Математические модели и методы, используемые в задачах управления тэс

3.4. Статическая оптимизация режимов работы
оборудования
П
(3.33)
рямой метод статической оптимизации. Пусть дана функция цели
V = g(y_i),
где — y_i У_i {i=1, 2, 3, ..., n} — переменные входных, выходных управляющих (задающих) воздействий, не зависящие от времени.
Переменные у_i связаны между собой m уравнениями или нера­венствами связи:


G₁(y₁, y₂, …, y_n) ≥ 0,
G
(3.34)
₂(y₁, y₂, …, y_n) ≥ 0,
. . . . . .
G_m(y₁, y₂, …, y_n) ≥ 0.
Требуется определить значения переменных у_i доставляющих минимум функции V.
Рассмотрим задачу поиска оптимума при ограничениях пере­менных в (3.33) только в форме равенств. В этом случае число уравнений m должно быть меньше n.
Вначале с помощью уравнений (3.34) в выражении V = g(y_i) ис­ключают m зависимых переменных, например у₁, y₂, …, у_m. Ос­тальные n-m переменных, т.е. y_m+1, y_m+2, …, y_n будут независи­мыми аргументами V.
Экстремум функции V определяют из условия равенства нулю ее частных производных по всем независимым переменным:

(3.35)

Число этих уравнений, равное n-m, соответствует числу неиз­вестных y_i, что дает возможность определить значения у_m+1, ..., y_n, соответствующие экстремуму функции V.
Остальные неизвестные у₁, y₂, …, у_m находят из уравнений (3.34). Если функция V дифференцируема, система уравнений (3.35) примет вид

(3.36)

. . . . . . . . .
где ∂V/∂y_m+1, ∂V/∂y_m+2 — частные производные от V, по у_i оп­ределяемые при постоянстве остальных независимых переменных у_m+1, ..., y_n, но при изменениях зависимых переменных у₁, y₂, …, у_m; ∂V/∂y₁, ∂V/∂y₂ ... — частные производные по y_i, определяемые при неизменности всех остальных переменных, как зависимых, так и независимых.
Для определения частных производных ∂y₁/∂y_m+1, ∂y₂/∂y_m+2 ... следует составить дополнительную систему уравнений с помо­щью дифференцирования исходного уравнения (3.34) по всем не­зависимым переменным:

(3.37)

. . . . . . . . .
Таких уравнений следует составить n–m и, решив каждое из них, определить все искомые частные производные, входящие в (3.36):
∂y₁/∂y_m+1, ∂y₂/∂y_m+2 ... и т.д.
Далее из систем уравнений (3.34) — (3.37) определяют значе­ния всех зависимых и независимых переменных , оп­ределяющих минимум функции v.
В качестве иллюстрации использования прямого метода стати­ческой оптимизации рассмотрим задачу экономического распреде­ления активной мощности между энергоблоками ТЭС.
Заданы:
ф
(3.38)
ункции цели (суммарные затраты по ТЭС — по расходу топлива):

о
(3.39)
граничение — уравнение баланса активных мощностей, на­грузки и потерь:

где B_Ti = f(N_i) — затраты по каждому энергоблоку; N_Н — суммар­ная электрическая нагрузка ТЭС; N_i — активные мощности от­дельных энергоблоков; N_П — потери мощности при передаче элек­троэнергии в пределах ТЭС (∆N_П = 0 для упрощения решения и ввиду малости потерь);
независимая переменная — мощность N_n (выбирается произвольно) .
Для решения поставленной задачи составляют условие дости­жения экстремума в целом в соответствии с (3.36):

(3.40)

. . . . . .
Далее составляется система уравнений типа (3.37) для опреде­ления частных производных ∂N_n/∂N₁, ∂N_n/∂N₂ ... :

(3.41)

. . . . . . .
откуда

(3.42)

Подставив выражение (3.42) в (3.40), получаем:

(3.43)

. . . . .
отсюда

(3.44)

