Ma’ruza. Ortogonal to‘ldiruvchi va ortogonal proeksiyalar

Teorema. ϕ chiziqli operatorlar yadrosi shu operator qaralayotgan fazoning qism fazosi bo’ladi.
Bu teoremaning isboti [1, 240-bet]da keltirilgan.
Ta’rif. ϕ chiziqli operator yadrosining o’lchovi shu operatorning defekti (nuqsoni) deyiladi.
U_n fazoda aniqlangan ϕ chiziqli operator berilgan bo’lsin. M to’plamosti

U_n ning qism fazosi, ya’ni
M U _n
bo’lsin. Agar


ϕ (x)  y

desak, u holda x ning

obrazi y bo’ladi. M to’plamostiga tegishli hamma elementlarning obrazini

topaylik. Bu obrazlar hosil qilgan to’plamni ϕМ
orqali belgilaylik.

Teorema. Agar M fazoosti bo’lsa, u holda ϕМ
bo’ladi.
to’plam ham fazoosti

Isboti.


^{y1  M  y1  (x}1<sup>)


(x</sup>1 ^{ M)
va y} ₂ ^{ϕM  y} ₂ ^{ ϕ (x} 2 <sup>)


(x</sup> 2 ^M)

lardan


^{α1 x}1 ^{ α 2 x} 2 ^{ M}
kelib chiqadi. Bu vaqtda

^{α1 y1  α 2 y 2  α1ϕ (x}1 ^{)  α 2ϕ ( x} 2 ^{)  ϕ (α1 x}1 ^{ α 2 x} 2 ^{) ϕM}
hosil bo’ladi. Demak,

y₁ ϕM ,


y ₂ ϕM
ekanligidan


α₁ y₁  α ₂ y ₂ ϕM
kelib chiqdi. U holda ϕМ

to’plam fazoosti bo’ladi.
Xususiy holda M=U_n bo’lishi mumkin. U holda
ϕU_n

ham fazoosti bo’ladi.

Ta’rif. Ta’rif.

ϕU_n
ϕU_n
fazoostiga ϕ operatorning obrazi deyiladi. obrazning o’lchoviga ϕ operatorning rangi deyiladi.

ℱ maydon ustida V_n vektor fazo berilgan bo’lib,

^e1 ^,
e 2 ^{, ..., e}n
(1)

uning bazisi bo’lsin. Agar ϕ operator V_n fazoda aniqlangan chiziqli operator

bo’lsa, u holda ifodalanadi, ya’ni


^{ϕ (e}1 <sup>),


ϕ (e</sup> 2 ^{), ..., ϕ (e}n ^{) Vn}
vektorlar (1) bazis orqali chiziqli

^{ϕ (e}1 ^{)  α11 e}1 ^{ α 21 e} 2 ^{ ...  αn1 e}n ^,

^{ϕ (e} 2 ^{)  α12 e}1 ^{ α 22 e} 2 ^{ ...  αn2 e}n ^,

(2)

_.. . . . . . .

bo’ladi.
^{ϕ (e}n ^{)  α e}1 ^{ α e} 2 ^{ ...  α}



1n
2n nn


^en ^.

Ta’rif. Ushbu
^α₁₁ ^α₁₂ ^...α_1n 

α


_.
M(ϕ )  ^{ 21}
_ .
^αn1
^α 22
. .
^αn2

...α _{2n }

.


...α _{nn }

matritsa ϕ chiziqli operatorning (1) bazisdagi matritsasi deyiladi.

Takrorlash uchun savollar:

1. 
   Chiziqli operatorning yadrosi.
   
2. 
   Chiziqli operatorning obrazi haqida tushuncha bering.
   
3. 
   Chiziqli operator matrisasi.
   
4. 
   Chiziqli operatorlar matritsasi rangi.
   

11,12 – ma’ruzalar. х va

ϕ (х)

vektorlar ustun koordinatalari orasidagi

bog‘lanish. Chiziqli operatorning turli bazislarga nisbatan matritsalari orasidagi bog’lanish

Reja:

1. 
   х va φ( х ) vektorlar ustun koordinatalari orasidagi bog’lanish.
   
2. 
   Chiziqli operatorning turli bazislarga nisbatan matritsalari orasidagi bog’lanish.
   
3. 
   O’xshash matritsalar.
   

Adabiyotlar:

1. 
   Nazarov R.N., Toshpo’latov B.T., Do’sumbetov A.D. Algebra va sonlar nazariyasi. I qism. T.: O’qituvchi. 1993 y. (236-239, 247 – 249 - betlar).
   
2. 
   Kulikov L.Ya. Algebra i teoriya chisel. M.: Vissh.shk. 1979 g. (str. 289 – 291, 296 - 297).
   

Teorema. Nol bo’lmagan chekli o’lchovli vektor fazodagi ϕ chiziqli operatorning rangi ϕ chiziqli operator matritsasining rangiga teng bo’ladi.

