Maple dasturi yordamida aniqmas va aniq integrallarni hisoblash

>value(%);

^^
2
 ₉ 

>Doubleint(1/(x^2+y^2),y=x^2..infinity,x=0..infinity);


_ _




 
 

¹ dy dx x²  y²

>value(%);

0 _x2



Amaliyotda berilgan ifodada qatnashayotgan integrallanuvchi funksiyani aniqlashga to’g’ri kelgan hollarda Maple dasturi yordamida integrand funksiyasi orqali osongina aniqlab olish mumkin. Buyruqning umumiy ko’rinishi quyidagicha:

>integrand(expr);
bunda expr – berilgan ifoda. Misollar keltiramiz:

>restart;

>with(student):

>integrand(Int(x-3,x=1..2)+2*x+6*y);

x  3

>w:=Int(sin(x)+x,x)+Doubleint(f(x,y),x,y)+2*x*y;

>integrand(w);
w :=
sin( x )  x dx  ^_
f( x, y ) dx dy  2 x y

{ sin( x )  x, f( x, y ) }

>integrand(Doubleint(x*y-1,x=1..2,y=-1..2));

x y  1

>integrand(Tripleint(f(x,y,z),x,y,z));

f( x, y, z )

>w:=Int(a*x+b,x)+Doubleint(a*x+b*y,x,y)+Tripleint(a*x+b*y+c*z,x,y,z

);

w :=

>integrand(w);

a x  b dx 
^_a x  b y dx dy  ^_
a x  b y  c z dx dy dz

{ a x  b y, a x  b, a x  b y  c z }

>integrand(x-y+z);

{ }

Agar 𝑓⁽𝑥, 𝑦⁾ funksiya

𝑥 = 𝑥⁽𝑡⁾, 𝑦 = 𝑦⁽𝑡⁾, 𝑎 ⩽ 𝑡 ⩽ 𝑏
tenglama bilan berilgan 𝐂 sillliq chiziqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, 𝑑𝑠 − yoy differensiali bo’lsa, u holda bu funksiyaning 1 – tur egri chiziqli integrali
𝑏

∫ 𝑓⁽𝑥, 𝑦⁾ 𝑑𝑠
C
formula bilan topiladi.
Agar 𝐂 silliq chiziq
= ∫ 𝑓(𝑥⁽𝑡⁾, 𝑦⁽𝑡⁾)^√𝑥^′2(𝑡⁾ + 𝑦^′2(𝑡⁾ 𝑑𝑡
𝑎

𝑥 = 𝑥⁽𝑡⁾, 𝑦 = 𝑦⁽𝑡⁾, 𝑧 = 𝑧⁽𝑡⁾, 𝑎 ⩽ 𝑡 ⩽ 𝑏
tenglama bilan berilgan bo’lsa, 𝑓⁽𝑥, 𝑦, 𝑧⁾ funksiyaning 1 – tur egri chiziqli integrali
𝑏

∫ 𝑓⁽𝑥, 𝑦, 𝑧⁾ 𝑑𝑠
C
formula bilan aniqlanadi.
= ∫ 𝑓(𝑥⁽𝑡⁾, 𝑦⁽𝑡⁾, 𝑧⁽𝑡⁾)^√𝑥^′2(𝑡⁾ + 𝑦^′2(𝑡⁾ + 𝑧^′2(𝑡⁾ 𝑑𝑡
𝑎

Maple dasturi yordamida 𝑓⁽𝑥, 𝑦⁾ va 𝑓⁽𝑥, 𝑦, 𝑧⁾ funksiyalarning 𝐂 sillliq chiziqdagi 1 – tur egri chiziqli integralini mos ravishda quyidagi buyruqlar orqali aniqlaymiz:
>Lineint(f(x,y),x=x(t),y=y(t),t=a..b);
va
>Lineint(f(x,y,z),x=x(t),y=y(t),z=z(t),t=a..b);
Misollar bilan tanishamiz:

>restart;

>with(student):

>Lineint(f(x,y),x=x(t),y=y(t),t=a..b);

b
_
 f( x( t ), y( t ) ) dt



a

>Lineint(f(x,y,z),x=x(t),y=y(t),z=z(t),t=a..b);

b
_
 f( x( t ), y( t ), z( t ) ) dt



a

>Lineint(x^2+y^2,x=a*(cos(t)+sin(t)*t),y=a*(sin(t)- cos(t)*t),t=0..2*Pi);


2 


_ ( a² ( cos( t )  sin( t ) t )²  a² ( sin( t )  cos( t ) t )² )


₀

>value(%);

2 a² ²
dt
 4 a² ⁴

>Lineint(x*y,x=2*cosh(t),y=2*sinh(t),t=0..Pi);



>value(%);

_
_ 4 cosh( t ) sinh( t ) dt



0
1 _{( 2 e}( 2  ) _{ 2 e}( 2  ) ₎^{( 3/2 )} _ 4

6 3

>Lineint(z,x=t*cos(t),y=t*sin(t),z=t,t=0..T);

T

>value(%);

>T:=1:%%;
_
 t dt



0
¹ ( T²  2 )( 3/2 ) 
3



>Lineint(f(x,y,z,w),x=x(t),y=y(t),z=z(t),w=w(t),t=a..b);

b
_
 f( x( t ), y( t ), z( t ), w( t ) ) dt



a
Misollardan ko’rish mumkinki, bu funksiya berilgan buyruqqa mos integralning analitik ko’rinishini beradi. Natijani aniqlash uchun esa value funksiyasidan foydalaniladi.

