Ma’ruza №6 Mavzu: Barqaror elektr va magnit maydoni (3- qism)

B.Yavidov ma’ruzalari 

6-1 

 

Ma’ruza № 6 

 

Mavzu: Barqaror elektr va magnit maydoni (3- qism) 

 

Auditoriya ishlari: 

 

Reja:  

1.  Toklarning hosil qilgan maynit maydoni. 

2.  Vektor potentsial. 

3.  Cehklangan toklar tizimi hosil qilgan magnit maydoni (Magnit multipol yoyish). 

 

Mustaqil ta’lim topshiriqlari: 

 

1.  O`zgarmas tok hosil qilgan magnit maydoni energiyasi.   

2.  O`zgarmas elektr toki. 

 

1.  1. Toklarning hosil qilgan maynit maydoni. 2. Vektor potentsial. 

 

 

O`tgan mashg`ulotlarimizda biz elektrostatika masalalarini qarab, ularni muhokama qilgan edik. Endi 

bugun magnitostatika masalalarini qarashni boshlaymiz.Magnitostatika masalalarini o`rganishda biz 

uchun dastlabki tenglamalar M- tizim tenglamalari bo`lib hisoblanadi. 

 

M-tizim: 

 

4

rot H

j

c

π

=

,     (6.1) 

div 0

B

=

, 

 

 

 

 

 

(6.2) 

4

B

H

M

π

=

+

, 

    (6.3) 

 

Bu yerda 

 va 

B

H

−

− mos ravishda magnit maydonining induktsiya va kuchlanganliklari,  j - 

o`tgazuvchanlik toki zichligi,  M - moddaning qutblanishi vektori. Bir jinsli, izotrpo va ferromagnit 

bo`lmagan muhitlar uchun (6.3) munosabat soda ko`rinishga keladi: 

 

B

H

μ

=

. 

 

 

 

 

 

(6.4) 

 

(6.4) formuladagi 

μ

- moddaning magnit singdiruvchanligi. Yuqoridagi formulalar yordamida  

1) toklar zichligi  j  berilganda; 

2) doimiy magnitlar mavjudligida; 

3) kuchlanganligi 

0

H  bo`lgan tashqi magnit maydoni mavjudligida; 

4) o`tao`tkazgichlar mavjudligida (to`liq toklar berilgan bo`lsa) 

magnit maydoni induktsiyasi  B  ni hisoblash mumkin. 

Keling oldiniga vakuumda berilgan toklar hosil qilgan magnit maydoni induktsiyasini topamiz. 

Buning uchun  

B.Yavidov ma’ruzalari 

6-2 

 

4

rot 

div 0

B

j

c

B

π

⎧

=

⎪

⎨

⎪

=

⎩

, 

     (6.5) 

 

tenglamalar tizimini yechishimiz lozim. Tok zichligi 

j

 qanday tenglamaga bo`ysinishini aniqlash 

uchun (6.5) tenglamalar tizimining birinchi tenglamasining ikkala tomonidan divergentsiya olamiz: 

 

(

)

4

div rot div 

B

j

c

π

=

 

 

 

 

 

 

(6.6) 

 

Vektor tahlil kursidan ixtiyoriy 

a

 uchun 

(

)

div rot 0

a

=

 munosabat o`rinli bo`lganligidan, tok zichligi 

vektori qanoatlantiruvchi  

 

div 0

j

=

 

 

 

 

 

 

(6.7) 

 

tenglamani qo`lga kiritamiz. Tenglamalar tizimining ikkinchi tenglamasi 

div 0

B

=

 har doim bajarilishi 

uchun  

 

rot 

B

A

=

 

 

 

 

 

 

(6.8) 

 

bo`lishi shart! 

A

 miqdor vektor-potentsial deb ataladi. (6.8) ni (6.5) tenglamalar tizimining birinchi 

tenglamasiga qo`yamiz 

 

(

)

4

rot rot A

j

c

π

=

.   

 

 

 

 

(6.9) 

 

Vektor tahlil kursidan ixtiyoriy 

a

 uchun o`rinli bo`lgan 

 

(

)

 =grad 

(div )

rot rot 

a

a

a

Δ

−

. 