Так как суммарные затраты на ТЭС определяются по уравне­нию (3.38) , в котором В_Тi — затраты i-го энергоблока, зависящие только от N_i, то условия экстремума (минимума затрат) для фун­кции цели (3.38) принимают вид:

(3.45)

Частная производная от затрат (издержек) по активной мощ­ности характеризует приращение топливной составляющей при изменениях мощности установки и называется в дальнейшем от­носительным приростом

(3.46)

График относительного прироста ε_i = f(N_i) строят по расходной характеристике, представляющей собой зависимость часовых за­трат от активной мощности установки В_{т i} = f(N_i).
В отличие от относительного прироста удельный расход топлива (см. (3.29)), определяемый по расходной характеристике, — от­ношение абсолютного расхода топлива ко всему количеству отпу­щенной электроэнергии:

(3.47)

Графики функций B_i = f(N_i) и b^H_i = f(N_i) для двух блоков при­ведены на рис. 3.6.
Из графических построений, проделанных на этом рисунке в соответствии с (3.46) и (3.47), следует, что при малых нагрузках b > ε. П о мере роста нагрузки b снижается до b_min, a ε возрастает. Оптимум нагру­зочного режима по расход­уй характеристике B_i = f(N₁) расположен в точке N^ОПТ₁, в которой ε = tg α = = tg β, т.е. ε_опт = b_1min.
М
Рис. 3.6. Расходные характеристики энерго­блоков N₁=f(N₁) и N₂=f(N₂)
етод множителей Ла­гранжа. При наличии мно­гих переменных нахожде­ние экстремума функции цели существенно упроща­ют при использовании ме­тода множителей Лагранжа. Непременным условием его применения служит наличие допол­нительных связей между оптимизируемыми параметрами, заданных в виде уравнений типа (1.6), (3.39) и др.
Введем понятие функции Лагранжа

(3.48)

где Λ — конечное множество множителей Лагранжа; λ ={ λ_j} Λ, j ={j[1, 2, ..., m]}; Y — конечное множество переменных у ={y_i} Y, i ={i[1, 2, ..., n]} (i ≠ j).
Отличие метода множителей Лагранжа от прямого метода со­стоит в том, что вместо экстремума функции цели V от n пере­менных, связанных между собой m соотношениями (3.34), находят экстремум функции Лагранжа (3.48). Для этого исходные уравнения (3.33) и (3.34) дополняют системой уравнений из час­тных производных функций Лагранжа по n переменным:

(3.49)

. . . . .
Из n уравнений (3.49) и m уравнений связи (3.34) составляют n+m уравнений, что соответствует общему числу неизвестных, включая n искомых переменных и m множителей Лагранжа.
Из полученной на основе (3,34) и (3.49) системы уравнений оп­ределяют и . Найденные значения и будут соответствовать экстремуму функции .
Чтобы полученный экстремум был действительно минимумом функции цели V, необходимо проверить знак второй производной функции Лагранжа по у_i.
Если то найденный экстремум будет минимумом функ­ции цели V, а и — решением задачи оптимизации.
Воспользуемся методом Лагранжа для решения задачи опти­мального распределения активных нагрузок между параллельно работающими энергоблоками ТЭС при тех же условиях, что и ра­нее, т.е. заданы уравнения суммарных затрат и баланса активных мощностей (3.38) и (3.39).
Составим для них функцию Лагранжа

(3.50)

Вычислим частные производные от L по N_i и составим условия экстремума для (3.50):

(3.51)

Перепишем (3.50) в виде системы уравнений из частных про­изводных по переменным Nf от функции Лагранжа:

(3.52)

где

Перепишем систему (3.52) в следующем виде:

(3.53)

. . .