Maple dasturida mavhum birlik (imaginary unit) - 𝒊 sonini I kabi, ya’ni lotin alifbosidagi i harfining katta harfidan foydalanib yoziladi. Masalan,

>restart;

>I^2;
-1

>I^5;

>(2+3*I)^2;

>(3-4*I)*(6-7*I)*(1-2*I);

I

-5  12 I

-100  25 I

Umuman, Maple dasturida kompleks sonni ifodalash uchun mavhum birlikni undagi yozilishini bilish yetarli ekanini ko’rgan bo’lsangiz kerak. Faqat kompleks argumentli funksiyalarning qiymatini aniqlashda evalc funksiyasidan foydalaniladi. Bu haqiqiy argumentli funksiyaning qiymatini aniqlaydigan evalf funksiyasining vazifasiga o’xshash.
Maple dasturida kompleks sonlar ustida quyidagi amallarni bajarish mumkin:

1. 
   abs(z);buyrug’idan so’ng ekranda z kompleks sonning moduli chop etiladi;
   
2. 
   argument(z);funksiyasi z kompleks sonning bosh argumentini aniqlaydi;
   
3. 
   conjugate(z);funksiyasi z kompleks sonning qo’shmasini aniqlaydi;
   
4. 
   Re(z);va Im(z); buyruqlari mos ravishda z kompleks sonning haqiqiy va mavhum qismlarini aniqlaydi;
   
5. 
   signum(z);funksiyasi z kompleks sonni normal ko’rinishga keltiradi;
   
6. 
   polar(z); funksiyasi z kompleks sonning qutb koordinatalarini ekranga chop etadi.
   

>abs(6-8*I);

>abs(a+b*I);

>evalc(%);

>argument(3-8*I);

>exp(Pi/3*I);

10


a  I b






 
arctan^{ 8 }
 ³ 


1 _ 1 _I

2 2

>polar(sqrt(3)+I);

polar^_ 2, ¹  ^_

>Re(2-I*3);

>Im(12-6*I);

>signum(3-4*I);

_ ₆ _

2

-6

3 _ 4 _I
5 5

• conjugate(9+7*I);;

9  7 I
Kompleks argumentli funksiyalar ustida bajariladigan amallarga doir Maple dasturida misollar keltirishni o’quvchining o’ziga qoldiramiz. Bizlar uning integralini ham int funksiyasi orqali aniqlashni ta’kidlab o’tib, unga doir misollar keltirish bilan cheklanamiz:

>restart;

>int(x+I*sin(x),x);

>int(exp(5*x*I)*sin(5*x),x);

¹ x²  I cos( x ) 2

¹ sin( 5 x )²  I ^_  ¹ cos( 5 x ) sin( 5 x )  ¹ x ^_

10

>int(ln(x)+I,x=I..I+1);

_^ 10
₂ _

>evalc(%);

ln( 1  I )  I ln( 1  I )  1  I ¹

 
2

¹ ln( 2 )  ¹   1  I ¹   ¹ ln( 2 )  1 ^_
2 4 ^_ 4 2 ^_

>int(1/(I+x^3),x=0..infinity);

¹ ln


I ^_  ¹  ¹ I


_ _
¹ ln^_ I ^_  ¹  ¹ I


_ _

¹ I   ³ 6
_ _{ 2
} 1 1


₂ _ _{ 3}


2

_ _{ 2
} 1 1


₂ _ _
2


_  I _{ }  I _

_ 2 2 _

>evalc(%);

1 _
9

>int(ln(I+x),x=-I..I);

 ¹ I 

3
_ 2 2 _

2 I ln( 2 )    2 I

>with(student):

>integrand(Int(ln(I+x),x=-I..I));
ln( I  x )

>intparts(Int(ln(I+x),x=-1..1),ln(I+x));

1
ln( 1  I )  ln( -1  I )  ^{ x} dx

>evalc(value(%));


^-1
I  x

ln( 2 )  ¹   2  I 
2

Kompleks argumentli funksiyalarning aniq integralida o’zgaruvchini almashtirish va bo’laklab integrallashda shunga e’tibor berish kerak – ki,