ℱ maydon ustida V_n vektor fazo berilgan bo’lib,


^e1 <sup>,


e</sup> 2 ^{, ..., e}n
uning

birinchi bazisi,


e¹, ..., e¹
esa uning ikkinchi bazisi va T birinchi bazisdan

1 n

ikkinchi bazisga o’tish matritsasi bo’lsin.
Teorema. ϕ operator V_n fazoda aniqlangan chiziqli operator bo’lib,


M (ϕ )

va M ' (ϕ ) lar ϕ chiziqli operatorning birinchi va ikkinchi bazislarga nisbatan
mos matritsalari, hamda T birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o’tish matritsasi

bo’lsa, u holda
M ' (ϕ )  T ^1M (ϕ )
T tenglik o’rinli bo’ladi.

Isboti. x vektorning har xil bazislardagi, ya’ni birinchi va ikkkinchi

bazislardagi ustun koordinatalarini mos ravishda
M ( x)
va M ' (x)
deb belgilasak,

u holda

x V_n

vektor uchun

M(x)  TM'(x)
M'(x)  T^1M(x)
fomulalar o’rinli bo’ladi.
(8)
(9)

9. 
   da x ni
   

ϕ (x)
bilan almashtirib,

M ¹ (ϕ (x))  T ^1M (ϕ ( x)) (10)

tenglikni hosil qilamiz. x va

ϕ (x)
vektorlarning ustun koordinatalarini
M ( x) va

M (ϕ (x))
deb belgilasak, ular orasidagi bog’lanish


M (ϕ (x))  M (ϕ )  M (x)

(11)

orqali beriladi, bunda
M (ϕ )
matritsa ϕ chiziqli operator matritsasi.

9. 
   va (11) tengliklardan
   

M'((x))  T^1M()  M(x)
tenglik kelib chiqadi.
(8) va (12) tengliklarga asoslanib,

(12)

M ¹ (ϕ ( x))  [T ^1 M (ϕ ) T ] M ¹ (x)

tenglikni

yoza olamiz. Oxirgi tenglikni (11) tenglik bilan solishtirib,

M'()  T^1M()  T
formulani hosil qilamiz.

Ta’rif. Agar ℱ maydon ustida
A, B  F^nxn
matritsalar uchun

teskarilanuvchi
_{T  F}nxn
matritsa mavjud bo’lib, ular uchun
B  T ^1 AT
tenglik

o’rinli bo’lsa, u holda A va B matritsalar o’xshash matritsalar deyiladi.

Takrorlash uchun savollar:

1. 
   Chiziqli operator matritsasini tuzing.
   
2. 
   Chiziqli operator rangi deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Chiziqli operator rangi haqidagi teoremani bayon qiling.
   
4. 
   Chiziqli operatorning turli bazislarga nisbatan matritsalari orasidagi bog’lanish formulasini bayon qiling.
   
5. 
   O’xshash matritsalar deb nimaga aytiladi?
   

Reja:

6. 
   ma’ruza.Teskarilanuvchi chiziqli operatorlar.
   

Chiziqli algebralar

1. 
   Chiziqli algebra haqida tushunchalar.
   
2. 
   Chiziqli algebraga misollar.
   

Adabiyotlar:

1. 
   Nazarov R.N., Toshpo’latov B.T., Do’sumbetov A.D. Algebra va sonlar nazariyasi. I qism. T.: O’qituvchi. 1993 y. (253-257 betlar).
   
2. 
   Kulikov L.Ya. Algebra i teoriya chisel. M.: Vissh. shkola. 1979 g. (str. 291- 293, 298-300).
   

ℱ maydon ustida V_n vektor fazo berilgan bo’lib,

е₁, е₂ ,.., е_n
(1)

uning biror bazisi va φ operator berilgan V_n fazoning chiziqli operatori bo’lsin.
х va φ( х ) vektorlarning (1) bazis orqali х  β₁е₁ ...  β_ne_n ,

ϕ (х)  γ ₁е₁ ...  γ _n e_n
ko’rinishda ifodalansin.

х va φ( х ) vektorlarning (1) bazisga nisbatan ustun koordinatalarini mos ravishda ushbu
^β1  ^{γ 1} 

_β
М ( х)  ^

2 _,
_γ 
M (ϕ ( x))  ^{ 2 }

^ ... ^{ } ... ^

β
 
 n 
 

γ
 n 

ko’rinishlarda belgilab, ular orasidagi bog’lanish formulasini keltirib chiqaraylik.
Teorema. Agar φ operator V_n fazoda aniqlangan chiziqli operator bo’lib, M(φ) shu φ chiziqli operatorning (1) bazisdagi matritsasi bo’lsa, u holda
 х ∈V_n uchun M(φ( х ))=M(φ)M( х ) tenglik bajariladi.
Ta’rif. ℱ maydon ustidagi V chiziqli fazo elementlari uchun quyidagi aksiomalar bajarilsa,
1. хy  V (x, y  V);
2. x(yz)  (xy)z (x, y, z  V);

3. x(y  z) 
xy  xz ва
(y  z)x
 yx  zx(x, y, z  V)

4. (xy)  (x)y  x(y)(  F, x, y  V)
u holda V fazoni ℱ maydon ustidagi chiziqli algebra deyiladi.
Ta’rif. Agar V chiziqli algebrada ^{х  у  у  х(х,уV)} aksioma bajarilsa, V kommutativ chiziqli algebra deyiladi.