Ma’ruza. Ortogonal to‘ldiruvchi va ortogonal proeksiyalar

Teorema. Agar V fazo ℱ maydon ustidagi vektor fazo bo’lsa, u holda End V algebra ℱ maydon ustida chiziqli algebra tashkil qiladi.
Isboti. EndV algebra chiziqli algebra shartlarini to’liq bajaradi.
Haqiqatan,

1. 
   ω _λ λ  F,  > algebra ℱ maydon ustida vektor fazo tashkil qiladi;
   
2. 
   (ϕ  ψ )λ  ϕλ  ψλ;
   

3. 
   χ (ϕ ψ )  χϕ  χψ ;
   
4. 
   λ(ϕψ )  (λϕ )ψ  ϕ (λψ ), ϕ,ψ , χ 
   

Hom (V,V), va

λ  F .

Ta’rif. U va
U' algebralar ℱ maydon ustidagi chiziqli algebralar va

φ:U U'
1.
2.
3.
akslantirish biektiv akslantirish bo’lib, quyidagi shartlar bajarilsa:


ϕ (a  b )  ϕ (a )  ϕ (b );
ϕ (λa )  λϕ(a );


ϕ (a  b )  ϕ (a ) ϕ (b ), a , b V  λ  F

u holda φ akslantirishga izomorfizm U va U' chiziqli algebralarga esa izomorf

chiziqli algebralar deyiladi va u U  U'
ko’rinishda belgilanadi.

Misol. S = < C, +,
{ω_λ
λ  R},  > - chiziqli algebra,

^_ a  b _ ^_

G  __{b a} a, b  R_ ;
G  G, ,{ω_λ
λ  R},  
- chiziqli algebra bilan izomorf,

_{ } _

 ^{a  b}

ya’ni S  G bo’ladi (bunda
ϕ : a  bi  ^
_b
 ).
a _

Agar ℱ maydon ustidagi matritsalar algebrasini
М (n, F )  F ^nxn , ,{ω _λ λ  F},   ko’rinishda belgilasak, u holda quyidagi teorema o’rinli bo’ladi:

Teorema. V fazo ℱ maydon ustidagi vektor fazo bo’lib,
е₁, е₂ ,..., е_n

uning bazisi, M(φ) matritsa V vektor fazoda aniqlangan φ chiziqli operatorning

е₁, е₂ ,..., е_n
bazisga nisbatan matritsasi va
ϕ  М (ϕ )
akslantirish mavjud bo’lsa,

u holda End V  M(n, ℱ) munosabat o’rinli bo’ladi.
Isboti. Bizga ma’lumki, End V  M(n, F) akslantirish biektiv akslantirish
bo’ladi.
1. M (ϕ ψ )  M (ϕ )  M (ψ ).

Isboti.
x V
ϕ (x)  α₁e₁ ...  α_n e_n ,
ψ (x)  β₁e₁ ... β_ne_n

(ϕ  ψ )(x)  ϕ (x) ψ ( x)  (α₁  β₁ )e₁ ... (α_n  β_n )e_n




^{α1  β1} 

^α 

1
 
 ^β 

1
 



α

β
M ((ϕ  ψ )(x)  _    _  _ _  _ _  M (ϕ (x))  M (ψ (x))  M ((ϕ ψ )(x))  M (ϕ(x ))  M (ψ (x))

α

• 
  β
  

 
 ^{n n} 
 
 ⁿ 
 
 ⁿ 

M (ϕ ψ )M (x)  [M (ϕ )  M (ψ )] M (x). M (ϕ ψ )  M (ϕ )  M (ψ ).

2. M (λϕ)  λM (ϕ ).

Isboti. ( (λϕ)(x)  λα₁e₁ ... λα_ne_n ,

1
 ^λα 
 

^α 

1
 

α
M ((λϕ )(x))  _  _  λ_ _  λM (ϕ (x)) ,



n


 _λα 
 
 ⁿ 

M (λϕ)M (x)  (λM (ϕ )) M (x). M (λϕ )  λM (ϕ ) .


3. M()  M()M() (,   Hom(V, V),   F

Isboti.
M ((ϕψ )(x))  M (ϕ (ψ (x)))  M (ϕ )
M (ψ (x))  M (ϕ ) M (ψ )
M (x).`

M (ϕψ ) M (x)  [M (ϕ )M (ψ )] M (x)  M (ϕψ )  M (ϕ )M (ψ )
Demak, ta’rifga asosan End V  M(n, F) bo’ladi.

Takrorlash uchun savollar:

1. 
   Chiziqli operatorlar algebrasi deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Matritsalar algebrasi deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Algebralar izomorfizmi haqida teoramani bayon qiling.
   

15-ma’ruza. Xos vektorlar va xos qiymatlar. Xarakteristik tenglama.

Reja:

1. 
   Xos qiymatlar.
   
2. 
   Xos vektorlar.
   
3. 
   Xarakteristik tenglama.
   
4. 
   Xarakteristik ko’phad.
   
5. 
   Xarakteristik ko’phadning yagonaligi.
   

Adabiyotlar:

1. 
   Nazarov R.N., Toshpo’latov B.T., Do’sumbetov A.D. Algebra va sonlar nazariyasi. I qism. T.: O’qituvchi. 1993 y. (263-266 betlar).
   