1. 
   Integralning quyi va yuqori chegarasi haqiqiy sonlar bo’lishi kerak;
   
2. 
   Olinayotgan almashtirish haqiqiy argumentli funksiya bo’lishi kerak.
   

Ana shu qoidalarga rioya qilib Maple dasturida o’zgaruvchilarni almashtirganda samarali natija olish mumkin. Chunki, ba’zi hollarda biz kutgan natijani Maple bermaydi va hattoki xatolik ham borligini ko’rsatadi. Masalan,

>restart;

>with(student):

>intparts(Int(ln(I+x),x=-I..1),ln(I+x));

Error, (in intparts) complex argument to max/min

>changevar(x=2-I*t,Int(x+I,x=0..1),t);

Error, (in changevar) complex argument to max/min
Yo’l qo’yilgan xatolik shundaki (yozilgan buyruqda xatolik yo’q, aytilayotgan xatolik matematik xatolik), 1 – buyruqda integralning quyi va yuqori chegarasi taqqoslanmaydi, 2 – buyruqda bajarilgan almashtirish integralning quyi va yuqori chegarasini kompleks songa aylantiradi, natijada yana ularni taqqoslab bo’lmaydi.

9 – 12 – mavzularni takrorlash uchun savol va topshiriqlar

1. 
   Maple dasturida ikki va uch karrali integrallarni hisoblash buyruqlarini ayting. Misollar bilan.
   
2. 
   Maple dasturida ikki va uch karrali integrallarda o’zgaruvchilarni almashtirish buyrug’ini ayting. Misollar bilan.
   
3. 
   Maple dasturida takroriy integrallar qanday hisoblanadi?
   
4. 
   Karrali integrallarni Maple dasturida hisoblaganda natijasini aniqlash uchun qaysi buyruqdan foydalaniladi?
   
5. 
   Maple muhitida kompleks argumentli funksiyalarning qiymatini aniqlash uchun qaysi buyruqdan foydalanamiz?
   
6. 
   Egri chiziqli integrallarni Maple muhitida hisoblashda qaysi buyruqdan foydalanamiz?
   
7. 
   Maple dasturida integrand funksiyasi qanday vazifani bajaradi? Misollar bilan.
   
8. 
   Quyidagi takroriy integrallarni ikki xil usulda husoblang.
   

   1	1 𝑥^2 ∫ 𝑑𝑥 ∫ sin^(𝑥 + 𝑦^)𝑑𝑦 0 0	6	1 1−𝑥 ^𝑥+𝑦 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑧 0 0 0
   2	𝜋 2 √sin 2𝜑 ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝜑 arcsin 𝑟 𝑑𝑟 0 0	7	1 ^√1−𝑥^21 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑧 ^−1^−^√^1−𝑥^2√𝑥^2+𝑦^2
   3	∬ ^[𝑥 + 2𝑦^]𝑑𝑥 𝑑𝑦 0⩽𝑥⩽2 0⩽𝑦⩽2	8	1 1 2 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 ∫^[𝑥 − 𝑦 + 𝑧^]2𝑑𝑧 0 −1 0
   4	∬ ^|cos^(𝑥 + 𝑦^)|𝑑𝑥 𝑑𝑦 0⩽𝑥⩽π 0⩽𝑦⩽π	9	2 ∭ ^𝑥 + ^[𝑥 − 𝑦^]+ sign^(𝑧^)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 2 0⩽𝑥⩽1 −1⩽𝑦⩽1 0⩽𝑧⩽𝑥+𝑦
   5	2 ^√4−𝑥^2 ∫ 𝑑𝑥 ∫ sign^(𝑥^2 − 𝑦^2 + 2^)𝑑𝑦 ^−2−^√4−𝑥^2	10	𝑥 𝑥^2𝑥𝑦 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑥^2 + 𝑦^2 + 𝑧^2 𝑑𝑧 0 −𝑥+1 𝑒^𝑥𝑦

9. 
   Quyidagi 1 – tur egri chiziqli integrallarni hisoblang
   

1	∫ 𝑥^2 + 𝑦^2𝑑𝑠, 𝐂: 𝑥 = cos 𝑡 + sin 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 − 𝑡 cos 𝑡 , 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 2π 𝐂
2	∫ 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑠 , 𝐂: 𝑥 = √2 sinh 𝑡 , 𝑦 = √2 cosh 𝑡 , 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 1 𝐂
3	∫ 𝑧 𝑑𝑠, 𝐂: 𝑥 = 𝑡^2 cos 𝑡, 𝑦 = 𝑡^2 sin 𝑡, 𝑧 = 𝑡^2, 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 1 𝐂
4	∫ 𝑥^2 + 𝑦^2 − 𝑧^2 𝑑𝑠, 𝐂: 𝑥 = cos 𝑡, 𝑦 = 3 sin 𝑡, 𝑧 = 2𝑡 , −π ⩽ 𝑡 ⩽ π 𝐂