Математическая статистика. Основные понятия

 

3 

Математическая статистика. Основные понятия. 

 

Математическая статистика – это раздел математики, который изучает 

методы  сбора,  систематизации,  обработки  результатов  наблюдений  массовых 

случайных явлений. 

Любое  множество,  подлежащее  изучению  в  статистике,  называется 

генеральной  совокупностью.  Любое  подмножество  генеральной  совокупности 

называется выё  боркой.  Количество  элементов  в  генеральной  совокупности 

или 

в 

выборке 

называется 

объемом. 

Элементы 

выборки 

могут 

характеризоваться  числами,  отражающими  какой-либо  признак  изучаемого 

объекта. Эти числа называются вариантами, так как от выборки к выборке эти 

значения меняются. 

 

Первым  шагом  в  обработке  полученных  данных  является  составление 

статистического или вариационного ряда. 

 

Статистический ряд  – это таблица,  в которой перечислены варианты в 

порядке возрастания и указаны соответствующие им частоты. 

 

Для  графического  изображения  статистического  ряда  частот  служит 

ломаная в прямоугольной декартовой системе координат с вершинами в точках 





i

i

n

x ,

  -  называемая  полигоном  частот,  или  ломаная  с  вершинами  в  точках 













n

n

x

i

i

,

 - называемая полигоном относительных частот. Здесь 

i

x  - возможные 

значения  вариант, 

i

n   -  частота,  т.  е.  количество  появления 

i

  варианты,  n   - 

объем  выборки.  При  большом  объеме  выборки  ее  элементы  объединяются  в 

группы  (разряды),  представляя  результаты  опытов  в  виде  сгруппированного 

статистического ряда. Для этого интервал, содержащий все элементы выборки, 

разбивается на  k  непересекающихся интервалов, обычно одинаковой длины l . 

 

Для  графического  изображения  сгруппированной  выборки  служит 

ступенчатая  фигура  из  прямоугольников,  называемая  гистограммой.  Для 

построения гистограммы на оси  ox откладываются интервалы длины l , которые 

служат основаниями прямоугольников, а их высоты определяются отношением 

l

n

i

, если мы строим гистограмму частот, или 

l

n

n

i



, если мы строим гистограмму 

относительных частот. 

 

 

Пример  1.  а)  Дан  статистический  ряд.  Требуется  построить  полигон 

относительных частот. б) Дан сгруппированный статистический ряд. Требуется 

построить гистограмму относительных частот. 

а)  

i

x

 

значения 

вариант 

15 

16 

17 

18 

19 

i

n

 

частоты 

1 

5 

6 

5 

3 

 

 

4 

 

б)  

границы 

интервалов 

10-20  20-30  30-40 

40-50 

50-60 

частоты 

1 

2 

7 

18 

12 

 

 

Решение.  а)  Для  построения  полигона  частот  найдем  относительные 

частоты по формуле 

n

n

i

, где 

20

3

5

6

5

1

5

1



















i

i

n

n

. 

Результат запишем в таблицу  

 

i

x  

15 

16 

17 

18 

19 

 

i

n  

1 

5 

6 

5 

3 





20 

n

n

i

 

1/20=0,05 

5/20=0,25 

6/20=0,3  5/20=0,25  3/20=0,15 





1 

 

Строим ломаную с координатами 













n

n

x

i

i

,

 (рис. 1). 

n

n

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  x  

 

 

Рис. 1 

 

Замечание.  Обычно  при  построении  полигона  масштаб  по  осям  берется 

неодинаковым.  

 

б)  Для  построения  гистограммы  относительных  частот  найдем 

относительные  частоты  по  формуле 

n

n

i

,  высоты  прямоугольников 



  по 

формуле 

nl

n

h

i



,  где 

40

12

18

7

2

1

1



















n

i

i

n

n

, 

10



l

.  Величина  h  

характеризует  плотность  попадания  вариант  в  i-ый  интервал.  Результаты 

удобно записать в таблицу. 

