafigiga o’tkazilgan ur-
inma Oy o’qi bilan qanday burchak tashkil qi-
ladi?
A) arctg3
B) 60
0
C) 30
0
D) arctg2
9.
(99-10-44) Ushbu y =
√
3·x
2
−3
√
3·x+4 funksiya-
ning grafigiga x
0
= 2 nuqtada o’tkazilgan urinma
Oy o’qi bilan qanday burchak tashkil qiladi?
A) 120
0
B) 60
0
C) 30
0
D) 150
0
10.
(98-10-73) y = 2x
3
+3x
2
−6x funksiyaning grafigiga
o’tkazilgan urinma x ning qanday qiymatlarida
y = 6x + 1 to’g’ri chiziqqa parallel bo’ladi?
A) −2 va 3
B) 1 va 3
C) −2 va 1
D) 2 va −1
Yechish: Parallellik sharti 3-xossaga ko’ra 6 =
f
0
(x
0
) = 6x
2
+ 6x − 6 tenglik bajarilishi kerak.
Bu tenglik bajarilishi uchun x = −2 yoki x = 1
bo’lishi kerak. Javob: −2 va 1 (C).
11.
(98-11-37) y = x
2
− 2x + 1 funksiya grafigining
qanday nuqtasidan o’tkazilgan urinma y = −4(x+
1) to’g’ri chiziqqa parallel bo’ladi?
A) (−1;
1
4
)
B) (−1; 4)
C) (1;
1
4
)
D) (1; 4)
12.
(98-11-77) Agar f (x) funksiyaning grafigiga x
0
=
2 nuqtada o’tkazilgan urinmaning tenglamasi 2x−
3y = 6 bo’lsa, f
0
(2) qanchaga teng bo’ladi?
A)
2
3
B)
3
2
C) 2
D) 3
13.
(99-3-54) y = x
2
+ 1 egri chiziqqa o’tkazilgan
urinma y = 2x + 3 to’g’ri chiziqqa parallel. Uri-
nish nuqtasining ordinatasini toping.
A) 0
B) 2
C) 4
D)
1
2
14.
(00-9-41) y = (2x+1)
2
egri chiziqqa (x
0
; y
0
) nuq-
tadan o’tkazilgan urinma y = 2x +
1
2
to’g’ri chi-
ziqqa parallel. Shu nuqtadan koordinata boshi-
gacha bi’lgan masofani toping.
A)
√
2
2
B)
√
2
4
C)
√
2
8
D) 1
15.
(00-10-32) Qaysi nuqtada y = x
2
+2x+8 funksiya-
ning grafigiga o’tkazilgan urinma y + 2x − 8 = 0
to’g’ri ciziqqa parallel bo’ladi?
A) (−2; 8)
B) (2; 8)
C) (−2; −8)
D) (2; −8)
16.
(01-3-25) Ushbu y = x
2
+ ln(x − 1) funksiyaning
grafigiga x = 2 nuqtada o’tkazilgan urinmaning
burchak koeffitsiyenti toping.
A) 12
B) 5
C) 3
D)1
Yechish: Agar abssissasi x = 2 nuqtada o’tkazil-
gan urinmaning burchak koeffitsiyentini k desak,
u holda 1-xossaga ko’ra
k = f
0
(2) = (2x +
1
x − 1
)|
x=2
= 2 · 2 +
1
2 − 1
= 5
tenglik o’rinli bo’ladi. Javob: 5 (B).
17.
(02-6-53)
f (x) = 0, 5x
2
+ x − 1, 5
funksiya
grafigining abssissasi 2 ga teng bo’lgan nuqtasiga
o’tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyenti to-
ping.
A) 1
B) 2
C) 3
D)4
18.
(02-12-54) y = −5x + 3 to’g’ri chiziq, f (x) =
x
2
− x funksiyaning grafigiga o’tkazilgan urin-
maga parallel. Urinish nuqtasining koordinata-
larini toping.
A) (−2; 6)
B) (1; 0)
C) (2; 4)
D) (0; 0)
19.