 

 

 

 

 

(6.10) 

 

Munosabatdan foydalanib, (6.9) formulani 

 

(

)

4

div 

A

A

j

c

π

Δ − ∇

= −

 

 

 

 

 

 

(6.11) 

 

deb yozamiz. Berilgan magnit maydoni induktsiyasi 

B

 uchun (6.8) formuladan cheksiz ko`p vektor-

potentsiallar 

A

 ni topish mumkin. Yani 

A

 ning aniqlanishi bir qiymatli emas! Rostdan ham ixtiyoriy 

skalayr funktsiya 

ψ

 uchun  

 

(

)

rot grad 0

ψ

=

 

 

 

 

 

 

(6.12) 

 

B.Yavidov ma’ruzalari 

6-3 

 

munosabat o`rinli bo`lganligidan, 

A

 vektor-potentsial o`rniga, undan biror skalyar funktsiya 

ψ

 

gradientiga farq qiladigan boshqa bir  

 

grad 

A

A

ψ

′ = +

 yani 

 

A

A

ψ

′ = + ∇

   

 

 

(6.13) 

 

vektor-potentsialni olish mumkin. Vektor-potentsialning (6.13) formula bo`yicha almashtirilishi 

gradient almashtirish yoki kalibrli (darjali) almashtirish deb ataladi. (6.13) ni har doim 

 

div 0

A′

=

 

 

 

 

 

 

 

(6.14) 

 

tanlanishi shart bajariladigan qilib tanlash mumkin. Buning uchun skalyar funktsiya 

ψ

 ni 

 

div 

A

ψ

Δ = −

  

 

 

 

 

 

(6.15) 

 

tenglamani qanoatlantiradigan qilib tanlashimis lozim. U holda, doimo 

div 0

A

=

 deb qabul qilishimiz 

va vektor-potentsialni 

 

4

div 0

A

j

c

A

π

⎧Δ = −

⎪

⎨

⎪

=

⎩

 

 

 

 

 

 

(6.16) 

 

tenglamalar tizimi yechimi sifatida topishimiz mumkin. Yani vektor-potentsial Puasson tenglamasini 

qanoatlantirar ekan. Shu Puasson tenglamasini yechib, yechimlar ichidan 

div 0

A

=

 shartni 

qanoatlantiradiganini olishimiz darkor. Puasson tenglamasining yechimi 

 

3

1

( )

( )

d

|

|

j r

A r

r

c

r

r

′

′

=

′

−

∫

 

 

 

 

 

(6.17) 

 

ko`rinishda yoziladi. (6.17) formula bilan topilgan vektor-potentsial 

A

 

div 0

A

=

 shartni 

qanoatlantiradi.  

 

Uyga topshiriq: (6.17) formula bilan topilgan vektor-potentsial 

A

 

div 0

A

=

 shartni qanoatlantirishini 

tekshiring.  

 

 

 

(6.17) yechimga 

0

0

A

Δ =

 Laplas tenglamasini va 

div 0

A

=

 shartni qanoatlantiruvchi boshqa yechimni 

qo`shish mumkin. Agar toklar tizimi fazoda cheklangan bo`lsa va cheksizlikda nolga intiladiga 

yechimlar talab qilingan bo`lsa,  

0

0

A

=

 bo`ladi! Chunki vektor-potentsial garmonik funktsiya 

hisoblanadi va maksimum qoidasiga ko`ra 

 

0

lim

0

r

A

→∞

=

 

B.Yavidov ma’ruzalari 

6-4 

 

 

bo`lishi uchun 

0

0

A

=

 bo`lishi shart! 

 

(6.17) formulaga rotor amaliyotini qo`llab magnit maydoni induktsiyasini topamiz: 

 

3

3

1

( )

1

1

rot ( )

rot 

d

( ) d

|

|

|

|

j r

B

A r

r

j r

r

c

r

r

c

r

r

′

⎛

⎞

⎡

⎤

′

′

′

=

=

=

∇

⎜

⎟

⎢

⎥

′

′

−

−

⎣

⎦

⎝

⎠

∫

∫

.  

(6.18) 

 

(6.18) dan Bio-Savar-Laplas formulasini qo`lga kiritamiz: 

 

3

3

( ) (

)

1

d

|

|

j r

r

r

B

r

c

r

r

′

′

⎡

⎤

× −

⎣

⎦

′

=

′

−

∫

. 

    (6.19) 

 

Demak, (6.5) va (6.19) tenglamalari o`zaro ekvivalent ekanligi ko`rsatildi. Agar muhitda magnit 

maydoni o`rganilayotgan bo`lsa, 

B

 o`rniga 

H

 qo`yilishi, 

j

 esa muhitning magnit singdiruvchanligi 

μ  

ga ko`paytirilishi kerak. 

 

 

3.  Cehklangan toklar tizimi hosil qilgan magnit maydoni (Magnit multipol yoyish). 

 

 

a radiusli sferaning hajmi V bo`lib, uning ichida toklarning taqsimoti 

j

bilan berilgan bo`lsin. Bu 

toklarning hosil qilgan magnit maydoni vektor-potentsiali  

 

3

1

( )

( )

d

|

|

j r

A r

r

c

r

r

′

′

=

′

−

∫

 

 

bilan aniqlanadi. Vektor-potentsial ifodasiga kiradigan  

1

|

|

r

r′

−

 

ni 

r

a

r′

> >

 da to`g`ri bo`ladigan Teylor qatoriga yoyamiz  

( )

0

1

( 1)

1

|

|

!

l

l

l

r

r

r

l

r

∞

=

−

′

=

∇

′

−

∑

. 

