M u n d a r I j a

x
2
√
x+
3
2
x
√
x+C
D)
2
5
x
5/2
−
3
2
x
3/2
+C
11.
Ushbu f (x) =
x − 1
√
x
funksiyaning boshlang’ich
funksiyasini umumiy ko’rinishini toping.
A)
2
3
x
√
x − 2
√
x + C
B)
3
2
x
√
x − 2
√
x + C
C)
2
3
x
√
x + 2
√
x + C
D)
2
3
x
√
x −
1
2
√
x + C
12.
(00-3-70) Ushbu
f (x) = 2x −
1
x
2
− cos 2x
funksiyaning boshlang’ich funksiyasini toping.
A) x
2
+
1
x
+
1
2
sin 2x + C
B) x
2
−
1
x
+
1
2
sin 2x + C
C) x
2
+
1
x
−
1
2
sin 2x + C
D) x
2
+
1
x
− sin 2x + C
Yechish: Boshlang’ich funksiyalarni hisoblashn-
ing 1 va 12-qoidasidan foydalanib
Z
f (x)dx = x
2
+ x
−1
−
Z
cos 2xdx
(2)
ni olamiz. 4 va 14-qoidalardan foydalanib
Z
cos 2xdx =
1
2
sin 2x + C
ekanligini olamiz. Bu ifodani (2) ga qo’yib
Z
f (x)dx = x
2
+
1
x
−
1
2
sin 2x + C
ni olamiz. Javob: (C).
13.
(98-8-31) Ushbu y =
2
e
x
funksiyaning boshlang’ich
funksiyasini toping.
A)
2
e
x
+ C
B) 2 ln x + C
C) e
−x
+ C
D) −2e
−x
+ C
14.
(96-1-32) Ushbu
f (x) = 1 −
1
cos
2
3x
funksiya uchun boshlang’ich funksiyasining umu-
miy ko’rinishini toping.
A) x +
1
3
ctgx + C
B) x −
1
3
tgx + C
C) x −
1
3
tg3x + C
D) tg3x + C
15.
(96-3-31) Ushbu f (x) = 2 sin 3x funksiya uchun
boshlang’ich funksiyaning umumiy ko’rinishini to-
ping.
A) −
2
3
cos 3x + C
B)
2
3
cos 3x + C
C) −
3
2
sin 2x + C
D)
3
2
sin 2x + C
16.
(96-7-32) f (x) = 2 cos
2
x funksiya boshlang’ich
funksiyasining umumiy ko’rinishini ko’rsating.
A) 2 sin
2
x + C
B) x +
1
2
sin 2x + C
C)
2
3
cos
3
x + C
D) 2x −
1
2
sin 2x + C
Yechish: Darajani pasaytirish formulasi 2 cos
2
x =
1 + cos 2x dan hamda 4 va 14-qoidalardan foy-
dalanib
Z
f (x)dx =
Z
(1 + cos 2x)dx = x +
1
2
sin 2x + C
ni olamiz. Javob: (B).

183
17.
(97-5-35) Ushbu f (x) = sin
2
x funksiyaning bosh-
lang’ich funksiyasini toping.
A) −
1
2
x +
1
4
sin 2x + C
B)
1
2
x −
1
4
sin 2x + C
C)
1
4
sin 2x + C
D) −
1
4
sin 2x + C
18.
(96-10-34) Ushbu f (x) = 1 +
1
sin
2
4x
funksiya
boshlang’ich funksiyasining umumiy ko’rinishini
toping.
A) x −
1
4
ctg4x + C
B) x +
1
4
tg4x + C
C) x − ctg4x + C
D) x +
1
4
ctgx + C
19.
(96-11-32) Ushbu f (x) = 3 sin 2x funksiya uchun
boshlang’ich funksiyasining umumiy ko’rinishini
ko’rsating.
A) −
3
2
· cos 2x + C
B) −
2
3
· cos 2x + C
C)
3
2
· sin 2x + C
D) −
3
2
· sin 2x + C
20.
(96-12-82) f (x) = x
2
funksiyaning (3; 2) nuq-
tadan o’tuvchi boshlang’ich funksiyasini toping.
A)
x
3
3
+ 7
B)
x
3
3
− 7
C) 2x − 4
D) 2x + 4
Yechish: 1-qoidadan foydalanib
Z
f (x)dx =
Z
x
2
dx =
1
3
x
3
+ C = F (x)
ni olamiz. F funksiyaning grafigi (3; 2) nuqtadan
o’tishidan foydalansak F (3) =
1
3
3
3
+ C = 2 teng-
likni olamiz. Bu yerdan C = −7 ekanligi kelib
chiqadi. Javob:
x
3
3
− 7 (B).