(03-2-8) Qaysi to’g’ri chiziq y = 4 − x
2
funksiya
grafigiga x
0
= 2 nuqtada o’tkazilgan urinmaga
parallel bo’ladi?
A) y = 4 − 4x
B) y = 2x + 8
C) y = x + 8
D) y = 4x + 8
20.
(03-3-51) y = sin
x
2
(x ∈ (0; π)) funksiyaning
grafigiga (x
0
, y
0
) nuqtada o’tkazilgan urinmaning
burchak koeffitsiyenti
√
3
4
ga teng. x
0
· y
0
ni
hisoblang.
A)
2
3
B)
1
6
C)
2π
3
D)
π
6
21.
(03-11-19) (x + 3)
2
+ (y − 5)
2
= 45 aylananing
A(0; 11) nuqtasiga o’tkazilgan urinmaning bur-
chak koeffitsiyentini toping.
A) −
1
2
B) −2
C)
1
2
D) 2

180
Urinma tenglamasi
22.
(99-4-31) y = e
2−x
· cos
πx
2
funksiyaga abssissasi
x
0
= 2 bo’lgan nuqtada o’tkazilgan urinmaning
tenglamasini ko’rsating.
A) y = x − 1
B) y = 1 − x
C) y = 2x − 1
D) y = x − 3
Yechish: Masalani yechishda 2-xossadan foydala-
namiz. Shu maqsadda y
0
va f
0
(x
0
) larni hisoblay-
miz:
y
0
= e
2−2
· cos
π2
2
= e
0
· cos π = −1,
f
0
(2) = (−e
2−x
·cos
πx
2
−
π
2
e
2−x
·sin
πx
2
)|
x=2
= 1.
Endi topilganlarni (1) formulaga qo’yamiz:
y = −1 + 1 · (x − 2) = x − 3.
Javob: y = x − 3 (D).
23.
(96-1-29) Ushbu f (x) = 2x
2
−1 funksiya grafigiga
abssissasi x
0
= 0 bo’lgan nuqtada o’tkazilgan ur-
inma tenglamasini ko’rsating.
A) y = −1
B) y = 2
C) y = 2x + 1
D) y = 1
24.
(96-9-80) y = −2x
2
− 1 funksiya grafigiga abssis-
sasi x
0
= 0 bo’lgan nuqtada o’tkazilgan urinma
tenglamasini ko’rsating.
A) y = 1
B) y = −2x
C) y = x − 1
D) y = −1
25.
(96-10-31) y = 1 − 2x
2
funksiya grafigiga abssis-
sasi x
0
= 0 nuqtada o’tkazilgan urinma tengla-
masini ko’rsating.
A) y = 1
B) y = −1
C) y = −x
D) y = 1 − 4x
26.
(99-9-52) Abssissasi x
0
= 0 nuqtadan y = x
3
funksiya grafigiga o’tkazilgan urinmaning tengla-
masini ko’rsating.
A) y = x
B) y = −0, 5x
C) y = 0
D) y = 0, 5x
27.
(00-5-48) y = 4 − x
2
parabolaga abssissasi x
0
=
1 nuqtada urinma o’tkazilgan. Bu urinmaning
Oy o’qi bilan kesishadigan nuqtasining koordi-
natasini toping.
A) (0; 5)
B) (0; 1)
C) (0; −5)
D) (0; −1)
Yechish: Dastlab urinma tenglamasini topamiz.
Shu maqsadda y
0
va f
0
(x
0
) larni hisoblaymiz:
y
0
= 4 − 1
2
= 3,
f
0
(1) = −2x|
x=1
= −2.
Bu qiymatlarni (1) formulaga qo’yib, y = 3 −
2(x−1) urinma tenglamasini olamiz. Oy o’qining
tenglamasi x = 0. Urinma tenglamasida x = 0
deb y = 5 ni olamiz. Javob: (0; 5) (A).
28.
(00-6-28) y = 3 ln x−0, 5x funksiya grafigiga abs-
sissasi x
0
= 3 nuqtada o’tkazilgan urinmaning
tenglamasini tuzing.