 

 

0,3 

0,05 

15 

16 

17 

18 

19 

0,15 

 

5 

 





1





i

i

x

x

 

10 - 20 

20 - 30 

30 - 40 

40 - 50 

50 - 60 

 

i

n

 

1 

2 

7 

18 

12 





40

 

n

n

i

 

 

1/40 = 0,025 

 

2/40 = 0,05 

 

7/40 = 0,175 

 

18/40 = 0,45 

 

12/40 = 0,3 





1

 

 

nl

n

i

 

0,025/10 =  

0,0025 

0,05/10 = 

0,005 

0,175/10 = 

0,0175 

0,45/10 = 

0,045 

0,3/10 = 

0,03 

 

 

 

Строим гистограмму (рис. 2). 

 

nl

n

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

x  

 

 

 

 

Рис. 2 

 

Статистические гипотезы 

 

Во  многих  случаях  результаты  наблюдений  используются  для  проверки 

предположений  (гипотез)  относительно  тех  или  иных  свойств  распределения 

генеральной  совокупности.  В  частности,  такого  рода  задачи  возникают  при 

сравнении  различных  технологических  процессов  или  методов  обработки  по 

определенным 

измеряемым 

признакам, 

например, 

по 

точности, 

производительности и т. д.  

 

Пусть 

X

 



  наблюдаемая  дискретная  или  непрерывная  случайная 

величина. 

 

Статистической  гипотезой  называется  предположение  относительно 

параметров или вида распределения случайной величины 

X

. 

 

Основной  или  нулевой  гипотезой 

0

H

  называют  выдвинутую  гипотезу,  а 

гипотезу 

1

H

, ей противоречащую 



 конкурирующей или альтернативной.  

 

Правило,  по  которому  принимается  решение  принять  или  отклонить 

гипотезу 

0

H

 

называют  статистическим  критерием 

K

. 

Обычно 

статистические  критерии  выражаются  числами,  которые  вычисляются  по 

вариантам  выборки,  или  находятся  теоретически.  Значение  критерия, 

найденное на основе выборки наблюдений случайной величины 

X

, называют 

0,045 

0,005 

10 

20 

30 

40 

50 

60 

 

6 

выборочным  и  обозначают 

в

K .  Значение  критерия,  которое  находится  по 

таблице, называется теоретическим и обозначается 

T

K .  

 

Проверка  статистической  гипотезы  основывается  на  принципе,  в 

соответствии  с  которым  маловероятные  события  считаются  невозможными,  а 

события,  имеющие  большую  вероятность,  считаются  достоверными.  Этот 

принцип  можно  реализовать  следующим  образом.  Перед  анализом  выборки 

фиксируется некоторая малая вероятность 



, называемая уровнем значимости, 

и  равная  вероятности  отвергнуть  правильную 

0

H   гипотезу.  Таким  образом, 

вероятность  принять  правильную 

0

H   гипотезу  будет  равна 





1

.  Уровень 

значимости 



 определяет размер «критической области». 

 

Критическая  область 

k

V  



  те  значения  критерия 

K

,  при  которых 

гипотезу 

0

H   отвергают.  Критерий,  основанный  на  использовании  заранее 

заданного уровня значимости, называется критерием значимости.  

 

Таким  образом,  проверка  значимости  статистической  гипотезы  при 

помощи критерия значимости может быть разбита на следующие этапы: 

1)  сформулировать проверяемую (

0

H ) и альтернативную (

1

H ) гипотезы; 

2)  назначить уровень значимости 



; 

3)  выбрать статистический критерий; 

4)  определить теоретическое (

T

K ) и выборочное (

в

K ) значения критерия; 

5)  определить критическую область 

k

V ; 

6)  принять статистическое решение: если 

в

K

k

V



, то гипотезу 

0

H  принять, т. е. 

считать,  что  гипотеза 

0

H   не  противоречит  результатам  наблюдений;  если 

в

K

k

V



,  то  отклонить  гипотезу 

0

H   как  не  согласующуюся  с  результатами 

наблюдений. 

 

Критерий Пирсона 

2

 



 (хи-квадрат) 

 

Этот критерий был введен английским математиком К. Пирсоном (1857 – 

1936).  Критерий  служит  для  проверки  гипотезы  о  виде  распределения 

случайной величины 

X

. 