2. 
   Kulikov L.Ya. Algebra i teoriya chisel. M.: Vissh. shk. 1979 g. (str. 307- 309).
   

Kompleks sonlar maydoni ustida qurilgan V_n vektor fazo va φ:V_n

 V_n chiziqli operator berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Ushbu

ϕ (х)  λх(x V_n ,
x  0, λ  F )
(1)

tenglikni qanoatlantiruvchi α songa φ chiziqli operatorning xos qiymati, х
vektor esa λ xos qiymatga mos keluvchi xos vektori deyiladi.
Teorema. Kompleks sonlar maydoni ustida qurilgan V_n vektor fazoning har bir φ chiziqli operatori kamida bitta xos vektorga ega.
Isboti. V_n vektor fazoning

е₁ , е₂ , ..., е_n
(2)

bazisi berilgan bo’lib,
х V_n
vektorning bu bazisdagi koordinatasi
α₁ ,α ₂ ,...α _n

bo’lsin, ya’ni
x  α₁e₁ ,... α_ne_n
tenglik o’rinli bo’lsin.
ϕ (e₁ ),ϕ (e₂ ),...,ϕ (e_n )

vektorlar (2) bazis orqali chiziqli ifodalanadi, ya’ni
^{ϕ (e1 )  a11e1  a21e2 ... an1en ,}





2
^ϕ (e )  a e  a e ... a e ,
12 1 22 2 n2 n

(3)

bo’ladi.
^                 
_^ϕ (e_n )  a_1n e₁  a_2ne₂ ... a_nne_n


^{ a}11
^{a12 ... a1n} 


_{A } ^{ a}21
a₂₂ ... a_{2n  ,}

^       ^


 ^an1
^an 2

... a


nn 

matritsa φ chiziqli operatorning (2) bazisdagi matritsasi. Endi φ( х ) vektorning

2. 
   bazisdagi koordinatalarini aniqlaymiz.
   

ϕ (х)  α₁ϕ (е₁ )  α ₂ϕ (е₂ ) ... α_nϕ (е_n )  α₁ (a₁₁e₁ ... a_n1e_n )  ...  α_n (a_1ne₁ ... a_nne_n ) 

 (₁a₁₁  ...  _n a_1n )e₁  ...  (₁a_n1  ...  _n a_nn )e_n .

1. 
   va (4) ga asosan
   

(4)

λх  (λα₁ )е₁  ...  (λα_n )e_n  (α₁a₁₁  ...  α_n a_1n )e₁  ...  (α₁a_n1  ...  α_n a_nn )e_n ,


_a₁₁₁  ...  a_1n _n  ₁,

a
^ 21^1
 ...  a_{2 n n}
  ,





2
^             

_a




n1 1
 ...  a




nn n
  ,

n


^{(a11  λ )α1  ...  a1nαn  0,}

a
^ 21^α1
 (a₂₂

• 
  λ)α ₂
  

 ...  a
2n^α n
 0,
(5)


^                   
_^a_n1α₁  a_n2α ₂  ...  (a_nn  λ)α_n  0
kelib chiqadi.

(5) sistema
α₁ ,α ₂ ,...α _n
noma’lumli bir jinsli chiziqli tenglamalar

sistemasi. Bu sistema nolmas echimga ega bo’lishi uchun sistema determinanti nolga teng bo’lishi kerak, ya’ni

(a₁₁  λ)
^a12
...
^a1n
^a11
^a12
...
^a1n
1 0 ... 0

^a21
(a₂₂  λ)
...
^a2n
 0,
^a21
^a22
...
^a2n
_{ λ} 0 1 ... 0 _{ 0}

         
       
    

^an1
^an2
... (a_nn  λ)
^an1
^an2
...
^ann
0 0 ... 1

A  λE  0 (6)
hosil bo’ladi. (6) ga φ chiziqli operatorning xarakteristik tenglamasi deb yuritiladi. (6) ning chap qismidagi determinant λ ga nisbatan n-darajali ko’phadni bildiradi. Bu ko’phadga φ chiziqli operatorning xarakteristik ko’phadi deb yuritiladi. Bizga ma’lumki, n-darajali ko’phad kompleks sonlar

maydoni ustida n ta ildizga ega bo’ladi. Bu ildizlar
λ₁ , λ₂ ,
...λ_n
bo’lib, ular φ

chiziqli operatorning xos qiymatlari bo’ladi. □ar bir xos sonlarni (5) sistemaga qo’yib, uning nolmas echimlaridan tuzilgan vektorlar xos sonlarga mos xos vektorlar bo’ladi.

Agar
( А  λ_i E)
matritsaning rangi
r_i bo’lsa, φ chiziqli operatorning har

biri
λ_i xos songa mos keluvchi xos vektorlar soni (n- r_i ) ga teng bo’ladi.
Teorema. φ chiziqli operatorning turli bazislaridagi xarakteristik

ko’phadlari teng bo’ladi.