21.
(96-13-25) f (x) = x −
x
2
2
funksiyaning (6; 0) nuq-
tadan o’tuvchi boshlang’ich funksiyasini toping.
A) 1 − x + 5
B) 1 − x − 5
C)
x
2
2
−
x
3
6
− 18
D)
x
2
2
−
x
3
6
+ 18
22.
(97-6-23) Agar F
0
(x) = 2x−1 va F (1) = 2 bo’lsa,
F (x) ni toping.
A) F (x) = 3x
2
− 3x + 2
B) F (x) = x
2
− x + 2
C) F (x) = x
2
+x
D) F (x) =
x
2
2
− x + 2
1
2
23.
(97-7-32) Ushbu f (x) = sin x · cos 2x funksiya
boshlang’ich funksiyasining umumiy ko’rinishini
ko’rsating.
A)
1
3
sin 3x +
1
2
sin x + C
B)
1
2
cos x −
1
3
cos 3x + C
C)
1
2
cos x −
1
6
cos 3x + C
D) − cos x · sin 2x + C
24.
(97-10-32) Quyidagilardan qaysi biri f (x) = sin 2x·
cos x funksiya boshlang’ich funksiyasining umu-
miy ko’rinishi?
A) −
1
2
cos 2x · sin x + C
B)
1
6
cos 3x +
1
2
cos x + C
C) −
1
6
cos 6x −
1
6
cos x + C
D) −
1
2
cos x −
1
6
cos 3x + C
25.
(98-1-31) Ushbu y = e
1−3x
funksiyaning bosh-
lang’ich funksiyasini ko’rsating.
A) −3e
x
+ C
B) e
1−3x
+ C
C) −3e
1−3x
+ C
D) −
1
3
e
1−3x
+ C
26.
(96-6-47) Quyidagi funksiyalarning qaysi biri uchun
F (x) = 2 cos x + sin x + C funksiya boshlang’ich
funksiya bo’ladi?
A) f (x) = −2 sin x − cos x
B) f (x) = 2 sin x + cos x
C) f (x) = −2 sin x + cos x
D) f (x) = 2 sin x − cos x
Yechish: F funksiyaning hosilasini hisoblaymiz:
F
0
(x) = −2 sin x + cos x = f (x).
Javob: f (x) = −2 sin x + cos x (C).
27.
(98-2-43) Ushbu F (x) = e
x
−
1
3
sin 3x + ctgx + C
funksiya quyidagi funksiyalardan qaysi birining
boshlang’ich funksiyasi?
A) f (x) = e
x
− cos 3x −
1
sin
2
x
B) f (x) = e
x
+ cos 3x −
1
sin
2
x
C) f (x) = e
x
− cos 3x +
1
sin
2
x
D) f (x) = e
x
+ cos 3x +
1
sin
2
x
28.
(96-6-48) Agar y = f (x) funksiyaning boshlang’ich
funksiyasi F (x) bo’lsa, 2f (2x) funksiyaning bosh-
lang’ich funksiyasini toping.
A) 2F (2x)
B)
1
2
F (2x)
C) F (2x)
D) 2F (x)
29.
(98-9-41) F (x) = 2 cos 2x + sin x + C funksiya
quyidagi funksiyalardan qaysi birining boshlang’ich
funksiyasi hisoblanadi?
A) −4 sin 2x − cos x
B) 4 sin x + cos x
C) −2 sin 2x + cos x
D) −4 sin 2x + cos x
30.
(99-2-43) F (x) =
1
2
x
2
+ cos x + C funksiya
y = f (x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi.
y = f (x) funksiyaning hosilasini toping.
A) 2 cos
2
x
2
B) 2 sin
2
(
π
4
−
x
2
)
C)1 + 2 · cos x
D) 2 · sin
2 x
2
31.
(99-3-59) Ushbu f (x) = x + ctg
2
x funksiyaning
boshlang’ich funksiyasini toping.
A)
x
2
2
+
1
3
ctg
3
x + C
B)
x
2
2
−
1
3
ctg
3
x + C
C)
x
2
2
− x − ctgx + C
D)
x
2
2
− x + ctgx + C

184
32.
(01-12-50) Ushbu f (x) = (ln sin x+1)·cos x funksiya
uchun boshlang’ich funksiyani toping.
A) cos x · ln sin x + C
B) sin x · ln sin x + C
C) sin x · ln cos x + C
D) x + ln sin x + C
33.
(02-3-51) f (x) = (tgx + ctgx)
2
funksiyaning
boshlang’ich funksiyasini toping.
