Масъул муҳаррир: Файзиев Шохруд Фармонович, ю ф. д., доцент

Ичма-ич жойлашган ўзаро таққосланувчи шакллар принципи. 
Теорема. 
S
юзали тўғри тўртбурчак учун иккита 
1
S
ва 
2
S
юзали тўғри 
тўртбурчаклар берилган бўлсин (1-чизма). 
1-чизма 
Агар. 
1). Асослари тенг, баландликлари ўзаро 
таққосланувчи; 
2). Асослари 
x
, бирининг баландлиги 
ax
учун қолганлариники 
m
ax 
ва 
m
ax 
бўлиши; 
3). 
S
ва 
1
S
ўзаро таққосланувчи бўлиб, 
1
S
ва 
2
S
лар ўзаро таққосланувчи бўлса, 
S
ва 
2
S
лар ҳам ўзаро таққосланувчи бўлади. 
Изоҳ. 1). Элементлари натурал сонлардан иборат ихтиёрий 
N
тўпламни, 
шу тўплам ўз ичига олувчи, бир-бирини тўлдирувчи, қолаверса ҳар бири 
берилган тўплам элементи билан ўзаро тенг қолдиқли элементга эга бўлган 
тўпламларга ажратиш мумкин; 
2). Агар 
k
n
элементли 
N
тўплам элементларини, 
1
)
;
(

m
n
ёки 
1
)
;
(

m
k
бўлган, 
m
k
n 

ва 
m
элементлга эга бўлган тўпламларга ажратиш мумкин 
бўлса, 
k
n
- элемент ва 
m
k
n 

- элемент ўзаро 
m
сонига кўра таққосланувчи 
бўлади; 
3). Агар 
k
n
элементли 
N
тўплам элементлари 
r
l
m
k
n




ва 
r
t
m
m
k
n





bo’lsa, 
1


t
l
bo’ladi; 
4). Элементлари натурал сонлардан иборат ихтиёрий 
N
тўпламни, бир-
бирини ўз ичига олувчи, ёки тоқ ва жуфт элементларга эга, бир-бирини 
тўлдиручи тўпламларга ҳамда элементлари 2 сонига кўра ўзаро 
таққосланувчи элементга эга бўлган тўпламларга ажратиш мумкин; 

---

232
17
5) Айтайлик 
k
n
элементли 
N
тўпламни, шу тўплам ўз ичига олувчи, 
элементи 
r
l
m
k
n




бўлган, ҳамда бир-бирини тўлдирувчи 
r
t
m
m
k
n





ва 
m
элементга эга бўлган тўпламларни ажратиш мумкин бўлса, у ҳолда бир-
бирини тўлдирувчи тўламлар элементлари нисбатининг қолдиқ фарқи, 
r
l
m
k
n




va 
m
элементлар нисбати кабидир; 
6). Агар 
k
n
элементли ихтиёрий тўпламни ўз ичига олувчи 
m
k
n 

элементли 
N
тўплам мавжуд бўлиб, 
1
)
;
(

m
n
ёки 
1
)
;
(

m
k
бўлса, у ҳолда 
берилган тўпламлар элементлари нисбатининг қолдиқ фарқи, 
r
s
m
m
k
n





ва 
r
l
m
k
n




элементлар нисбати кабидир; 
7). Ихтиёрий 
k
n
элементли 
N
тўпламни, шу тўплам ўз ичига олувчи, 
элементлари бир-бирига танланадиган, ҳамда элементлари ўзаро 
таққосланувчи бўлган тўпламларга ажратиш мумкин; 
8). Элементлари бутун сонлардан иборат ихтиёрий тўпламни, 
элементлари 
b
l
m
m
x
a