откуда

(3.54)

Теперь, подставив в выражение (3.54) B_тi вместо В_T∑ (поскольку составляющие затрат B_тi по отдельным энергоблокам не зависят от изменения мощности других блоков) , получим:

(3.55)

Выражение (3.55), идентичное (3.45), является условием экстре­мума функции затрат в форме постоянного множителя Лагранжа.
Теперь убедимся, что условие (3.55) действительно обеспечива­ет минимум затрат. Для этого определим знак второго дифферен­циала функции Лагранжа:

(3.56)

где

(3.57)

Вторые смешанные частные производные в (3.57) всегда равны нулю, так как относительный прирост мощности одного агрегата не зависит от мощности второго или любого другого. Следовательно,

(3.58)

Аналогично можно написать выражение для d²G₁. Для этого продифференцируем уравнение баланса мощностей (уравнение связи (3.39)):

(3.59)

Так как ∂G₁/∂N₁ = 1, то∂²G₁/∂N²₂ = 0.
Вторые смешанные производные также будут равны нулю:

Следовательно, условие d²L ≥ 0 соблюдается, если

(3.60)

Условие (3.60) всегда выполняется при выполнении условия (3.56). На основании (3.56) и (3.60) уточним условия экономич­ного распределения активных нагрузок для энергоблоков ТЭС.

Минимум суммарных затрат обеспечивается равенством относительных приростов ε_i, если неубывающие функции отдельных энергоблоков возрастают по крайней мере у одного из них с увеличением суммарной активной мощности ТЭС.
Технико-экономическое значение принципа равенства относи­тельных приростов ε_i как условия оптимального распределения ак­тивной мощности поясним на примере двух энергоблоков одина­ковой мощности, имеющих различные характеристики относитель­ных приростов ε₁ = f(λ_ЭБ1) и ε₂ = f(λ_ЭБ2) приведенных на рис. 3.7.
Предположим, что в соответствии с задачей статической опти­мизации требуется найти экономичное распределение нагрузки 1 и 2 между собой двумя произвольно нагруженными энергобло­ками без изменения суммарной нагрузки ТЭС.
Р ис. 3.7. Характеристики относительных приростов и распределения нагрузок для двух энергоблоков
относительные мощности энергоблока и ГЭС;
— относительная мощность энергоблока, приведенная к суммарной максимальной мощности ТЭС.
Если ε'₁ < ε'₂, то выгоднее увеличивать активную мощность пер­вого агрегата с меньшим ε'₁ (с λ'₁ до λ "₁) и снижать у второго с большим значением ε'₂ (с λ'₂ до λ "₂). При этом изменяются за­траты (издержки): для первого блока увеличиваются на ∆И₁ = ε''₁∙∆λ₁, для второго — уменьшаются на ∆И₂ = ε'₂∙∆λ₂. Сум­марный прирост затрат по двум блокам составит:
∆И₁ – ∆И₂ = ∆λ₂(ε'₁ – ε'₂)< 0.
Следовательно, произойдет снижение общих затрат, что приве­дет к экономии топлива. Перераспределение мощности экономи­чески выгодно продолжать до тех пор, пока относительные прирос­ты не сравняются. При этом λ₁ возрастет на ∆λ₁, а λ₂ уменьшится на ∆λ₂, Режим равенства ε''₁ = ε''₂ будет оптимальным и в случае любого числа агрегатов (см. (3.45)). Реальные расходные харак­теристики энергоблоков и ТЭС — сложные функции B_i=f(N_i), иног­да с изломами. В последнем случае ε_i = f(λ_i) будут иметь скачки, которые обычно соответствуют открытию дополнительных регули­рующих клапанов турбины. В точке разрыва функции ε_i = f(λ_i) от­носительный прирост ε_i имеет два значения: больший соответству­ет росту нагрузки, меньший — снижению.
Принцип равенства относительных приростов сохраняется и для агрегатов с характеристиками ε = f(λ_i), имеющими скачки.
По характеристикам относительных приростов энергоблоков можно построить характеристику относительного прироста ТЭС в Целом и зависимости относительных нагрузок каждого блока, при­веденных к суммарной максимальной мощности ТЭС (λ^*₁, λ^*₂), от распределяемой между ними суммарной относительной нагрузки ТЭС. Эти графики для ТЭС, состоящей из двух блоков одинаковой мощности, также приведены на рис. 3.6:
λ_ТЭС = 1/2( λ_ЭБ1+ λ_ЭБ2) = λ^*_ЭБ1+ λ^*_ЭБ2
Зависимости λ_ЭБi = f(λ_i) и ε_ТЭС = f(λ) используют в качестве исходных данных в задачах оптимизации режимов энергоблоков, ТЭС и энергосистем.
Один из практических способов нахождения экономичного рас­пределения активных нагрузок требует представления графиков ε = f(N) в виде таблиц, содержащих координаты точек ε_ЭБ или ε_ТЭС изменяющиеся в направлении роста нагрузок. Такие табли­цы составляют для каждой энергосистемы или ТЭС. Они находят­ся в распоряжении дежурного оператора (диспетчера). Значения ε обычно изменяются в пределах 0,25 — 0,3; N_i = 0,3N_HOMi — N_HOMi.
Распределение нагрузок по относительным приростам