 

Итак,  пусть  имеется  сгруппированный  статистический  ряд,  разбитый  на 

k   интервалов,  где  k   -  заранее  выбранное  число, 

i

n   -  число  вариант, 

попадающих  в 

i

  интервал,  n   -  объем  выборки, 





i

i

i

x

X

x

P

p









1

 

  - 

вероятность  попадания  случайной  величины 

X

  в 

i

  -  ый  интервал  при 

выбранном законе распределения случайной величины. 

 

При  этих  условиях  Пирсон  предложил  в  качестве  критерия 

K

 

рассмотреть случайную величину 

 

 

 













k

i

i

i

i

np

np

n

1

2

2



, (

i

n  - случайные величины).         (1) 

Он доказал, что 

2



 при больших  k  практически не зависит от гипотетического 

распределения и определяется функцией плотности 

 

7 

 

 

 

2

1

2

2

/

 

2

2

1

r

r

r

r

e

u

u

r

Г

u























, 

0



u

  

 

 

 

        (2) 

где  r  - число степеней свободы, определяемое по формуле 

1







m

k

r

, здесь 

m -  число  параметров  гипотетического  закона  распределения,  подлежащих 

определению по опытным данным. 

 

График функции плотности 

 

u

r



 имеет вид (рис. 3): 

 

 

u

r



 

 

 

 

 

 

 

 

 

            u  

 

 

  Рис. 3 

 

Критерий 

2



  заключается  в  следующем.  По  опытным  данным  считают 

выборочное значение критерия Пирсона  

 

 

 

 

 













k

i

i

i

i

в

np

np

n

1

2

2



, (

i

n  - выборочные частоты). 

По  таблице  критических  точек  распределения 

2



  (прил.  1)  по  заданному 

уровню  значимости 



  и  числу  степеней  свободы  r   находят  теоретическое 

значение критерия Пирсона 

2

T



.  

 

Если значение 

2

в



 окажется больше или равно 

2

T



, то гипотезу отвергают. 

Если  же 

2

в



  меньше 

2

T



,  то  гипотезу  принимают  и  считают  ее  не 

противоречащей опытным данным. 

 

При  использовании  критерия  хи-квадрат  рекомендуем  промежуточные 

результаты заносить в таблицу: 

 





i

i

x

x ,

1



 

i

n  

i

p  

i

np  

i

i

np

n



 





2

i

i

np

n



 





i

i

i

np

np

n

2



 





1

0

, x

x

 

1

n  

1

p  

1

np  

1

1

np

n



 





2

1

1

np

n



 





1

2

1

1

np

np

n



 

- 

- 

- 

- 

- 

- 

 





k

k

x

x

,

1



 

k

n  

k

p

 

k

np

 

k

k

np

n



 





2

k

k

np

n



 





k

k

k

np

np

n

2



 

 

 

8 

Замечание.  Разбивку  на  интервалы  надо  производить  так,  чтобы  в  каждом  из 

них  было  5-10  наблюдений.  Интервалы,  содержащие  мало  наблюдений, 

рекомендуется объединять с соседними. 

 

     Пример 2. Даны результаты наблюдений некоторой случайной величины 

X

. 

Проверить гипотезу о ее нормальном распределении. 

 

интервалы 

 

3,5-4,5 

4,5-5,5 

5,5-6,5 

6,5-7,5 

7,5-8,5 

8,5-9,5 

число  

вариант 

6 

13 

25 

16 

11 

9 

 

Решение.  1.  Построим  гистограмму  относительных  частот  (рис.  4), 

данные для ее построения занесем в таблицу (

80







i

n

n

, длина интервалов 

1



l

). 

 





i

i

x

x ,

1



 

(4) 

3,5-4,5 

(5) 

4,5-5,5 

(6) 

5,5-6,5 

(7) 

6,5-7,5 

(8) 

7,5-8,5 

(9) 

8,5-9,5 

i

n  

6 

13 

25 

16 

11 

9 

n

n

i

 

075

,

0

80

6



 

1625

,

0

80

13



 

3125

,

0

80

25



 

2

,

0

80

16



 

1375

,

0

80

11



 

11125

,

0

80

9



 

nl

n

h

i



 

0,075 

0,1625 

0,3125 

0,2 

0,1375 

0,1125 

 

 

h  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  x  

 

 

 

 

 

Рис. 4 

 

2.  По  виду  гистограммы  можно  предположить,  что  наблюдаемая  случайная 

величина  имеет  нормальное  распределение  - 





2

,



a

N

.  Функция  плотности 

0,3125 

3,5  4,5 

6,5  7,5  8,5  9,5 

5,5 

0 

График функции плотности 

0,075 

 

9 

вероятности  нормального  распределения  имеет  вид 

 





2

2

2

 

2

1







a

x

e

x

f







,  где 

параметры  a  и 



 неизвестны. 