ва 
b
k
m
m
x
a





бўлган тўпламларга ажратиш 
мумкин. Бунда 
2


k
l
бўлади. 
«Уса Бег» принципи 
Масаладаги параметрларни тўғри танлаш ҳамда уларни ўзаро 
фарқлаш. 
Шу ўринда «Уса Бег» принципидан қуйдаги хулосалар келиб чиқади: 
1). Берилган масалага тўғри тенгламалар тузиш; 
2). Ҳосил бўлган тенгламаларни ечиш; 
3). Масала қандай бўлишидан қаъий назар унинг ечими аниқ фактлар 
асосида қурилган бўлиши зарур ва етарлидир. 
Энди баъзи бир матнли масалаларда «Уса Бег» принципининг амалий 
жиҳатдан татбиқларини кўриб чиқамиз: 
1-масала (қадимги масала). Хўжайин бир кишини бир йилга ёллаб, унга 
12 сўм пул ва бир чакмон бермоқчи бўлди, лекин у 7 ой ишлаб кетмоқчи 
бўлди ва хўжайиндан ҳисоб-китоб қилишини сўради; хўжайин унга 5 сўм пул 
билан чакмон берибди. Чакмон неча сўм туради? 
Ечиш. Хўжайин ва хизматкор ўртасидаги келишувга кўра бир йил учун 
хизмат ҳақи 12 сўм пул ва бир чакмон бўлиб, унинг математик нуқтаи 
назардан тенгламаси 

---

233
17
чакмон
пул
сўм
йил
1
12
1


га тенг бўлади. 
У ҳолда қуйидаги 







чакмон
пул
сўм
ой
чакмон
пул
сўм
йил
1
5
7
1
12
1
(1) 
системага эга бўламиз. 
Энди (1)-системадаги параметрларни ой-
x
, сўм-
y
ва чакмон-
z
деб 
белгиласак, бу ерда 







z
y
x
z
y
x
1
5
7
1
12
12
(2) 
системани ҳосил қиламиз. 
(2)-системадаги тенгликларни ҳадма-ҳад бўлишдан 
z
y
z
y



5
12
7
12

z
y
z
y
y





5
7
5
7
5
7

z
y
y




5
7
1
7
5
1

z
y
y


5
7
7
5


y
z
y
49
5
25



y
z
8
,
4

ни топамиз. 
Демак, бир чакмон 4,8 сўм бўлган. 
Бундан яна шуни ҳам тушиниш мумкинки, хизматкор бир сўм ҳам 
олмасдан бир чакмон учун 
7
3
3
ой ишлаши керак бўлади. 
Яъни, 
12
5
5
7
12
12









z
y
x
z
y
x

z
x
z
y
x
z
y
x
7
24
12
60
84
5
60
60












x
z
7
24

x
z
7
3
3

бўлади. 
Жавоб: 4,8 сўм 
2-масала. Турли узунликдаги ходаларнинг ҳар бири арраланиб, бир хил 
сондаги ғўлачаларга бўлинди. Натижада ҳосил бўлган ғўлачалар сони 
арраланган ходалар сонидан 25 тага кўп чиқди. Дастлаб ходалар нечта бўлган 
(2-чизма)? 
Ечиш. 

---

234
17
2-чизма 
Масала шартига кўра дастлабки ходалар сони 
билан уларни арралаш натижасида ҳосил бўлган 
ғўлачалар сони фарқи 25 га тенгдир. 
Бундан дастлабки ходалар сонини 
x
деб, 
ғўлачалар сонини эса 
y
деб белгиласак, қуйидаги 
тенгламага эга бўламиз: 
25


x
y
(3) 
Энди 
x
ва 
y
ларни ўзаро бирини иккинчиси орқали ифодаловчи, яна бир 
тенгликни тузамиз. Бу тенгликни тузишда ҳар бири 
n
тадан 
x
та бўлган 
ходалар сонидан фойдаланамиз. Яъни, 
y
xn 
бўлади. 
Бундан, 
xn
y 

25


x
y

25


x
xn
бўлиб, 


25
1 

x
n
(4) 
эканлиги келиб чиқади. 
Бу ерда (4)-тенглик учун 3 та ҳолни қараймиз: 
1). 


