Ma’ruza №7 qattiq jismlarning deformatsiyalanishi

Garmonik otsilyator. 

 

Tebranishlarning  juda  keng  sinfi  uchun  umumiy  bo’lgan  bu  xossani  birinchi  bo’lib  G.  Galiley 

1593 yilda aniqlagan. Izoxronlik yoki boshqacha aytganda, mayatnik tebranishlar davrining doimiyligi 

qonuni  keyinchalik  XVII  asrda  niderland  olimi  X.  Gyugensga  soatlarda  mayatnik  qo’llashga  imkon 

berdi. 

Quyidagi  tenglama  bilan  tasvirlanadigan  sistemaga  garmonik  otsilyator  (yoki  garmonik 

tebratgich) deb ataladi: 

 

 

 

   

 

 

                                                                               

 

bu yerda 

 

 

 

  o’zgarmas musbat kattalik. Biz (9.12) tenglamaning qanday yechilishini bilamiz, uning 

yechimi quyidagi ko’rinishga ega: 

 

          

 

                                                                         

 

Demak, garmonik  otsilyator muvozanat  holati atrofida garmonik tebranuvchi sistemadan iborat  ekan. 

Garmonik  tebranishlar  uchun  yuqorida  olingan  barcha  natijalar  shubhasiz  garmonik  otsilyator  uchun 

o’rinlidir. Qo’shimcha yana ikkita masalani kuzataylik. 

Garmonik otsilyatorning impulsini topaylik. (9.13) tenglamani vaqy bo’yicha differensiyallab va 

olingan natijani otsilyatorning massasi 

  ga ko’paytirsak 

 

               

 

      

 

                                                              

 

ega  bo’lamiz.  Muvozanat  holatidan 

   og’ishi  bilan  xarakterlanadigan  har  bir  holatda  otsilyator 

impulsning bazi  bir 

  qiymatiga ega bo’ladi.   ni   funksiyasi sifatida topish uchun (9.13) va (9.14) 

tenglamalardan 

  vaqtni chiqaramiz. Buning uchun tenglamani quyidagi ko’rinishga olib kelamiz: 

 

 

 

     

 

 

 

     

 

  

---

 

 

   

 

       

 

 

 

     

 

  

 

Ushbu tenglamalarni kvadratga ko’tarib va qo’shib 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                         

 

4,  a  –  rasmda  garmonik  otsilyator  impulsi 

   ning     og’ishiga  bog’liqligi  ko’rsatilgan.  Koordinata 

tekisligi 

  va   larni  fazoviy tekislik deb  atab, mos grafikni bo’lsa fazoviy  traektoriya deb ataymiz. 

(9.15) ga binoan garmonik otsilyatorning fazoviy traektoriyasi 

  va 

   

 

  yarim  o’qga  ega  ellipsdan  iborat  bo’lar  ekan.  Fazoviy 

traektoriyaning  har  bir  nuqtasi 

   og’ish  va     impuls  bilan 

tasvirlanadi, ya’ni bazi bir vaqt mobaynidagi otsilyatorning holati. 

Vaqt  o’tishi  bilan  holatni  tasvirlovchi  nuqta  fazoviy  traektoriya 

bo’ylab  siljiydi  va  bir  tebranish  davri  mobaynida  to’liq  bir  marta 

aylanadi.  Siljish  soat  strelkasi  bo’yicha  sodir  bo’ladi.  Shunday 

   

vaqt  momentini  olaylik, 

 

 

 

 

           (   –  butun  son).  Ushbu 

vaqt  momentiga 

       va         mos  keladi  (4,  a  –  rasmdagi  1 

nuqtaga  qarang).  Vaqtning  keying  momentida 

   kamayadi,    

bo’lsa  moduli  bo’yicha  manfiy  qiymatga  oshadi.  Demak, 

tasvirlangan nuqta soat strelkasi bo’ylab harakatlanar ekan. 

Ellipsning yuzini topaylik. Ma’lumki u ellipsning yarim o’qlarining ko’paytmasiga tengdir: 

 

         

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

 

 

  

 

Bu  yerda 

   

 

 

 

 

     otsilyatorning  to’liq  energiyasidir.      

 

     

 

,  otsilyatorning  xususiy 

chastotasi. Shunday qilib, ellipsning yuzi quyidagiga teng bo’ladi: 

 

   

 

 

 

    

bundan  

     

 

                                                                                

 

Demak,  garmonik  otsilyatorning  to’liq  energiyasi  ellipsning  yuziga  proporsional  ekan. 

Proporsionallik koeffitsienti otsilyatorning xususiy chastotasidir. 

Ellipsning yuzi integral ko’rinishida quyidagicha hisoblanadi: 

 

     

 

        

 

So’ngi ifoda kvant mexanikasining asosini yaratishda asosiy vazifani bajaradi.