Математическое ожидание

Cвойства математического ожидания:

1. 
   Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
   
2. 
   Математическое ожидание может быть как положительным, так и отрицательным числом.
   
3. 
   Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной. М (С) = С.
   
4. 
   Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.
   

M(X+Y+...+W)=M(X)+M(Y)+...+M(W).
2) Дисперсия D(X) дискретной случайной величины Х – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:

D(X) = M [X – M(X)]^2.

(5.5)

Формула (5.5) после возведения в степень и преобразований имеет вид:

D(X) = M (X^2) – [M(X)]^2.

(5.6)

Свойства дисперсии:

1. 
   Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.
   
2. 
   Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю: D (С) = 0.
   
3. 
   Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СX)=С²×D(X).
   
4. 
   Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией: D(X +Y)=D(X)+D(Y).
   

3) Среднее квадратическое отклонениеs(Х) дискретной случайной величины Х определяется формулой (5.2). Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина.
Случайная величина называется центрированной, если математическое ожидание M(X)=0, и стандартизированной, если M(X)=0 и среднее квадратическое отклонение s=1.

ПОЛНОЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Собственно, продолжаем. Рассмотрим зависимое событие  , которое может произойти лишь в результате осуществления одной из несовместных гипотез  , которые образуют полную группу. Пусть известны их вероятности  и соответствующие условные вероятности  . Тогда вероятность наступления события  равна:

Эта формула получила название формулы полной вероятности. В учебниках она формулируется теоремой, доказательство которой элементарно: согласно алгебре событий

формула Байеса представляет собой отношение произведения вероятности одного из событий системы на условную вероятность этого события относительно соответствующего события системы к полной вероятности наступления события A с учётом всех событий системы.
То есть, по формуле Байеса вероятность, как и в самых простых случаях, вычисляется как отношение "одного ко всем":
.Видим, что знаменатель в этой формуле - ничто иное, как полная вероятность события A, а числители для каждого отдельного случая равны первому, второму, и так далее до n-го слагаемому суммы, находящейся в знаменателе.
Формула Байеса может быть также записана в виде
.




Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A, причем известна вероятность этого события P(A) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.
Задачи, которые решаются по схеме Бернулли, чрезвычайно разнообразны: от простеньких (типа «найдите вероятность, что стрелок попадет 1 раз из 10») до весьма суровых (например, задачи на проценты или игральные карты). В реальности эта схема часто применяется для решения задач, связанных с контролем качества продукции и надежности различных механизмов, все характеристики которых должны быть известны до начала работы.
Вернемся к определению. Поскольку речь идет о независимых испытаниях, и в каждом опыте вероятность события A одинакова, возможны лишь два исхода:

1. 
   A — появление события A с вероятностью p;
   
2. 
   «не А» — событие А не появилось, что происходит с вероятностью q = 1 − p.
   

Важнейшее условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство. Сколько бы опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A, которое возникает с одной и той же вероятностью p.
Между прочим, далеко не все задачи в теории вероятностей сводятся к постоянным условиям. Об этом вам расскажет любой грамотный репетитор по высшей математике. Даже такое нехитрое дело, как вынимание разноцветных шаров из ящика, не является опытом с постоянными условиями. Вынули очередной шар — соотношение цветов в ящике изменилось. Следовательно, изменились и вероятности.
Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных.

ПЛОТНОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х есть функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).
Плотность распределения вероятностей может быть представлена графиком кривой.

Эта кривая обладает следующими свойствами: 
а) лежит не ниже горизонтальной оси, 
б) площадь между кривой и горизонтальной осью равна единице. 
Вероятности события  соответствует площадь под кривой (выше горизонтальной оси) между точками  Синоним: density function – плотность распределения, плотность вероятности.
Плотность распределения случайной величины X определяется по формуле f(x)=F′(x). Существует только для непрерывной случайной величины. Для нее выполняется условие нормировки (площадь под кривой вероятности равна 1): ∫+∞−∞f(x)dx=1.

Свойства плотности
Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины (помимо функции распределения) является плотность распределения вероятностей.
Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины  называется первая производная от ее функции распределения.
Обозначается плотность распределения непрерывной случайной величины через  или  .
Таким образом, по определению
. (1)
Функция  называют также дифференциальной функцией распределения; она является одной из форм закона распределения непрерывной случайной величины.

Вероятный смысл мат ож
Пусть произведено N испытаний, в которых случайная величина X приняла M1 раз значение X1, M2 раз значение X2 ,…, Mk раз значение Xk , причем M1 + M2 + …+ Mk = N. Тогда сумма всех значений, принятых X, равна X1 M1 + X2 M2 + …+ Xk Mk.
Среднее арифметическое  всех значений, принятых случайной величиной, будет
,
Или

Отношение Mi/N - относительная частота Wi значения Xi Приближенно равно вероятности появления события Pi, где  , поэтому

Или

Вероятностный смысл полученного результата таков: Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) Среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Диспресесия дискрет случайной величины
Для величины, являющейся случайной, дисперсия может быть вычислена согласно типовой формуле, при этом её обозначение D(X), где Х — обозначение случайной величины. Типовая формула для определения значения дисперсии выглядит следующим образом
D(X)= M [(X-V [х] )2] 
Другой параметр, который наряду с дисперсией также важен для анализа систем, рассматриваемых в Теории вероятностей, называется средним квадратическим отклонением. Параметр также относится к случайной величине и математически представляет собой квадратный корень из дисперсии:
Omega(X)= √D(X)
Как найти дисперсию дискретной случайной величины?