25
1
1



x
n
бўлганда, 





25
2
x
n
бўлиб, 





50
25
y
x
бўлади; 
2). 


5
5
1



x
n
бўлганда, 





5
6
x
n
бўлиб, 





30
5
y
x
бўлади; 
3). 


1
25
1



x
n
бўлганда, 





1
26
x
n
бўлиб, 





26
1
y
x
бўлади. 
Демак, гап ходалар сони ҳақида борар экан, 1) ва 2)-ҳоллар берилган 
масала ечими бўлади. 
Жавоб: Дастлаб ходалар сони 25 та ёки 5 та бўлган. 

---

235
17
3-масала. 1). Бўш катакларни 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 сонлари билан 
тўлдиринг. 1 сонини бир неча марта ишлатиш мумкин. 
2). 90 та олмани 9 та ликопчага тоқ сондаги қилиб жойлаштириш 
мумкинми? 
Ечиш. Бу иккала масаланинг ечимини қуйидагича изоҳлаймиз: 
Сони жиҳатдан тоқта тоқ сонларнинг йиғиндиси жуфт сон бўла 
олмайди. 
Жавоб: жойлаштириб бўлмайди. 
4-масала. 14 сўм 50 тийинга 30 ва 50 тийинлик билетлардан қанча сотиб 
олиш мумкин. 
Ечиш. Бу масала ечимини таққосламадан фойдаланиб қуйидаги жадвал 
асосида изоҳлаймиз: 
1450
50
30


y
x

145
5
3


y
x


5
mod
145
3 
x



5
mod
0

x

t
x 5

t
x 5


145
5
3


y
x







t
y
t
x
3
29
5
Жавоб: 






t
y
t
x
3
29
5
ситеманинг манфиймас бутун ечимлари берилган 
масаланинг ечими бўлар экан. 
Уй ҳайвонлари савдоси. 
5-масала. 436 000 000 сўмга ҳар хил зотдор уй ҳайвонларидан 63 дона 
харид қилинди. Харид қилинган уй ҳайвонлари учун тўлов суммаси қуйдаги 
рўйхатда келтирилган: 
1). Қўй (бир донаси)____________________3 000 000 сўм; 
2). Қора мол (бир донаси)_______________7 000 000 сўм; 
3). Йилқи (бир донаси)_________________13 000 000 сўм; 

---

236
17
4). Туя (бир донаси)____________________20 000 000 сўм. 
Жами: 63 дона_________________________436 000 000 сўм. 
Кўрсатилган рўйхат бўйича уй ҳайвонларининг ҳар биридан неча 
донадан олиш мумкин? 
Ечиш. Бу ерда масала шартига кўра қўйнинг бир донасини-
x
, қора 
молнинг бир донасини-
y
, йилқининг бир донасини эса-
z
ва туянинг бир 
донасини-
t
деб белгиласак, қуйидаги системага эга бўламиз: 











63
000
000
436
000
000
20
000
000
13
000
000
7
000
000
3
t
z
y
x
t
z
y
x
(5) 
Энди (5)-системадаги биринчи тенгламани ихчамласак, бундан 











63
436
20
13
7
3
t
z
y
x
t
z
y
x
(6) 
бўлади. 
Бу ерда (6)-система учун 4 та ҳолни қарайлик: 
1). 
x
номаълумни йўқотиб 
z
параметрли тенгламалар тузиш. Бунинг 
учун (6)-системадаги тенгламаларни боғловчи тенгламани топамиз: 
3
63
436
20
13
7
3












t
z
y
x
t
z
y
x

247
17
10
4
189
3
3
3
3
436
20
13
7
3















t
z
y
t
z
y
x
t
z
y
x
Бу тенгламанинг бутун ечимларини топиш учун «Тўртбурчаклар» 
усулидан фойдаланамиз. 
247
17
10
4