A) y = 0, 5x − 1, 5
B) y = 3x − ln 3
C) y = x − 3 ln 3
D) y = 0, 5x + 3 ln 3 − 3
29.
(00-10-58) Ushbu f (x) = cos 2x funksiyaga (
π
4
; f (
π
4
))
nuqtadan o’tkazilgan urinma tenglamasini ko’rsating.
A) y =
π
2
− 2x
B) y = π − 3x
C) y =
π
2
+ 3x
D) y = π − 2x
30.
(01-4-35) f (x) = x
3
funksiya grafigining A(−1; −1)
nuqtasiga o’tkazilgan urinma tenglamasini ko’rsating.
A) y = 3x − 2
B) y = 3x + 2
C) y = x + 2
D) y = x − 2
31.
(02-1-67) y = x − 3x
2
funksiyaning grafigiga
x
0
= 2 nuqtada o’tkazilgan urinmaning
tenglamasini yozing.
A) y = 1 − 6x
B) y = −11x + 12
C) y = 3x + 1
D) y = x − 3
32.
(03-6-69) y = x
2
− 2x parabolaga uning biror
nuqtasidan o’tkazilgan urinmaning burchak ko-
effisenti 4 ga teng. Shu urinmaning tenglamasini
toping.
A) y = 4x − 4
B) y = 4x + 9
C) y = 4x + 4
D) y = 4x − 9
Hosilaning mexanik ma’nosi
33.
(99-2-39) Moddiy nuqta S(t) = 3t
3
−3t
2
+12t(m)
qonuniyat bo’yicha harakatlanyapti. Uning tez-
lanishi 0 ga teng bo’lgan paytda tezligi necha
m/min bo’ladi?
A) 8
B) 7
C) 9
D) 11
Yechish: 4 va 5-xossalarga ko’ra, nuqtaning tez-
ligi uchun ϑ(t) = S
0
(t), tezlanishi uchun esa,
a(t) = ϑ
0
(t) formulalar o’rinlidir. Demak, ϑ(t) =
9t
2
− 6t + 12,
a(t) = ϑ
0
(t) = 18t − 6. Tezlanish
0 ga tengligidan 18t − 6 = 0 ⇐⇒ t =
6
18
=
1
3
ekanini topamiz. Uni tezlikning ifodasiga qo’yib
ϑ(
1
3
) = 9 ·
³ 1
3
´
2
− 6 ·
1
3
+ 12 = 1 − 2 + 12 = 11
ni topamiz. Javob: 11 (D).
34.
(96-3-83) To’g’ri chiziq bo’ylab x(t) = −t
3
+6t
2
+
15t qonuniyat bo’yicha harakatlanayotgan mod-
diy nuqta harakat boshlangandan necha sekund
o’tgach to’xtaydi.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
35.
(96-9-14) To’g’ri chiziq bo’ylab
x(t) = −
1
3
t
3
+
3
2
t
2
+ 4t
qonun bo’yicha harakatlanayotgan moddiy nuqta
harakat boshlangandan necha sekund o’tgach to’x-
taydi.
A) 5
B) 3
C) 2
D) 4
36.
(98-9-40) Moddiy nuqta S(t) = e
t
+ cos t + 5t qo-
nuniyat bo’yicha harakatlanyapti. Shu nuqtaning
t = 0 dagi tezligini toping.
A) 5
B) 8
C) 4
D) 6

181
Yechish: 4-xossaga ko’ra, nuqtaning tezligi uchun
ϑ(t) = S
0
(t) = e
t
−sin t+5 formula o’rinlidir. De-
mak, ϑ(0) = e
0
−sin 0+5 = 1−0+5 = 6. Javob:
6 (D).
37.
(98-12-107) Moddiy nuqta S(t) = −
1
6
t
3
+ 3t
2
− 5
qonuniyat bo’yicha harakatlanyapti. Uning te-
zlanishi nolga teng bo’lganda, tezligi qanchaga
teng bo’ladi?
A) 24
B) 18
C) 12
D) 6
38.
