Maple dasturi yordamida aniqmas va aniq integrallarni hisoblash

restart;

piecewise(x<0,x-1,x>1,x);

• int(%,x);

x  1
{ _x
x  0
1  x

^_ ¹ x²  x
_ 2
x  0

_ 0
x  1

_ 1 _{x2 } 1
1  x

^_ 2 2

• piecewise(x>1,tan(x),x<0, sqrt(-x),0<=x and x<=1,1);

_ tan( x )
^
1  x
x  0

• int(%,x);

_ ₁
x  0 and x  1  0


_{ } 2 _{( x )}( 3/2 )
3


 _x
x  0
x  1

_^ ln( cos( x ) )  1  ln( cos( 1 ) )
1  x

Maple muhitida plot( f(x), x=a..b) buyrug’i berilgan f(x) funksiyaning x ning [a;b] oraliqdagi qiymatlari uchun grafigini chizishga mo’ljallangan funksiya hisoblanadi. Masalan, 𝑓⁽𝑥⁾ = ln 𝑥 ∙ sin 𝑥 funksiyaning 𝑥 ∈ ^[π; 6π^] oraliqdagi grafiga quyidagicha chiziladi:

• plot(ln(x)*sin(x),x=Pi..6*Pi);

Quyida keltirilgan misollarni mustaqil tahlil eting.

• plot(min(sin(x)*x+x,cos(x)),x=-10..10,thickness=2);

• 
  plot(floor(x)*sin(x),x=- 10..10,discont=true,thickness=1,title=`y=[x]sinx`,color=black);
  

• plot(int(sin(x)/x,x),x=-10..10);

• 
  plot(floor(sin(x)-x),x=-10..10,discont=true,thickness=3);
  

Yuqoridagi misollarda keltirilgan floor(x) funksiyasi Maple muhitida berilgan x

sonning butun qismini hisoblashga mo’ljallangan.

>Int(floor(x)*abs(sin(Pi*x)),x)=int(floor(x)*abs(sin(Pi*x)),x);

_
floor( x )
sin(  x )
_{dx  } signum( sin(  x ) ) floor( x ) cos(  x )


>plot(int(floor(x)*abs(sin(Pi*x)),x),x=-10..10,thickness=2);

Bizga
∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥

integralni hisoblash talab qilingan bo’lsin. 𝑓⁽𝑥⁾ funksiyaning berilishiga qarab, bu integralni hisoblash usuli o’zgarib turadi. Agar 𝑓⁽𝑥⁾ funksiyada 𝑥 ni boshqa biror o’zgaruvchining funksiyasi bilan almashtirish natijasida berilgan integralni hisoblash sodda ko’rinishga kelsa, unda berilgan integralda o’zgaruvchini almashtirish mumkin. Buni quyidagicha yozish mumkin:
𝑥 = 𝜁⁽𝑡⁾ ⟹ ∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝜁⁽𝑡⁾)𝑑𝜁⁽𝑡⁾ = ∫ 𝑓(𝜁⁽𝑡⁾) ∙ 𝜁^′(𝑡⁾𝑑𝑡
Maple dasturida aniqmas integralda o’zgaruvchilarni almashtirish uchun quyidagi buyruqdan foydalaniladi:
>changevar(s,f,u);
bunda s – bajarilayotgan almashtirish (masalan, ℎ⁽𝑥⁾ = 𝑔⁽𝑢⁾ ko’rinishidagi), f – berilgan integral, u – yangi argument. Misollar bilan tanishamiz:

>restart;

>with(student):

>changevar(x-1=t,Int(sin(x),x),t);

^_sin( 1  t ) dt

>changevar(x=arccos(u-1), Int((cos(x)+1)^3*sin(x), x), u);


^u³ du


>value(%);

 ¹ u⁴
4

>changevar(ln(x)=t,Int(ln(x)-x,x),t);


^( t  e^t ) e^t dt


>value(%);

e^t t  e^t  ¹ ( e^t )2
2

>changevar(sin(x)=t,Int(sin(x)/(1-3*sin(x)),x),t);

>value(%);

_ _t








_


dt
_{ 2 } ² _t _ _

• 
  ¹ arcsin( t )  ¹
  

_{ 9} _{ 3} _{ }

3 12
arctanh_{ 8 }
 
_ _

>changevar(ln(x)=u,Int(ln(x)*exp(1-ln(x)),x),u);


_{u e}( u  1 ) _{eu du}


>value(%);

¹ u² e
2

>changevar(cos(x)=mu,Int(sin(cos(x))*sin(x),x),mu):value(%);

cos(  )

>changevar(x=sin(u), Int(sqrt(1-x^2),x), u);

>value(%);
_





¹ sin( u ) 2
1  sin( u )² cos( u ) du

• 
  ¹ arcsin( sin( u ) ) 2
  

Yuqoridagi misollardan quyidagi xulosalarni olish mumkin:

1. 
   O’zgaruvchisi alamshtirilayotgan integral Int shaklida yozilgan bo’lishi kerak. Aks holda Maple berilgan integralni dastlabki o’zgaruvchisi bo’yicha hisoblab, natijani ekranga chiqaradi.
   
2. 
   Bu funksiya berilgan integralni hisoblamaydi, balki o’zgaruvchisi almashtirilgandan so’ng berilgan integralning keyingi ko’rinishini aniqlaydi. Natijani aniqlash uchun esa value funksiyasidan foydalaniladi.
   
