Ma'ruza 4 Shartli korrekt masala yechimi turg'unligini baholash va taqribiy yechimni oddiy tanlash usuli orqali topish Reja

z =B и (3)
as a e V /

z-Bu
^ л
ko'rinishda olamiz. Bunda a regulyarizatsiya parametrining biror qiymatidan iborat. r_//; ni taqribiy yechim bo'lishini isbotlash maqsadida u bilan aniq yechim z orasidagi farqni (2) shart asosida baholaymiz:
A\K(u_E-u)\\ + \\B_au_E-z\\ =
(4)
= \В_а{и_в - и) I +1 B_aAz - z\\ <\\B_a\\s+ y(z,a) bunda regulyarizatsiya shartiga asosan \im/(z,a) = 0 bo'ladi. (1) operator
a^f 0
tenglama klassik nokorrekt masala bo'lganligi uchun sup\\B_a\\ = со bo'lishi kerak, aks holda limB_a=A~^l bo'lib, (1) tenglamani yechish masalasi korrekt
a->0
quyilgan bo'lib qoladi.
a parametrni shunday o'zgarish qonunini topamizki s —» 0 da
\\B_a\\s + y(z,a)
ifoda nolga intiladi. Xaqiqatdan ham, co{z,s) = \\^{\B_a\s+ y{z,a)} bo'lsin. U
a
holda
lim(z,£) = 0 (5)
a—>0
bo'lishini ko'rsatamiz.
S> 0 istalgancha kichik son bo'lsin. U holda lim^(jc,cc) = 0 dan,
a^f 0
shunday a(S) sonning mavjudligi kelib chiqadiki, a < a(8) bo'lganda y(a,x)<— tengsizlik hosil bo'ladi. Bunda ju(S)= inf IIII belgilash kiritsak,
2 a
s<——— bo'lganda co(x,s) funksiya co(x,s) < S shartni qanoatlantiradi. 2 ju(S)
Oxirgi tenglikdan (5) shartning bajarilishini ko'rish qiyin emas.
Shunday qilib, agar (1) operator tenglama uchun regulyarizatsiyalovchi operatorlar oilasi qurilgan bo'lsa, (1) tenglamaning o'ng tomoni o'rniga uning
taqribiy ifodasiga asosan (3) formula orqali taqribiy yechimni istalgan aniqlikda topish mumkin ekan. Agar s son tayinlangan bo'lsa, regulyarizatsiyalovchi operatorlar oilasining parametri a ni
inf{\B_a\\_£ + r(a,z)}
a
shartdan tanlanishi (4) baholashning optimal bo'lishini ta'minlaydi.
Regulyarizatsiya oilasini qo'llashning effektivligini ta'minlash uchun a parametrni qulay qilib tanlash kerak bo'ladi. Uni qulay tanlash uchun ||5j va
y{a,z) funksiyalarning aniq baholashlarini bilish kerak. ||5j ni baholash ko'pchilik hollarda qiyin kechmaydi, lekin y{a,z) ni baholash uchun berilgan masalaning shartli korrektligini bilishimiz kerak.
Regulyarizatsiya oilasini tuzishga doir misollar keltiramiz. Misol 1. Bunda biz issiqlik tarqalishi tenglamasi uchun qo'yilgan Koshi masalasi regulyarizatsiyasi oilasini quramiz:
d²u
M₍₍=-TT, u(0,t) = u(7T,t) = 0,
дх I¹;
u(x,Q) = f(x\ /(0) = f(n) = 0.
Bizga t e [0,7] bo'lganda (1) masalaning yechimi bo'lgan u(x,t) funksiyani topish talab qilinsin.
f(x) funksiyaning (sin foe] sistemaga nisbatan Fure koeffitsientini f_k bilan belgilaymiz:
1 ⁷¹
f_k= — [sinkxf(x)dx . (2)
7t ^
^л 0
Agar /(jc) funksiya uchun berilgan Koshi masalasi yechimi mavjud bo'lsa, u holda bu yechim

1. 
   

u(x,t) = ^f_ke^k2t sinfoc (3)

2. 
   