Каждая горизонтальная строка таблицы показывает, как долж­на быть распределена задаваемая суточным графиком суммарная нагрузка ЭС или ТЭС между отдельными ТЭС или энергоблока­ми. В тех случаях, когда значение распределяемой нагрузки N_HI лежит между двумя строками, отвечающими смежным числам ε_i-1, i или ε_i+1, наивыгоднейшим будет распределение, при кото­ром нагрузки отдельных установок не выходят за пределы сум­марной нагрузки N_HI. Последнее, в свою очередь, должно удовлет­ворять условию энергетического баланса генерируемых и потреб­ляемых мощностей в системе (ТЭС) без учета потерь:

(3.61)

При расчетах по таблице экономичного распределения актив­ных нагрузок можно использовать ЭВМ. Для этого координаты то­чек графика ε_i = f(λ_i), взятые из таблицы, вводят в машину и об­рабатывают по соответствующей программе в следующем порядке:
записывают k-й номер ТЭС (энергоблока), для которой необхо­димо вычислить N_k;
вводят в рабочие ячейки ЭВМ значения N_k в зависимости от ε;
определяют значение N_k по заданному значению ε_k;
прибавляют найденное значение N_k к сумме мощностей установок (для k = 1 — прибавляют к нулю);
сравнивают номер установки k с числом n, при этом могут быть два случая:
k – n < 0; — в этом случае к значению k надо прибавить 1 и возобновить счет со второго пункта программы; при этом находится мощность k+1 установки, которая записывается в предназначенную для нее ячейку промежуточных результатов и прибавляется к сумме (счет продолжают до тех пор, пока не будут вычислены N_i для всех установок);
k – n = 0; — это означает, что счет закончен, т.е. вычисление N_i окончено для всех установок при заданном ε и вычислены ;
вычисляют ошибку определения суммарной мощности по фор­муле баланса мощностей (3.61).
Если ошибка ∆N превысит допустимое для данной ЭС или ТЭС значение, то процедуру расчета повторяют снова.
Рассмотренный порядок вычислений (алгоритм расчета) изо­бражен на рис. 3.8.
Фактические нагрузки энергоблоков ТЭС, устанавливаемые по принципу равенства относительных приростов i, будут соответст­вовать своим оптимальным значениям лишь при условии совпаде­ния расчетных (аппроксимированных) и реальных расходных ха­рактеристик B_Ti = f(N_i). Для соблюдения этого условия необходимо периодически осуществлять опытную проверку B_Ti = f(N_i) и ε_i = f(N_i) с целью коррекции их математических моделей и сво­евременного внесения поправок в расчеты по оптимальному рас­пределению нагрузок между энергоблоками.
Иногда в задачах оптимизации распределения активных нагру­зок решающую роль играют не относительные приросты, а другие факторы. Например, при ограниченных запасах топлива на ТЭС может быть задано его количество, которое должно быть израсходовано в строго установленный промежуток времени на данной ТЭС. На­оборот, на других ТЭС может возникнуть необходимость большего расхода топлива, чем это требуется по условиям экономич­ного распределения, исходя из принципа равенства о тносительных приростов.
В таких случаях следует использовать графики и таблицы относительных приро­стов, скорректированные с помощью мно­жителя К.
При К > 1 выработка электроэнергии и расход условного топлива на ТЭС с ограниченными топливными ресурсами уменьшаются, а при К< 1 — увеличиваются. Обычно значения К устанавливают для каждой ТЭС или ЭС в зависимости от конкретных условий топливоснабжения и распределения выработанной электроэнергии. Прямой метод решения задачи статической оптимизации и метод множителей Лагранжа основаны на определении частных производных минимизирующей функции и приравнивании их к нулю. Они достаточно сложны, но позволяют пользуясь отработанной методикой, решить задачу статической оптимизации на основе исходного уравнения функции цели и ограничений, заданных в виде равенств.
О
Рис. 3.8. Алгоритм расчета экономического распреде­ления нагрузок между па­раллельно работающими энергоблоками (ТЭС)

