Ma'ruza 4 Shartli korrekt masala yechimi turg'unligini baholash va taqribiy yechimni oddiy tanlash usuli orqali topish Reja

о
n n
f\t) = 2 jufdx + 2 J и ■ u_ttdx.
о 0

ж
bundagi J 2/ • u_ttdx ifodaning shaklini o'zgartiramiz
о

0 0 0

Shuning uchun,

(3)

cp\t) = -^-\f\t)f{t)-r\t)


(4)

Bunyakovskiy tengsizligiga asosan


bo'ladi. Shuning uchun, (4) dan
ⁿ(t)>0 kelib chiqadi. Bu cp(l) funksiyaning botiqligi bilan yuqoriga qaraganligini anglatadi. Demak, [0,T] oraliqda
funksiya grafigi M₀(0,^(0)) va M_r{T,(p{T)) nuqtalardan o'tuvchi tug'ri chiziq grafigidan pastda joylashadi. M₀ va M_T nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi
n
f"(t) = 4^ufdx
kelib chiqadi.
In /'(/) deb olib, uni ikki marta differensiallaymiz va (2), (3) tengliklardan foydalanamiz

ko'rinishda bo'ladi. Shuning uchun, cp(t)) tengsizlik o'rinli, ya'ni

)+j(p{T).
Bunda cp(t) = In /(t) ekanligini hisobga olsak

T-t
ln/(0 < ^yV(O) + f(T) f(t) < [ /(0)] г [ f(T)]T (5)

tengsizlikga ega bo'lamiz.
Bizning masalamizda u{x,T) L₂ da chegaralangan bo'lishi kerak edi.
Shuning uchun, eL₂ lar

/I

(6)


ju²j(x,T)dx

va

/I

(V)


J[ Wj^O) - w₂(jc,0)]² dx

shartlarni qanoatlantirsin degan shartdan korektlik sinfi bo'lgan M to'plamni kiritamiz. Bunda s va С o'zgarmas sonlar. (6) va (7) tengsizliklardan (5) ga asosan quyidagini hosil qilamiz

71

l izl <(2C)^Ts ^T

(8)
|[ u^xj) - u₂(x,t)f dx

Shunday qilib, cd(t) funksiya (8) ga asosan
l izl
а)(т) = (2С)^тт ^t ko'rinishda tanlanishi mumkin ekan.
Endi analitik davom ettirish masalasi uchun turg'unlikni baholovchi formula keltiramiz. u(x,y) funksiya y>-H sohada Aw = 0 tenglamaning yechimi bo'lib,
u(x, y) —> 0, agar \x\ —» oo
30

shartni qanoatlantirsin. Xuddi masala (1) dagidek
oo
f(y)= \u\x,y)dx
—oo
fimksiyani qaraymiz. (9) shartdan f(y) —> 0 , agar » oo , f(y) funksiya
y>-H da chegaralangan bo'ladi. f(y) funksiyani ikki marta differen- siallaymiz:
oo
f\y) = 2^u-udx,
—oo

= — f u²dx. dy^{] y}

^ —oo
(9) va (10) tengliklardan
oo
f"(y) = 4\u²_ydx
—oo
kelib chiqadi.

L III
т
Xuddi (1) masalaga о'xshash xulosa yuritsak
_2L У^+н
H
tengsizlik kelib kelib chiqadi. Bundan analitik davom ettirish masalasi yechimi uchun yechimning turg'unligini baholavchi uzluksizlik modulining majorantalaridan biri bo'lgan
ф) = (2С)Цт)
fimksiyani hosil qilamiz.
Shunday qilib, biz issiqlik tarqalish tenglamasi uchun teskari vaqtli Koshi masalasi va analitik davom ettirish masalalari uchun turg'unlikni baholash formulalarini keltirdik.
Demak, shartli korrekt masalaning berilganlari taqribiy bo'lsa, uning istalgan aniqlikdagi taqribiy yechimini topish mumkinligini ko'ramiz.
Ax = f
operator tenglamani qaraylik. Bunda / o'rniga uning taqribiy ifodasi f_i: e F berilgan va
tengsizlik o'rinli.
Shunday i_£el ni topish talab qilinsinki,

Ax_sk-f_s
\x- x_E\
tengsizlik bajarilib, limcc(^) = 0 bo'lsin
Agar bu masala shartli korrekt qo'yilib, M to'plam kompakt bo'lsa, quyilgan shartni qanoanatlantiruvchi taqribiy yechimni topish mumkinligini qaraymiz. Xaqiqatdan ham, M kompakt to'plam bo'lsa, ixtiyoriy s> 0 son uchun unga tegishli chekli s - to'r mavjud. Bu to'r elementlari x_ek (£ = 1,2,3,..bo'lsin.
Bu x_ek lardan shunday x_em elementni tanlaymizki, bu element funksionalga minimum qiymat bersin, ya'ni

