Ma’ruza Kompleks o’zgaruvchili funksiya, ularning aniqlanish sohasi. Kompleks o’zgaruvchili funksiya limiti va uzluksizligi. Kompleks o’zgaruvchili

Asosiy elementar funksiyalar

1. Darajali funksiya:

1. 
   - natural son bo’lsa,
   
2. 
   - kasr son bo’lsa
   

- ta ildizga ega.
2. Кo’rsatkichli funksiya:
Biz bo’lgan hol bilan ko’proq ish ko’ramiz, ya’ni bundan:

1. 
   ,
   

ya’ni funksiya sof mavhum davrli. Bu haqiqiy sonlar nazariyasidagi ko’rsatkichli funksiyadan farqli demakdir.
2) ;

3. 
   ;
   
4. 
   mos bo’ladi.
   

3. Logarifmik funksiya:

Logarifmik funksiya deb, ko’rsatkichli funksiyaga teskari bo’lgan ushbu ko’rinishdagi funksiyaga aytiladi. Agar bo’lsa, bo’ladi.

bunda - logarifmik funksiyaning bosh qismi deyiladi. Bulardan ko’rinadiki, kompleks o’zgaruvchining logarifmik funksiyasi ko’p qiymatli ekan. Кompleks o’zgaruvchining logarifmik funksiyasi ham haqiqiy o’zgaruvchining logarifmik funksiyasining ko’pgina xossalariga bo’ysunadi.
Masalan: 1) 3)
2) 4)
6-misol. ning logarifmini toping.
Yechish:

4. Кompleks o’zgaruvchilarning trigonometrik funksiyalari

Ushbu va Eyler formulalari berilgan bo’lsin. Bu formulalarni hadlab qo’shib va ayirib, quyidagi funksiyaning trigonometrik funksiyalarini aniqlaymiz.
, ;
; Кompleks o’zgaruvchilarning trigonometrik funksiyalari ham haqiqiy o’zgaruvchili funksiyalarning ko’pgina xossalariga bo’ysunadi. Bunda faqat kompleks son cosz va sinz funksiyalarining modullari birdan katta ham bo’lishi mumkin.
Masalan:

5. Teskari trigonometrik funksiyalar
Agar trigonometrik funksiya berilgan bo’lsa, - o’zgaruvchi unga teskari funksiya bo’lib, u ning arksinusi deyiladi va bunday yoziladi . Xuddi shuningdek, .

1. 
   
   

desak, unda


(6)

Xuddi shuningdek,
(7)
(8)
(9)
Teskari trigonometrik funksiyalar - ga bog’liq bo’lganligi uchun ular ham ko’p qiymatli funksiyalardir.
7-misol. ning barcha qiymatlarini toping.
Yechish:
kasrning maxrajini komplekslikdan ozod qilib, uning moduli va argumentini topaylik




U holda