(99-3-57) Ikki moddiy nuqta S
1
(t) = 2, 5t
2
−6t+1
va S
2
(t) = 0, 5t
2
+ 2t − 3 qonuniyat bo’yicha
harakatlanyapti. Qaysi vaqtda birinchi nuqta-
ning tezligi ikkinchisinikidan uch marta ko’p bo’lishi
mumkin?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
39.
(99-9-51) Moddiy nuqta to’g’ri chiziq bo’ylab
S(t) = 6t
2
− 2t
3
+ 5 qonuniyat bo’yicha harakat-
lanyapti. Uning tezlanishi 0 ga teng bo’lgandagi
oniy tezligi nimaga teng.
A) 8
B) 6
C) 7
D) 9
40.
(02-3-50) S(t) = t
√
t qonuniyat bilan harakat-
lanayotgan moddiy nuqtaning t = 2 sekunddagi
tezlanishini hisoblang.
A)
3
8
√
2
B)
3
4
√
2
C)
3
16
√
2
D) 3
√
2
41.
(02-11-51) To’g’ri chiziq bo’ylab S(t) =
3t + 2
t + 3
qo-
nuniyat bo’yicha harakatlanayotgan moddiy nuq-
taning t = 2 sekunddagi tezligini (m/sek) aniqlang.
A) 0,2
B) 0,25
C) 0,28
D) 0,32
42.
(03-4-44) Ikki moddiy nuqta S
1
(t) = 2t
3
− 5t
2
−
3t(m) va S
2
(t) = 2t
3
−3t
2
−11t+7(m) qonuniyat-
lar bo’yicha harakatlanyapti. Bu ikki nuqtaning
tezliklari teng bo’lgan paytda birinchi nuqtaning
tezlanishini (m/s
2
) toping.
A) 10
B) 8
C) 14
D) 9
14.4
Boshlang’ich funksiya va integral
Biror intervalda ikki f va F funksiyalar berilgan bo’lib,
ular
F
0
(x) = f (x)
(1)
munosabat bilan bog’langan bo’lsin. Bobning boshida
ta’kidlanganidek, f funksiya F funksiyaning hosilasi
deyiladi. Funksiya hosilasi mavzusida F funksiyani bil-
gan holda f funksiyani topish usullarini ko’rib chiqdik.
Endi teskari masalani o’rganamiz, ya’ni f funksiya ma’-
lum bo’lsa, hosilasi f ga teng bo’lgan F funksiyani top-
ish usullari bilan tanishamiz. Agar F funksiya biror
intervalda differensiallanuvchi bo’lib, (1) tenglik bajar-
ilsa, F funksiya shu intervalda f funksiya uchun bosh-
lang’ich funksiya deyiladi. Ko’p hollarda biror amalga
teskari amal kiritilganda, u yagona ravishda aniqlan-
maydi. Shunga o’xshash hol berilgan funksiyaga bosh-
lang’ich funksiyani topishda ham sodir bo’ladi. Agar F
funksiya f funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo’lsa,
u holda ixtiyoriy C o’zgarmas uchun F (x) + C ham f
funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo’ladi. Berilgan
f funksiya uchun boshlang’ich funksiyani topish jara-
yoni f funksiyani integrallash deyiladi.
Agar F funksiya f funksiya uchun boshlang’ich funk-
siya bo’lsa, u holda ixtiyoriy boshqa boshlang’ich funksi-
ya F (x)+C ko’rinishga ega bo’ladi va u aniqmas integ-
ral degan maxsus nomga ega bo’lib, quyidagicha yozi-
ladi:
Z
f (x)dx = F (x) + C.
Endi elementar funksiyalar uchun aniqmas integrallar
jadvalini keltiramiz.
1.
Z
x
α
dx =
x
α+1
α + 1
+ C,
(α 6= −1).
2.
Z
x
−1
dx = ln |x| + C.
3.
R
sin xdx = − cos x + C;
4.
R
cos xdx = sin x + C.
5.
Z
1
sin
2
x
dx = −ctgx + C.
6.
Z
1
cos
2
x
dx = tgx + C.
7.