AXek-fe

mm
£=1,2,...,и
^sm fs

Izlanayotgan x,. ni x_km deb olamiz. Olingan taqribiy yechim bilan aniq yechimni yaqinligini tekshirish maqsadida - x ning normasini baholaymiz. s - to'rning mavjudligidan jc element uchun shunday x_ep mavjudki,
X — X < £
s p
tengsizlik o'rinli. Shu maqsadda Ax_em-Ax ning normasini baholaymiz

Ax Ax

<\\A\\s

Ах „ ylx

<
ь p

bo'lganligi uchun
\^x_em~^xl^^G)(l^A\\^£) = ^a(^£) tengsizlikni hosil qilamiz. Bunda co{z) A'¹ operatorning M_A dagi uzluksizlik moduli.
Keltirilgan usul bilan taqribiy yechimni topishga oddiy tanlash usuli deymiz. Bu holda taqribiy yechimni topish juda katta hisoblash qiyinchiligiga olib keladi, chunki »0 bo'lganda я—»oo bo'ladi.
Ma'ruzani o'zlashtirish uchun savollar.

1. 
   Turg'unlikni baholash deganda nimani tushunamiz?
   
2. 
   Turg'unlikni baholash majorantasi nima?
   
3. 
   Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun teskari vaqtli Koshi masalasi yechimi turg'unligi baholash formulasi qanday ko'rinishga ega?
   
4. 
   Analitik davom ettirish masalasi yechimining turg'unligini baholash formulasi qanday ko'rinishga ega?
   
5. 
   Taqribiy yechim deb nimani tushunamiz?
   
6. 
   Oddiy tanlash usuli nimadan iborat?
   
7. 
   Oddiy tanlash usulida qanday qiyinchiliklar mavjud?
   

Ma'ruza 5
Shartli korrekt masalalar uchun regulyarizatsiya usuli
Reja

1. 
   Shartli korrekt masala taqribiy yechimi.
   
2. 
   Shartli korrekt masala taqribiy yechimini topishda regulyarizatsiya usuli.
   
3. 
   Regulyarizatsiya usulining effektivligini baholash.
   
4. 
   Teskari vaqtli issiqlik tarqalish tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimining regulyarizatsiya oilasini qurish.
   
5. 
   Analitik davom ettirish masalasi uchun regulyarizatsiya oilasini qurish.
   

Tayanch iboralar
Shartli korrekt masala. Regulyarizatsiya oilasi. Effektivlikni baholash. Operator normasi. Klassik korrektlik. Lagranj usuli.

Biz yuqorida nokorrekt masala shartli korrekt qo'yilgan bo'lsa, oddiy tanlash usuli bilan uning taqribiy yechimini ixtiyoriy aniqlikda topishimiz mumkinligini ko'rdik. Ammo bu usul bo'yicha yechimni topish katta hisoblashlarga olib keladi. Shuning uchun, biz shartli korrekt masalalarni yechishning ancha qulay usullaridan foydalanamiz. Bu usullardan biri regulyarizatsiya usuli bo'lib, u quyidagicha kiritiladi. Bizga klassik ma'noda korrekt bo'lmagan masala berilgan bo'lsin.
Ta'rif. Biror a parametrga bog'liq bo'lgan masalalar oilasi berilgan masalaga nisbatan regulyarizatsiyalovchi masalalar oilasi deyiladi, agar

1. 
   ixtiyoriy a > 0 da oila masalasi klassik korrekt qo'yilgan,
   
2. 
   agar berilganlar uchun nokorrekt masala yechimi mavjud bo'lsa, a—>() bo'lganda oila masalasining yechimi nokorrekt masala yechimiga intilsa.
   

Bunda a parametrga regulyarizatsiya parametri deb aytamiz. Ba'zi hollarda regulyarizatsiya parametri butun n son bo'lib, bu holda a—>() bo'lish sharti n —» oo bilan almashtiriladi.
Regulyarizatsiyalovchi oila tushunchasini birinchi tur operator tengla- malarga tadbiq etamiz.
Quyidagi 1- tur operator tenglama berilgan bo'lsin
Az = u, и eU, z eZ . (1)
a parametrga bog'liq bo'lgan B_a chiziqli operatorlar oilasi U ni Z ga akslasin.
B_a operatorlar oilasi (1) tenglama uchun regulyarizatsiyalovchi oila deyiladi, agar
\) a>0 da B_a operatoruzluksiz,
2)hamma ме[/ lar uchun limB_aAu = u bo'lsa. Bunda yaqinlashish kuchli
a-^f 0
yaqinlashish ma'nosida tushuniladi.
(1) tenglama uchun B_a regulyarizatsiyalovchi oila tuzilgan bo'lsa, tenglamaning taqribiy berilganlariga ko'ra uning taqribiy yechimini topish mumkinligini qaraymiz.
(1) tenglamaning o'ng tomoni bo'lgan и funksiya s aniqlikda topilgan
bo'lsin, ya'ni и o'rniga u_e berilgan bo'lib,
tengsizlik o'rinli. (1) tenglamaning taqribiy yechimini