3. 
   Bu funksiya amal bajarishi uchun bu buyruqqa qadar with(student): buyrug’i berib o’tilgan bo’lishi kerak.
   

Aniqmas integralning yana bir hisoblash usullaridan biri bu bo’laklab integrallashdir.

Aytaylik, quyidagi integralni hisoblash talab etilayotgan bo’lsin:
∫ 𝓊⁽𝑥⁾𝓋^′(𝑥⁾𝑑𝑥
Bu tipga mansub integrallarni matematik adabiyotlarda “bo’laklab integrallash formulasi” deb ataluvchi quyidagi formuladan foydalanib integrallanadi:
∫ 𝓊⁽𝑥⁾𝓋^′(𝑥⁾𝑑𝑥 = 𝓊⁽𝑥⁾𝓋⁽𝑥⁾ − ∫ 𝓋⁽𝑥⁾𝓊^′(𝑥⁾𝑑𝑥
Bu formulani odatda quyidagicha yozishga kelishib olingan:
∫ 𝓊𝑑𝓋 = 𝓊𝓋 − ∫ 𝓋𝑑𝓊
Maple dasturi yordamida berilgan integralni bo’laklab integrallash deganda, yuqorida keltirilgan formulaning o’ng qismini hosil qilishni tushunish kerak. Buni quyidagi funksiya yordamida aniqlaymiz:
>intparts(f,u);
bunda, f – berilgan integralning Int bilan berilgan shakli, u – bo’laklab integrallash formulasidagi 𝓊⁽𝑥⁾ funksiya. Misollar keltiramiz:

• with(student):

• 
  intparts(Int(ln(x),x),ln(x));
  


ln( x ) x  ^1 dx


• value(%);

ln( x ) x  x

• intparts(Int(x^k*ln(x), x), ln(x));

ln( x ) x( k  1 )
_{ x}( k  1 )

• value(%);

k  1
^{ } x ( k  1 ) ^dx
_

ln( x ) x( k  1 )
k  1
_x( k  1 )
^ ( k  1 )²

• intparts(Int(sin(x)*x+sin(x), x), sin(x));






sin( x ) _^{ 1} x²  x ^_  ^cos( x ) ^_ ¹ x²  x ^_ dx

• value(%);

 ₂  _

_{ 2} _

sin( x ) _^{ 1} x²  x _^  ¹ x² sin( x )  sin( x )  x cos( x )  cos( x )  sin( x ) x
_{ 2 } ₂

• intparts(Int(sin(x)*ln(tan(x)),x),ln(tan(x)));


_ _
( 1  tan( x )² ) cos( x )

• value(%);

ln( tan( x ) ) cos( x )  _

tan( x ) ^dx

ln( tan( x )) cos( x)  ln( csc( x )  cot( x ))

• intparts(Int(x*sinh(x),x),x);


x cosh( x )  ^cosh( x ) dx


• value(%);

x cosh( x)  sinh( x)

Maple dasturida funksiyalarning biror nuqtadagi darajali qator ko’rinishidagi yoyilmasini aniqlash uchun

>series(f,shart);
>series(f,shart,n);
>taylor(f,shart,n);
>taylor(f,shart);
buyruqlaridan foydalaniladi. Bularda f – qatorga yoyilayotgan ifoda, shart – x=a ko’rinishida bo’lgan yozuv bo’lib, unda f ifoda x=a nuqta atrofida qatorga yoyiladi, n – qator hadlari sonini bildiruvchi natural son, u shart bo’lmagan parametr. Agar n parametr ishtirok etmasa, qator hadlari soni 6 ga teng bo’ladi.
Agar shart o’rnida o’zgaruvchi kelgan bo’lsa, ifoda o’sha o’zgaruvchining nolga teng qiymati atrofida qatorga yoyiladi.
Agar qatorga yoyilayotgan ifoda ko’phad bo’lsa, uning darajali qatorida qoldiq had ishtirok etmaydi. Qolgan barcha funksiyalarning darajali qatorida qoldiq had 𝐺⁽⁽𝑥 − 𝑎^)𝑛) kabi ko’rinishda bo’ladi. Agar ifodalarning darajali qator yoyilmasini qoldiq hadsiz aniqlamoqchi bo’lsak, convert(…,polynom) funksiyasidan foydalanamiz. Ifodalarning qatorga yoyilmasiga misollar keltiramiz:

>restart;

>series(sin(x),x=Pi);

 ( x  )  ¹ ( x  )³ 
6
1

120
( x  )⁵  O( ( x  )⁶ )

>convert(%,polynom);

>taylor(sin(x),x=Pi);

x    ¹ ( x  )³ 

6

1

120

( x  )⁵

 ( x  )  ¹ ( x  )³ 
6
1

120
( x  )⁵  O( ( x  )⁶ )

>taylor(sin(x)/(1+sin(x)),x=Pi/2,10);

8
1 1 _


1 _2 1 _


1 _4 17 _


1 _6 31 _ 1 _


_{ 
1 }10 _

₂  _{8 } x 
₂  _
 _{48 } x 
₂  _
^ 5760 ^_ ^{x }
₂  _
^ 80640 ^_ ^{x }
₂  _

• 
  O x 
  


₂ ^ _ _