Ma’ruza №12 Vakuumdagi elektr maydoni. Elektr zaryadi va uning saqlanish qonuni

Ostrogradskiy – Gauss teoremasi.
Faraz qilaylik, _ zaryad ixtiyoriy yopiq _ sirt ichida joylashgan bo’lsin (17 - rasm). Elektr induktsiya vektorining ifodasiga ko’ra:


bu yerda _ vektor zaryad joylashgan nuqtadan chiqqan bo’lib, _ radius - vektor bo’ylab yo’naladi. shuning uchun _ normal bilan _ vektor orasidagi fazoviy burchak _ va _ sirtlari orasidagi burchakka tengdir. U vaqtda elementar _ sirtdan chiqayotgan elektr induktsiya oqimi quyidagiga teng bo’ladi:


bu yerda _ – elementar fazoviy burchakka teng bo’lgani uchun





ega bo’lamiz. Agar butun shar sirti bo’yicha integrallasak

Ostrogradskiy - Gauss teoremasining matematik ifodasiga ega bo’lamiz. Yopiq sirtdan chiqayotgan elektr induktsiya oqimi shu sirt ichidagi zaryad miqdoriga teng.

Yopiq sirt ichida _ zaryadlar bo’lsa, elektr induktsiya vektori quyidagiga teng bo’ladi:

Elektr induktsiya oqimi esa,

ya’ni yopiq sirt ichidagi zaryadlarning arifmetik yig’indisiga teng bo’ladi.

Haqiqatda, kuch chiziqlarining oqimi sirt radiusiga bog’liq emas, ikkita sirt orasidagi fazoda, zaryadlar yo’q bo’shliqda uzluksizdir, shu sababli, zaryadni o’rab olgan ixtiyoriy sirtdan o’tadigan elektr induktsiya oqimi (17.22) ifoda bilan aniqlanadi va u Ostrogradskiy - Gauss teoremasining integral ko’rinishi deb hisoblanadi.

Ostrogradskiy - Gauss teoremasini amalda tadbiq etish uchun, quyidagi tushunchalarni kiritamiz:

Zaryadlarning hajmiy zichligi deb, jismning bir birlik xajmiga mos kelgan zaryadga miqdor jihatdan teng bo’lgan fizik kattalikka aytiladi, ya’ni

bu yerda _ jismning _ hajmiga mos kelgan zaryad miqdori.

Zaryadning sirt zichligi deb, jismning bir birlik sirt yuzasiga mos kelgan zaryadga miqdor jihatdan teng fizik kattalikka aytiladi, ya’ni

bu yerda _ jismning _ yuzasiga mos kelgan zaryad miqdori.

Zaryadning chiziqli zichligi deb, jismning uzunlik birligiga mos kelgan zaryadga miqdor jihatdan teng fizik kattalikka aytiladi, ya’ni

bu yerda _ jismning _ uzunligiga mos kelgan zaryad miqdori. Endi quyidagi misollarni ko’rib chiqamiz.

1-misol. Bir tekis zaryadlangan cheksiz tekislik maydoni. Faraz qilaylik, bir tekis zaryadlangan cheksiz tekislik _ sirt zichligiga ega bo’lsin (9 - rasm).

Induktsiya chiziqlari tekislikka perpendikulyar bo’lgan va tashqariga yo’nalgan _ va _ vektorlardan iborat bo’ladi. Bu chiziqlar _ tekislikda boshlanib ikkala tomonga cheksiz davom etadi. Yopiq sirt sifatida har ikkala tomonidan _ asoslari bilan chegaralangan to’g’ri silindr ajratib olamiz. _ va _ sirt asoslari _ va _ nuqtalardagi sirtlarga joylashgan. Silindr ichidagi zaryad _ dan iborat.

Silindr yasovchilari induktsiya chiziqlariga parallel bo’lgani uchun, silindrning yon sirtidan chiquvchi elektr induktsiya oqimi nolga teng. Zaryadlangan tekislik maydonining _ va _ nuqtalaridagi induktsiya vektori _ va _ miqdor jihatdan o’zaro teng va qarama-qarshi yo’nalgan bo’ladi:

Silindrning asoslaridan chiqayotgan induktsiya oqimlari quyidagiga teng:

Umumiy oqim esa,


Ostrogradskiy - Gauss teoremasiga asosan yopiq sirtdan chiqayotgan elektr induktsiya oqimi _, shu yopiq sirt ichidagi zaryad _ ga tengdir:



2-misol. Bir tekis hajmiy zaryadlangan sharning maydoni. Radiusi _ bo’lgan, hajm bo’yicha zaryadlangan sharning hajmiy zichligi _ bo’lsin (10 - rasm). Zaryadlangan sharning tashqi (_) va ichki _ qismlaridagi maydonni hisoblab ko’ramiz.

_ nuqtani olaylik. sharning zaryadi hajmiy zaryad bilan quyidagicha bog’langan


Maydon induktsiyasi va maydon kuchlanganligi quyidagiga teng bo’ladi


_ nuqtaga nisbatan maydon induktsiyasi va kuchlanganligi quyidagiga teng bo’ladi. Ichki sfera zaryadi _ ga teng bo’lsa



Demak, _ ichki yopiq sirtdan chiqayotgan elektr induktsiya oqimi _ quyidagiga teng bo’ladi:

Boshqa tarafdan, Ostrogradskiy - Gauss teoremasiga asosan, bir tekis hajmiy zaryadlangan sharning ichki yopiq sirtidagi maydon kuchlanganligi

ga teng bo’ladi. Agarda shar sirti bir tekis sirt zaryad zichligi bilan zaryadlangan bo’lsa, u holda _, maydon kuchlanganligi ham _ bo’ladi.