ko'rinishda bo'ladi.
Butun parametr n ga bog'lik bo'lgan chiziqli B_a operatorlarni quyidagicha kiritamiz
В_пДх) = ^/_ке^к\тЬ (4)
k=i
Agar f(x) va u(x,t) funksiyalarni L₂ fazo elemetnlari deb qarasak, u holda B_a operatorlar oilasi berilgan Koshi masalasi uchun regulyarizatsiyalovchi oila bo'ladi. Haqiqatan ham, Fure koeffitsientlari - f_k larni aniqlash va uni chekli yig'indisini topish uzluksiz operatorlardan iborat bo'lganligi uchun B_n uzluksiz operator bo'ladi. B_n fix) funksiyaning L₂ fazoda u(x,l) yechimga intilishi (3) dan kelib chiqadi.
Qaralayotgan B_n regulyarizatsiyalovchi operatorlar oilasini berilgan masala taqribiy yechimini topishga qo'llashning effektivligini qaraymiz. Bunda biz berilgan Koshi masalasi shartli korrekt quyilgan deb faraz qilamiz, hamda masalaning korrektlikto'plami M quyidagi
~ ж ~~&2
§u²(x,t)dx < С (5)
_o
shartdan aniqlangan holga to'xtalamiz.
b_n regulyarizatsiyalovchi operatorlarning normalari Ц/iJ = e"'' ekanligini
aniqlash qiyin emas. Shuning uchun, bizga ma'ruza 5 dagi (3) tengsizlikning ikkinchi hadi bo'lgan у ni baholash kifoya. (3), (4) tengliklardan va (7) dan foydalanib quyidagilarni hosil qilamiz
oo
\\BJ{x)-u{xJ)\\= X^Vt (6)
k=n+1
oo
Z^V^C². (7)
k=\
Agar f_k koeffitsientlar
Л=0, agar**л+ 1, f_n+l=e~^{n+lfTC
shartlarni qanoatlantirsa, u holda (6) yig'indi (7) shart bajarilganda maksimal qiymatga erishadi. Shuning uchun, yuqoridagilardan
\\B_nf(_X)-u(_X,t)\\ = e-^²^C
tengsizlikni hosil qilish oson. Bu topilgan tengsizliklarga asosan b_n regulyarizatsiyalovchi operatorlar oilasini qo'llashning effektivligi quyidagi tengsizlik orqali yoziladi
I BJ_E(x) - u(x,t)\\ < e"²'s +
Misol 2. Ma'ruza oxirida matematik analizning differensiallash masalasi uchun regulyarizatsiyalovchi operatorlarni qo'llashni qaraymiz. Bu holda eng sodda regulyarizatsiya operatori hosilani chekli ayirmalar nisbatiga almashtirish natijasida hosil qilinishi mumkin.
/(x) funksiya [a,b] oraliqda berilsin. B_h chiziqli operatorlar oilasini
BJ(x) = j[f(x + h)-f(x)] h
ko'rinishda aniqlaymiz. B_h ning differensiallash masalasining regulyarizatsiyalovchi operatori bo'lishi hosila ta'rifidan kelib chiqadi. 2
\\B_h I = — ekanligi C_{[a b]} fazo normasi ta'rifidan hosil qilinadi.
Shuning uchun, bu regulyarizatsiyalovchi operatorlar qo'lanishining effektivligini aniqlash uchun
B_h fix)-fix)
ayirmaning normasini baholaymiz. Agar biz M sinf uchun |/"(x)| < // shartni
qanoatlantiruvchi funksiyalar to'plamini kiritsak, bunday M to'plam kompakt bo'ladi. O'rta qiymat formulasidan
BJ(x) - f ix) = f(x + e_xh) - f ix) = Г ix + в₂И)в_хк ф<в₁₉в₂< 1)
tenglik hosil bo'ladi. Oxirgi tenglikdan
\\BJ(x)-fXx)\\<_Mh
tengliksizlik kelib chiqadi. Bu tengsizlik regulyarizatsiya operatorini qo'llashning effektivligini aniqlaydi.
Ma'ruzani o'zlashtirishga doir savollar.

1. 
   Taqribiy berilganlarga ko'ra taqribiy yechim nima?
   
2. 
   Regulyarizatsiyalovchi operatorlar oilasi deb nimani tushunamiz?
   
3. 
   Regulyarizatsiya oilasining effektivligi nima?
   

Ma'ruza 6
Birinchi tur operator tenglamalarni regulyarizatsiyalash
Reja

1. 
   Ikkinchi tur operator tenglamali regulyarizatsiya oilasi.
   
2. 
   O'zaro qo'shma operatorli tenglamalarni regulyarizatsiyalash.
   
3. 
   Chiziqli operatorli tenglamalarni regulyarizatsiyalash.
   
4. 
   Opertor tenglamalar uchun ketma- ket yaqinlashish usuli.
   

Tayanch iboralar
O'zaro qo'shma operator. Musbat operator. Chiziqli operator. To'la uzluksiz operator. Teskari operator. Ketma-ket yaqinlashish. Regulyarizatsiya.
Biz yuqorida
Ax = f (1)
operator tenglamalarni klassik nokorrekt ekanligini takidlab o'tdik. (1) da x va / mos ravishda X va F Gilbert fazosi elementlari bo Tib, A -to'la uzluksiz operator bo'lsin.
Biz awal A opertorning o'zaro qo'shma va musbat bo'lgan holiga to'xtalamiz. Bu holda F = X bo'ladi. B_a operatorlar oilasini
B_a=(ccE + A)-\ a> 0
ko'rinishda tanlaymiz va uning (1) tenglamaga nisbatan regulyarizatsiyalovchi operator ekanligini isbotlaymiz.
A operatorning to'liq xos funksiyalari sistemasini {<%} vaungamos
xos qiymatlari sistemasini [A_k] deymiz. U holda ixtiyoriy x e X elementni