В  качестве  значений  параметров  распределения  возьмем  их  оценки, 

полученные  на  основе  опытных  данных.  Оценкой  параметра  a   является 

величина  





n

n

x

n

x

n

x

n

x

n

x

k

k

k

i

i

i















...

1

2

2

1

1

1

__

, 

 

 

 

         (3) 

оценкой параметра 

2



 является величина 

 

 

i

n

i

i

n

x

x

n

s

2

1

__

2

1

1















 





.  

 

 

 

 

 

         (4) 

В обеих формулах 

i

x  - середина 

i

-го интервала. 

 

 





5

,

6

9

9

11

8

16

7

25

6

13

5

6

4

80

1

1

6

1

__

































i

i

i

n

x

n

x

 































 









25

)

5

,

6

6

(

13

)

5

,

6

5

(

6

)

5

,

6

4

((

79

1

1

1

2

2

2

6

1

2

__

2

i

i

i

n

x

x

n

s

 

 

 

4

,

1

97

,

1

 

97

,

1

)

9

)

5

,

6

8

(

11

)

5

,

6

7

(

2

2





















s

. 

 

Итак,  выдвигаем  гипотезу  о  том,  что  изучаемая  случайная  величина 

имеет функцию плотности вероятности 

 

 

 

 

97

,

1

2

)

5

,

6

(

2

2

4

,

1

1

)

(











x

e

x

f



  

 

 

                   (5) 

 

Ее график построим на том же чертеже, что и гистограмму (рис. 4). Для 

построения достаточно найти точки максимума 

5

,

6

max





x

x

, 

28

,

0

97

,

1

4

,

0

4

,

0

max







s

y

 и точки перегиба 

4

,

1

5

,

6









s

x

x

пер

, 

17

,

0

97

,

1

24

,

0

24

,

0







s

y

пер

. Затем эти точки следует соединить плавной линией, 

учитывая форму кривой нормального распределения. (рис. 4). 

3.  Зададимся  уровнем  значимости,  например, 

05

,

0





.  Для  получения 

надежных  выводов  на  основе  критерия  хи-квадрат  нужно  объединить  первый 

интервал, содержащий мало наблюдений, со вторым интервалом. Тогда имеем 

всего 

5



k

 интервалов. Определим 

 

r

T

 

,

2





, 

2

3

5

1













m

k

r

 ( r  – число 

степеней свободы,  m  – число неизвестных параметров). Итак, 





99

,

5

2

 

;

05

,

0

2



T



 

(прил. 1). 

4.  Вычислим 













k

i

i

i

i

в

np

np

n

1

2

2



.  Для  этого  сначала  вычислим  вероятности, 

попадания  исследуемой  случайной  величины  в  каждый  интервал,  согласно 

 

10 

гипотезе. В случае нормального распределения они вычисляются по формуле:

 

 

 

































 















s

x

x

s

x

x

x

X

x

P

p

i

i

i

i

i

1

1

 

 

 

. 

Тогда 





22

,

0

97

,

1

5

,

6

5

,

3

97

,

1

5

,

6

5

,

5

5

,

5

5

,

3

 











































X

P

, 

 





26

,

0

97

,

1

5

,

6

5

,

5

97

,

1

5

,

6

5

,

6

5

,

6

5

,

5

 











































X

P

, 

где 

 

x



 – функция Лапласа, значения которой приведены в прил. 2. 

Аналогично 





16

,

0

5

,

7

5

,

6

 







x

P

, 





16

,

0

5

,

8

5

,

7

 







x

P

,  





06

,

0

5

,

9

5

,

8

 







x

P

. 

Вычисления 

2



 удобно вести, фиксируя промежуточные результаты в таблице. 