A) tgx − ctgx + C
B) tgx − ctgx + 2x + C
C) tgx − ctgx + 4x + C
D) tgx − ctgx − 4x + C
34.
(99-8-41) Ushbu f (x) = 3x
2
− 2 funksiyaning
boshlang’ich funksiyalaridan qaysi birining grafigi
M (2; 4) nuqtadan o’tadi?
A) F (x) = x
3
− 2x
B) F (x) = x
3
− 2x + 1
C) F (x) = x
3
− 2x + 5
D) F (x) = x
3
− 2x + 8
35.
(99-10-45) Ushbu f (x) = 2 cos
2
(
x
2
) funksiyaning
M (0; 3) nuqtadan o’tadigan boshlang’ich
funksiyasini toping.
A) F (x) = x − sin x + 3
B) F (x) = −x + sin x + 3
C) F (x) = x + sin x + 3
D) F (x) = x + cos x + 3
36.
(02-10-32) f (x) = 6x
2
− 6x + 7 funksiyaning
M (1; 0) nuqtadan o’tuvchi boshlang’ich funksiya-
sini ko’rsating.
A) 2x
3
− 3x
2
+ 7x − 6
B) 6x
2
− 6x
C) 6x
3
− 6x
2
+ 7x − 7
D) 3x
3
− 3x
2
+ 7x − 7
37.
(01-1-36) f (x) = 3x
2
− 2 cos(2x +
π
3
) funksiyaning,
grafigi koordinata boshidan o’tuvchi boshlang’ich
funksiyasini toping.
A) x
3
−
1
2
sin(2x +
π
3
) −
√
3
2
B) 3x
3
− sin 2x −
√
3
2
C) x
3
− sin x +
1
2
D) x
3
− sin(2x +
π
3
) +
√
3
2
38.
(01-4-24) f (x) =
1
x
funksiyaning, grafigi (e; 2) nuq-
tadan o’tuvchi boshlang’ich funksiyasini toping.
A) 2 ln |x|
B) 3 − ln |x|
C) e ln |x|
D) ln |x| + 1
39.
(01-7-51) f (x) =
1
√
x − 2
funksiyaning, grafigi A(3; 5)
nuqtadan o’tuvchi boshlang’ich funksiyasini to-
ping.
A)
√
x − 2 + 4
B) 2
√
x − 2 + 3
C)
√
x − 2 + 3
D) 2
√
x − 2 + 4
40.
(01-8-30) Agar F
0
(x) = e
−3x
va F (1) = 0 bo’lsa,
F (x) ni toping.
A) −3e
−3x
+ 1
B) −
1
3
e
−3x
+
1
3
C)
1
3
e
−3x
+ e
D) −
1
3
e
−3x
+
1
3
e
−3
Yechish: 11-qoidaga ko’ra,
F (x) =
Z
F
0
(x)dx = −
1
3
e
−3x
+ C.
(3)
Endi F (1) = 0 shartdan foydalanamiz: 0 = −
1
3
e
−3
+
C. Bu yerdan C =
1
3
e
−3
topib, uni (3) ga qoy-
amiz, natijada D) javobni olamiz. Javob: (D).
41.
(01-1-37) Agar F
0
(x) = e
x
+ sin 2x va F (0) = 3, 5
bo’lsa, F (x) ini toping.
A) e
x
−
1
2
cos 2x + 3
B) e
x
−
1
2
cos 2x + 4
C) e
x
− cos 2x + 4, 5
D) e
x
− cos x + 3
42.
(01-11-41) Agar F
0
(x) = 3x
2
− 2x va F (0) = 4
bo’lsa, F (x) ni toping.
A) F (x) = x
4
+2x
2
−4
B) F (x) = x
4
−2x
2
+4
C) F (x) = x
4
− x
2
− 4
D) F (x) = x
3
− x
2
+ 4
43.
(97-11-23) Agar F
0
(x) = x − 4, F (2) = 0 bo’lsa,
F (x) ni toping.
A) F (x) = x
2
− 2x
B) F (x) = x
2
− 4x + 4
C) F (x) = 2x
2
−4x
D) F (x) =
1
2
x
2
− 4x + 6
44.
(02-2-31) Agar f
0
(x) = 6x
2
− 3x + 5 va
f (4) = 130 bo’lsa, f (0) =?
A) 6
B) 4
C) −4
D) −6
14.4.1
Aniq integral
Aniq integralning ta’rifiga to’xtalmaymiz, ammo uning
xossalari va tadbiqlarini qarab chiqamiz. f funksiyadan
[a; b] kesma bo’yicha olingan aniq integral quyidagicha
belgilanadi:
Z
b
a
f (x)dx.