 

va uni (6.17) ga qoyib vektor-potentsial uchun 

 

( )

1

1

0

0

( 1)

1

( 1)

1

( )

!

!

l

l

l

l

l

i

i

i

i

l

l

V

A r

j r

dV

M

cl

r

l

r

∞

∞

=

=

′

−

−

′ ′

′

=

∇

=

∂

∂

∑

∑

∫

…

…

.  

(6.20) 

 

ni olamiz. (6.20) ifodaga 

1

l

i

i

M

…

 tenzor kiritilgan bo`lib, u 2

l 

– tartibli (pol) magnit momentni tavsiflaydi 

va  

 

B.Yavidov ma’ruzalari 

6-5 

 

1

1

1

l

l

i

i

i

i

V

M

x

x j dV

c

′

′

′ ′ ′

=

∫

…

…

. 

   (6.20) 

 

formula bilan aniqlanadi. 

1

l

i

i

M

…

 tenzorning har bir komponenti vektordan iborat.  Eng kichik tartibli 

multipol moment 

 

1

( 0)

0.

V

M

M

jdV

=

=

=

∫

   

 

 

 

(6.21) 

 

Multipol yoyishning birinchi tartibli hadi 

 

( )

1

1

1

1

1

[[

]

]

2

V

V

A

j r

dV

r

j

dV

c

r

c

r

′

′

′ ′

′

′

′

′

= −

∇

= −

×

× ∇

∫

∫

  

(6.22) 

 

ko`rinishga ega. (6.20) ifodani  

 

1

[

]

2

V

m

r

j dV

c

=

×

∫

   

 

 

 

(6.23) 

 

formula bilan aniqlanadigan va toklar tizimining magnit moment deb ataluvchi kattalikni kiritib, 

 

1

3

[

]

m r

A

r

×

=

 

 

 

 

 

 

(6.24) 

 

shaklda yozish mumkin. 

0

r

>

 da bajariladigan 

 

3

3

[

]

(

)

rot 

m r

m r

r

r

×

⋅

= −∇

   

 

 

 

(6.25) 

 

ayniyatdan foydalanib va elektrostatika analogiyasidek (6.24) ni 

m

 magnit momentiga ega magnit 

dipolini tavsiflovchi magnit skalyar potentsiali gradient sifatida yozish mumkin: 

 

1

3

(

)

m r

B

r

ψ

⋅

= −∇

= −∇

. 

    (6.26) 

 

Bu yerda 

1

ψ

 magnit skalyar potentsiali 

 

B.Yavidov ma’ruzalari 

6-6 

 

1

3

(

)

m r

r

ψ

⋅

=

. 

 

 

 

 

 

(6.27) 

 

Misol tariqasida biror kontur 

Γ

 boyicha o`tayotgan cheklangan chiziqli toklar I tizimini qaraylik. 

Chiziqli toklar uchun  

jdV

Idl

=

 

 

 

 

 

 

(6.28) 

 

uchun (6.17) formulaga muvofiq vektor-potentsial 

 

|

|

I

dl

A

c

r

r

Γ

′

=

′

−

∫

  

 

 

 

 

(6.29) 

 

 

ba binoan topiladi. Stoks teoremasini qo`llab (6.29) ni 

Γ

 konturga tortilgan S sirt orqali oqim orqali 

ifodalashimiz mumkin: 

  

3

[

(

)]

[

]

|

|

|

|

S

S

I

ds

I

n

r

r

A

n

ds

c

r

r

c

r

r

′

′

′

× −

′

′

′

=

× ∇

=

′

′

−

−

∫

∫

.  

 

(6.30) 

(6.30) ni elementar magnit momenti 

 

1

dm

In ds

c

′

′ ′

=

   

 

 

 

 

(6.31) 

 

ni kiritib, magnit juft-qatlamning vektor-potentsiali shaklida tasvirlash mumkin: 

 

3

[

(

)]

|

|

S

dm

r

r

A

r

r

′

′

× −

=

′

−

∫

 

 

 

 

 

(6.32) 

 

Agar biz (6.30) ga mos keladigan skalyar magnit potentsialini kiritadigan bo`lsak, u magnit juft-

qatlamning vektor-potentsiali formulasiga o’xshash bo`ladi: 

 

3

(

(

))

|

|

S

dm

r

r

I

r

r

c

ψ

′

′

⋅ −

=

= Ω

′

−

∫

. 

    (6.33) 

 

Bu yerda 

Ω

 – qaralayotgan nuqtadan 

Γ

 konturning ko`rinish fazoviy burchagi.