днако оба метода дают возможность определить экстремум функции цели V, если он лежит внутри области допустимых из­менений переменных y_i, но не на границе. Между тем многие пе­ременные параметры энергоблоков и ТЭС имеют свои оптималь­ные значения вблизи границ допустимых измерений, что затруд­няет составление системы уравнений в частных производных. Это относится к таким переменным, как активная мощность, темпе­ратура пара по тракту котла. Кроме того, аргументы y_i в системе уравнений (3.37) — (3.59) считают независимыми, в то время как они чаще всего взаимосвязаны. Поэтому для решения задач опти­мизации приходится применять приближенные методы, лишенные отмеченных недостатков.

Метод слепого поиска. Метод состоит в просмотре (переборе) значений переменных параметров y_i в зоне допустимых, чаще все­го эксплуатационных, изменений с целью сопоставления факти­ческих значений функции цели между собой и выявления ее эк­стремума. При этом процесс определения экстремума V практичес­ки не сопровождается последовательным улучшением промежу­точных результатов управления.
К поиску экстремума этим методом также может быть привле­чена ЭВМ. Для этого зоны поиска упорядочивают по критерию эффективности методом "пространственной сетки", в котором пре­дусматривают разделение зоны эксплуатационных изменений y_i на равные отрезки (дискретизация по уровню) по каждому из па­раметров (рис. 3.9). Значения функции цели на каждом из отрез­ков y_i образует ее новую дискретную область — пространственную сетку, чем существенно сжимается объем информации об объекте

Рис. 3.9. Метод пространственной сетки
В процессе последовательного расчета и запоминания v_i ее новые численные значения сравнивают с минимальными из ранее рас­смотренных. При этом длину отрезков дискретизации y_i уменьша­ют по мере приближения к зоне оптимума, в результате чего вы­бирают зону дискретных значений y_i , находящихся вблизи экс­тремума функции цели v. Варианты сочетаний y_i, не удовлетворя­ющие тем или иным ограничениям, принятым в процессе эксплуа­тации, из сопоставления исключают.
Преимущество слепого поиска — в его простоте, что особенно удобно при установившемся режиме работы оборудования и срав­нительно небольшом количестве варьируемых параметров y_i. Од­нако у этого метода есть недостаток, который состоит в том, что приходится рассчитывать все (иногда непомерно многие) вариан­ты сочетаний y_i, влияющих на v_i. При этом сам процесс поиска может затянуться во времени и потерять смысл, в особенности при изменении режима работы оборудования по нагрузке.
Методы направленного поиска. В отличие от слепого метод на­правленного поиска предусматривает использование в вычисли­тельном процессе результатов текущего или предыдущего шага (этапа) для определения направления и значения последующего изменения y_i. При этом численное значение оптимизирующей функции v_i с каждым шагом уменьшается в случае поиска ее ми­нимума. Тем самым при направленном поиске вместо перебора большого количества вариантов расчета v_i делают расчет и сопо­ставление сравнительно малого их числа, что существенно умень­шает время счета.