Ma’ruza №3. Matematik model va uning real ob’yekti orasidagi muvofiqlik

Ma’ruza №3.
Matematik model va uning real ob’yekti orasidagi muvofiqlik. Matematik modellarning nazariy va amaliy tadqiqoti, ularning adekvatligi.

Ma’lumki, model o`rganilayotgan ob’yektning sodda ko`rinishidir. Model hamma vaqt real ob’yektdan farq qiladi.

Matematik modellashtirish boshqa modellashtirishlarga nisbatan ustunliklarga ega bo`lsada, hech qachon ob’yektni to`la akslantira olmaydi.
Matematik model va uning real ob’yekti orasidagi muvofiqlik deyilganda ob’yekt va uning matematik modeli dinamikalarining sifat va miqdor jihatdan o`xshashligi va yaqinligi tushuniladi.
Agar ob’yekt va uning matematik modelini dinamikalari orasida o`xshashlik, ya’ni muvofiqlik bo`lmasa, bu muvofiqlikni o`rnatishning bir necha usullari mavjud:

1. 
   Matematik modelda ishtirok etayotgan o`zgarmas kattaliklarni qaytadan baholash.
   
2. 
   Matematik modelni yozishda qabul qilingan ishchi gipotezalarni qaytadan ko`rib chiqish.
   
3. 
   Real ob’yekt haqida qo`shimcha ma’lumotlar yig`ish.
   
4. 
   Yangi yig`ilgan ma’lumotlar asosida modelni qaytadan ko`rib chiqish.
   

Matematik model va uning ob’yekti dinamikalari sifat jihatdan o`xshash bo`lsa-yu, miqdor jihatdan farqli bo`lsa, u holda muvofiqlashtirishning 1–usulidan foydalanish lozim. Aks holda muvofiqlashtirishning 2,3,4 usullarining har biridan alohida – alohida foydalanish kerak. Qaysi biridan foydalanish model va uning ob’yekti dinamikalarini farq qilish darajasiga bog`liq.
MMni real ob’yektga muvofiqlashtirishda ko`p hollarda real ob’yektga nisbatan o`tkazilgan tajriba, eksperiment natijalaridan foydalaniladi va bu natijalar bir necha marta solishtiriladi. Bu jarayon matematik model real ob’yektga yetarli darajadagi aniqlikga yaqinlashgunicha davom ettiriladi.
Misol. Qayiq qirg`oqdan biror boshlang`ich tezlik bilan turtib yuborildi. Ushbu qayiqning harakatini matematik modellashtirish vositasida o`rganish zurur (3.1-rasm).

3.1-rasm.
Masalaning kontseptual qo`yilishi.
Boshlang`ich gorizontal tezligi bo`lgan qayiqning og`irlik kuchi, Arximed itaruvchi kuchi va qarshilik kuchlari ta’siridagi harakatini o`rganamiz. Qayiq suzayotganligi uchun (vertikal harakatlanmaydi), Arximed itaruvchi kuchi og`irlik kuchini muvozanatlashtiradi.
Modelni tuzishda quyidagi farazlardan foydalanamiz:

• 
  Tatqiqot ob’yekti bo`lgan qayiq gorizontal tekislikda ilgarilanma harakat qiladi;
  
• 
  Qayiqni massali moddiy nuqta deb qaraymiz, uning joylashgan o`rni massalar markazi bilan ustma ust tushadi;
  
• 
  Qayiqning harakati unga qo`yilgan kuchlar sistemasining ta’siri ostida dinamikaning asosiy qonuni (Nyutonning ikkinchi qonuni) ga bo`ysunadi;
  
• 
  Suvning qarshilik kuchi qayiq tezligiga to`g`ri proportsional va qayiq harakatiga qarama-qarshi yo`nalgan bo`lib, uni tenglik bilan ifodalash mumkin. Bu yerda - proportsionallik koeffitsiyenti (o`zgarmas kattalik), - qayiq tezligi.
  

Qayiq tezligini vaqtning funktsiyasi sifatida topamiz va bu bog`lanishni grafik ko`rinshda tasvirlaymiz.


Masalaning matematik qo`yilishi.
Nyutonning ikkinchi qonuniga ko`ra qayiqning o`qi yo`nalishidagi harakatining tenglamasi

ko`rinishda bo`ladi.
ni topish talab etiladi.
Analitik yechim. O`zgaruvchilarni ajratish usulini qo`llash uchun tenglamani quyidagi ko`rinishga keltiramiz:

<sub>Uni integrallab, boshlang`ich shartni hisobga olib quyidagi yechimga ega bo`lish mumkin:

Bundan yechim uchun quyidagi tenglikni hosil qilish mumkin:</sub>