t
z
y

17
10
4
247
z
y
t





17
mod
0
10
4
247



z
y



17
mod
9
10
4


z
y
9
17
17
10
4




k
z
y

4
26
10
17



z
k
y


4
mod
0
26
10
17



z
k



4
mod
26
10
17


z
k




4
mod
2
2 

z
k

2
2 

z
k
















z
t
Z
z
z
z
y
z
x
2
11
,
5
0
15
6
5
37
).
1
0
















z
t
N
z
z
z
y
z
x
2
15
,
7
1
2
6
5
50
).
2

---

237
17
Энди қолган ҳолларни ҳам шу тариқа бажарамиз: 
2). 
y
номаълумни йўқотиб 
z
параметрли тенгламалар тузиш. 
















3
2
,
4
0
11
49
11
8
).
1
0
z
t
Z
z
z
z
y
z
x
















1
2
,
6
1
11
66
2
8
).
2
z
t
N
z
z
z
y
z
x
3). 
z
номаълумни йўқотиб 
x
параметрли тенгламалар тузиш. 














53
4
8
114
2
3
14
x
t
x
z
x
y
x
4). 
t
номаълумни йўқотиб 
y
параметрли тенгламалар тузиш. 
















y
t
y
z
Z
y
y
y
x
2
11
6
3
,
5
0
2
46
0
Демак, бу ерда яна шуни ҳам тушиниш мумкинки, (6)-системанинг 
ечими учун қаралган тўртта ҳолдан бошқа бир неча ҳолларни ҳам қараш 
мумкин. 
Жавоб: Юқорида қаралган тўртта ҳоллар ҳам берилган масаланинг 
ечими бўлади. 
Хулоса ўрнида мустақил иш учун бир неча масалаларни келтирамиз: 
1-масала. Ит тулкининг орқасидан қувди. Ит секундига 8 m, тулки эса 6 
m тезлик билан чопмоқда. Уларнинг орасидаги масофа дастлаб 360 m бўлган, 
тулкининг ўз уясига етиб олиши учун эса 1 km қолган эди. Тулки ўз уясига 
етиб олишга улгурадими? 

---

238
17
2-масала. (Абу Райҳон Беруний масаласи). Икки буюмдан бирининг 10 
таси бир динор (пул бирлиг) ва иккинчисининг 15 таси бир динор. Бир 
динорга иккала буюмдан бир хил миқдорда неча донадан сотиб олиш 
мумкин? 
3-масала. Олма дарахтига бир гала қушлар келиб қўнди. Агар ҳар бир 
шохчага биттадан қўнса, битта қуш, иккитадан қўнса, битта шох ортиб 
қолади. Олма дарахтида нечта қуш ва нечта шох бор? 
Почта маркалари савдоси. 
4-масала. 1 сўмга нархлари 1 тийинлик, 4 тийинлик ва 12 тийинлик 
маркалардан 40 дона сотиб олинди. Маркаларнинг ҳар қайсидан неча 
донадан олиш мумкин? 
Фойдаланилган адабиётлар рўйхати: 
1. Э. Э. Жумаев. «Бошланғич математика назарияси ва методикаси». 
Касб-ҳунар коллежлари учун ўқув қўлланиа. Тошкент-2005. 4-5, 191-б; 
2. М. А. Мирзааҳмедов, А. А. Раҳимқориев, Ш. Н. Исмаилов, М. А. 
Тўхтаходжаева. «Математика». Умумий ўрта таълим мактабларининг 6-
синфи учун дарслик. «ЎҚИТУВЧИ» НАШРИЁТ-МАТБАА ИЖОДИЙ УЙИ. 
Тошкент-2017. 112-б; 
3. Ш. А. Алимов, О. Р. Холмуҳамедов, М. А. Мирзааҳмедов. «Алгебра». 
Умумий ўрта таълим мактабларининг 7-синфи учун дарслик. «ЎҚИТУВЧИ» 
НАШРИЁТ-МАТБАА ИЖОДИЙ УЙИ. Тошкент-2017. 107, 150-б. 

---

239