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C.
8.
R
e
x
dx = e
x
+ C;
9.
R
tgxdx = − ln | cos x| + C.
10.
R
ctgxdx = ln | sin x| + C.
Boshlang’ich funksiyani hisoblash qoidalari
11.
R
f
0
(x)dx = f (x) + C.
12.
R
(f (x) + g(x))dx =
R
f (x)dx +
R
g(x)dx.
13.
R
Cf (x)dx = C
R
f (x)dx.
14.
Agar
R
f (x)dx = F (x) + C bo’lsa,
Z
f (ax + b)dx =
1
a
F (ax + b) + C.
1.
Ushbu f (x) = 2x − 1 funksiyaning boshlang’ich
funksiyasining umumiy ko’rinishini toping.
A) 2x
2
− x + C
B) x
2
− x + C
C) x
2
− 1 + C
D) x
2
+ x + C
Yechish: Berilgan funksiyani f (x) = 2x
1
− x
0
shaklda yozib, 1 va 12-13 formulalardan foydalanib
Z
f (x)dx = 2 ·
x
1+1
2
−
x
1
+ C = x
2
− x + C
ni olamiz. Javob: x
2
− x + C (B).
2.
Ushbu f (x) = 3x
2
− sin x funksiyaning aniqmas
integralini toping.
A) x
3
+ cos x + C
B) x
3
− cos x + C
C) 3x
3
− cos x + C
D) x
3
+ tgx + C

182
3.
Ushbu f (x) = e
x
+cos x funksiyaning boshlang’ich
funksiyasining umumiy ko’rinishini toping.
A) e
x
− cos x + C
B) e
x
+ sin x + C
C) e
x
− sin x + C
D) e
x
+ cos x + C
4.
Ushbu f (x) = 1 + cos
−2
x funksiyaning bosh-
lang’ich funksiyasini toping.
A) x + 2cos
−3
x + C
B) x − tgx + C
C) x − ctgx + C
D) x + tgx + C
5.
(99-8-40) Ushbu f (x) =
3
4
√
x
funksiyaning bosh-
lang’ich funksiyasini toping.
A)
3
2
√
x + C
B) 3
√
x + C
C)
4
3
√
x + C
D) −
3
2
√
x + C
6.
Ushbu f (x) = x
−1
−tgx funksiyaning boshlang’ich
funksiyasining umumiy ko’rinishini toping.
A) ln |x cos x| + C
B) ln |x| + ctgx + C
C) ln |
cos x
x
| + C
D) ln |x| − ctgx + C
7.
Ushbu f (x) = 3(x − 1)(x + 3) funksiyaning bosh-
lang’ich funksiyasini toping.
A) x
3
+3x
2
−9x+C
B) x
3
−3x
2
−9x+C
C) x
3
+3x
2
+9x+C
D) x
3
+3x
2
−3x+C
Yechish: Qavsni ochib berilgan funksiyani f (x) =
3x
2
+6x−9 shaklda yozib, 1 va 12-13 formulalar-
dan foydalanib
Z
f (x)dx = x
3
+ 3x
2
− 9x + C
ni olamiz. Javob: x
3
+ 3x
2
− 9x + C (A).
8.
Ushbu f (x) = (3x + 1)
2
funksiyaning aniqmas
integralini toping.
A) x
3
+ 3x
2
+ x + C
B) x
3
− 3x
2
− x + C
C) x
3
− 3x
2
+ x + C
D) x
3
− 3x
2
+ x + C
9.
Ushbu f (x) = (e
0,5x
+e
−0,5x
)
2
funksiyaning aniq-
mas integralini toping.
A) e
x
+ e
−x
+ x + C
B) e
x
− e
−x
+ x + C
C) e
x
+e
−x
+2x+C
D) e
x
−e
−x
+2x+C
10.
Ushbu f (x) =
√
x(x+1) funksiyaning boshlang’ich
funksiyasini toping.
A)
2
5
x
2
√
x+
2
3
x
√
x+C
B)
2
5
x
5/2
−
2
3
x
3/2
+C
C)
5
2