Aniq integral tushunchasi [a; b] kesma f funksiya grafigi
va abssissalar o’qi bilan chegaralangan geometrik figura
yuzasini hisoblash masalasi bilan uzviy bog’liqdir. Faraz
qilaylik, F funksiya f funksiyaning [a; b] kesmadagi
boshlang’ich funksiyasi bo’lsin, ya’ni F
0
(x) = f (x), x ∈
[a; b]. Endi integral hisobning asosiy formulasi − Nyuton-
Lebnist formulasini keltiramiz:
1.
Nyuton-Lebnist formulasi:
Z
a
b
f (x)dx = F (x)|
b
a
= F (b) − F (a).
(14.4)
Bizga [a; b] kesmada aniqlangan manfiymas f funksiya
berilgan bo’lsin. Yuqoridan f funksiyaning grafigi, quyi-
dan abssissalar o’qi va yon tomonlardan x = a hamda
x = b vertikal to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan figura
egri chiziqli trapetsiya (14.3-chizma) deyiladi. Egri
chiziqli trapetsiya yuzasi S uchun quyidagi tenglik o’rinli:
S =
Z
a
b
f (x)dx = F (b) − F (a).
(14.5)

185
1.
(98-8-32) Hisoblang.
Z
π
−
π
2
| cos x|dx
A) 1
B) 3
C) −1
D) 4
Yechish: −
π
2
≤ x ≤
π
2
da cos x ≥ 0 ekanidan
bu oraliqda | cos x| = cos x tenglik,
π
2
≤ x ≤ π
da esa cos x ≤ 0 ekanidan bu oraliqda | cos x| =
− cos x tenglik o’rinli ekani kelib chiqadi. Shu
sababli berilgan integralni ikkita integralga ajratib
hisoblaymiz.
Z
π
−
π
2
| cos x|dx =
Z
π
2
−
π
2
cos xdx −
Z
π
π
2
cos xdx =
= sin x|
π
2
−
π
2
− sin x|
π
π
2
= sin
π
2
− sin(−
π
2
)−
− sin π + sin
π
2
= 1 + 1 − 0 + 1 = 3
Javob: 3 (B).
2.
(97-6-63) Hisoblang.
Z
3
−2
|3 − x|dx
A) 9
B) 8
C) 4
D) 12,5
3.
(96-1-31) Integralni hisoblang.
Z
π
2
π
3
sin xdx
A)
√
3
2
B)
√
2
2
C)
1
2
D) −
√
2
4.
(96-6-49) Integralni hisoblang.
Z
e
2
−1
0
dx
x + 1
A) 3
B) 2
C) −2
D) −3
5.
(96-7-31) Hisoblang.
Z
2
0
(1 − 2x)
2
dx
A) 4
1
2
B) −3
1
3
C) 9
D) 4
2
3
6.
(97-3-31) Hisoblang.
Z
1
0
(3x − 1)
2
dx
A) 3
B) 1
C) −
1
3
D)
7
9
7.
(96-9-82) Hisoblang.
Z
π
4
0
sin 2xdx
A)
1
2
B) −1
C) −
1
2
D) 1
Yechish: Nyuton-Lebnist formulasiga ko’ra,
Z
π
4
0
sin 2xdx = −
1
2
cos 2x|
π
4
0
= −
1
2
· 0 +
1
2
=
1
2
.
Javob:
1
2
(A).
8.
(96-10-33) Integralni hisoblang.
Z
π
2
π
3
cos 2xdx
A)
1
2
B) −
√
3
4
C) 0
D)
√
3
4
9.
(97-1-22) Integralni hisoblang.
Z
0
−
π
2
cos 3xdx
A)
1
3
B) 0
C) −
1
3
D)
2
3
10.
(97-6-22) Hisoblang.
Z
−
π
4
π
4
cos 2xdx
A) 0
B) −2
C) −1
D)
√
2
11.
(97-8-49) Hisoblang.
Z
π
2
π
4
(1 + ctg
2
x)dx
A)
√
3
3
B) 1
C)
√
3 − 1
D) −1
12.
(97-7-31) Hisoblang.
Z
0
−1
(2x + 1)
2
dx
A)
1
6
B)
2
3
C) 1
D)
1
3
13.
(97-10-31) Hisoblang.
Z
0
−1
(1 + 3x)
2
dx
A) 1
B) −1
C)
7
9
D) −
1
3

186
14.
(97-11-22) Integralni hisoblang.
Z
π
2
0
sin 5xdx
A)
1
5
B) −
2
5
C) 1
D) −1
15.
(98-4-43) a ning qanday qiymatlarida
Z
2
0
(t − log
2
a)dt = 2 log
2
2