 

i

n  

i

p  

i

np  

i

i

np

n



 





2

i

i

np

n



 





i

i

i

np

np

n

2



 

19 

0,22 

17,6 

1,4 

1,96 

0,11 

25 

0,26 

20,8 

4,2 

17,64 

0,85 

16 

0,26 

20,8 

4,8 

23,06 

1,11 

11 

0,16 

12,8 

1,8 

3,24 

0,25 

9 

0,08 

4,8 

4,2 

17,64 

3,89 

 

21

,

6

2



в



. Величина 

2

в



 равна сумме значений в последнем столбце таблицы. 

5.  Сравним 

2

в



  и 

2

T



  : 

99

,

5

21

,

6

2

2







T

в





.  Таким  образом,  при  выбранном 

уровне  значимости 

 

2

в



  принадлежит  критической  области 

k

V ,  а  значит 

гипотезу  о  нормальном  распределении  следует  отвергнуть.  Следует  отметить, 

что вероятность того, что мы ошибаемся, меньше 0,05. 

 

 

Пример  3. Результаты  наблюдений  случайной  величины  представлены в 

виде статистического ряда. 

 

i

x  

 

0 

1 

2 

3 

4 и более 

 

i

n  

54 

27 

14 

5 

0 

100

1









n

n

i

n

n

 

 

Решение. 1. Построим полигон относительных частот 













n

n

i

 - ломаную линию с 

вершинами в точках 













n

n

x

i

i

,

, рис. 5 (на рис. сплошная линия). 

 

11 

p

n

n

i

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     x  

 

 

 

      Рис. 5 

 

2.  По  виду  полигона  частот  можно  выдвинуть  предположение,  что  изучаемая 

случайная  величина  имеет  пуассоновский  закон  распределения,  т.  е. 















e

k

k

X

P

k

!

 Так как в законе Пуассона параметр равен математическому 

ожиданию, а его оценкой является величина 

__

x , то  









k

n

i

i

n

n

x

x

1

__



,  

7

,

0

100

0

4

3

3

14

2

27

1

54

,

0

__





















x

, 

и изучаемая случайная величина имеет закон распределения 

 

 





 

!

7

,

0

7

,

0

k

e

p

k

X

P

k

k









, 

 

 

 

 

 

        (6) 

где 

3

,

2

,

1

,

0



k

. 

3.  Зададимся  уровнем  значимости,  например, 

05

,

0





.  Последние  2  разряда, 

содержащие  мало  наблюдений  (нужно  5-10),  можно  объединить.  Определим 

 

r

T

,

2





   

2

1

1

4

1















m

k

r

, итак 





99

,

5

2

 

;

 

05

,

0

2



T



 (прил. 1). 

4. Вычислим 













k

i

i

i

i

в

np

np

n

1

2

2



. Для этого сначала вычислим вероятности 

k

p  

для каждого из четырех интервалов: 

 

5

,

0

!

0

7

,

0

5

,

0

0

0







e

p

,

 

35

,

0

!

1

7

,

0

7

,

0

1

1







e

p

, 

 

12

,

0

!

2

7

,

0

7

,

0

2

2







e

p

, 

03

,

0

12

,

0

35

,

0

5

,

0

1

1

2

1

3

















p

p

p

. 

 

Используя  полученные  вероятности,  построим  ломаную  с  вершинами  в 

точках 





i

i

p

x  

,

 

.  На  рис.  5  эта  ломаная  показана  пунктирной  линией. 

Вычисление 

2

в



 оформляем в виде таблицы. 

 

 

1 

2 

3 

4 

0,1 

0,2 

0,3 

0,4 

Полигон относительных частот 

0,54 

 

12 

i

n  

i

p  

i

np  

i

i

np

n



 





2

i

i

np

n



 





i

i

i

np

np

n

2



 

54 

0,5 

50

5

,

0

100





 

54-50=4 

16

4

2



 

32

,

0

50

16



 

27 

0,35 

35 

-8 

64 

1,83 

14 

0,12 

12 

2 

4 

0,33 

5 

0,03 

3 

2 

4 

1,33 

Величина 

2

в



 равна сумме величин в последнем столбце таблицы, т. е. 

2

в



=3,18. 

5.  Сравним 

2

в



  и 

2

T



. 

2

в



=3,18<

2

T



=5,99.  Таким  образом, 

2

в



  в  критическую 

область не входит. Делаем вывод: гипотеза опытным данным не противоречит.