Масъул муҳаррир: Файзиев Шохруд Фармонович, ю ф. д., доцент
ANIQ INTEGRAL. NYUTON-LEYBNIST FORMULASI
Download 4.72 Mb. Pdf ko'rish
|
17.Fizika-matematika
|
ANIQ INTEGRAL. NYUTON-LEYBNIST FORMULASI
Najmiddinova Shahnavoz Namangan viloyati Norin tumani 20-maktab shahnavoznajmiddinova@gmail.come Telefon: +998999171997 201 17 𝑥 = 𝑏 bo’lsa 𝑆 = 𝑆(𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) Teorema isbot bo’ldi. Masalan, 𝑓(𝑥) = 𝑥 � , 𝑥 ∈ [1,2] bo’lsa, 𝑆 = 𝐹(2) − 𝐹(1) = � � � − � � � = � � , bunda 𝐹(𝑥) = � � � . Matematik analiz kursidan bizga ma’lumki yuqoridagi masala aniq integralni geometrik ma’nosini aniqlashda yechilgan edi. Bunda [𝑎, 𝑏] oraliq bo’laklarga bo’linib egri chiziqli trapetsiya yuzasi elementar to’g’ri to’rtburchaklarning yuzalaridan tashkil topgan to’rtburchaklarining yuzalarini yig’indisini bo’linish oraliqlarining maksimal uzunligi nolga intilgandagi limitiga teng edi: 𝑆 = lim �→� � 𝑓(𝑐 � )∆𝑥 � ��� ��� 𝜆 = 𝑚𝑎𝑥{∆𝑥 � }, 𝑐 � ∈ [𝑥 ��� ; 𝑥 � ], ∆𝑥 � = 𝑥 � − 𝑥 ��� , 𝑎 = 𝑥 � < 𝑥 � < ⋯ < 𝑥 � = 𝑏 Ta’rifga asosan 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 � � edi. Endi 𝑆 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) va 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 � � ifodalarni taqqoslab ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) � � formulaga kelamiz. Bu formulani Nyuton-Leybnits formulasi deyilar edi. Maktabda bu aytilganlarga urg’u bergan holda aniq integral tushunchasi yuqorida isbot qilingan teoremadan so’ng ta’rif sifatida (boshlang’ich funksiyaga asoslangan holda) kiritiladi. Ta’rif (aniq integral tushunchasi): 𝐹(𝑥)[𝑎, 𝑏]kesmadagi 𝑓(𝑥) ning birorta boshlang’ich funksiyasi bo’lsin. 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) ayirma 𝑓(𝑥) funksiyaning [𝑎, 𝑏] kesmadagi aniq integrali deyiladi va ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 � � kabi belgilanadi, ya’ni ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) � � (1) (1) formula Nyuton-Leybnits formulasi deyiladi. 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝐹(𝑥)| � � (1’) (1) yoki (1’) formulalar bilan ishlashda, dastlab masalani ikki bosqichda bajarib o’rgatish ma’qul bo’ladi: 1) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶, 2) 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 � � Masalan ∫ √2𝑥 − 3 � � 𝑑𝑥 =? 1) ∫ √2𝑥 − 3 𝑑𝑥 = �∫(𝑘𝑥 + 𝑏) � 𝑑𝑥 = (����) ��� �(���) + 𝐶, formulaga asosan, 𝑝 = � � , 𝑘 = 2, 𝑏 = −3� = � � (2𝑥 − 3) � � + 𝐶 2) ∫ √2𝑥 − 3 � � 𝑑𝑥 = � � (2𝑥 − 3)� � � = 8 � � . Aniq integral quyidagi xossalarga ega: 1 � . ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 � � Δ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)𝑎𝑎 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑎) = 0 � � ▲ 2 � . ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 � � � � Δ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎); ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 � � = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏) = −(𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)) � � demak ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −�𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏)� = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 � � � � ▲ 3 � . Ixtiyoriy 𝑎, 𝑏, 𝑐, haqiqiy sonlar uchun � 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = � 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + � 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 � � � � � � 4 � . Agar 𝑓(𝑥) juft funksiya bo’lsa, u holda � 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 � 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 � � � �� 202 17 5 � . Agar 𝑓(𝑥) ≥ 0, 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] bo’lsa, u holda � 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0 � � 6 � . Agar 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] da 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) bo’lsa, u holda � 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ � 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 � � � � Agar material nuqta 𝑂𝑋 o’qida 𝑀(𝑎) nuqtadan 𝑀(𝑏) nuqtagacha proeksiyasi 𝑓(𝑥) bo’lgan 𝐹(𝑥) ���������⃗ kuch ta’sirida harakat qilayotgan bo’lsa, u holda 𝑓(𝑥)uzluksiz bo’lganda bajarilgan 𝐴 ish quyidagicha aniqlanadi: 𝐴 = � 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 � � Bu formula aniq integralni fizik ma’nosini ifodalaydi. Foydalanilgan adabiyotlar: 1. Н.Я.Виленкин, А.Г.Мордкович. Производная, интеграл.М. <<Просвещение>>, 1976. M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismoilov, A. Q. Amanov. Matematika Algebra va analiz asoslari 11-sinf darsligi |
