Matematik analiz” fani bo’yicha “chiziqli funksionallar va ularga bog’liq misollar yechish

algebralari sohasining asosiy qismini tashkil qilib,
Respublikamizda keng rivojlantirilmoqda. Toshkent funksional analiz maktabi vakillarining ko‘plab ilmiy tadqiqotlari, oxirgi 20-30 yil davomida ushbu yo‘nalishga aloqador bo‘lib, aytish mumkinki ko‘plab, chuqur va muhim natijalar olindi. Banax algebralari nazariyasi bakalavrlar tayyorlash dasturiga kiritilmagan mavzu bo‘lib, magistrlar uchun esa tanishtiruv, umumiy tushunchalarni berish sifatida ozgina bilan yaxshiroq tanishish va tanishtirish, hamda undagi ba’zi yechilmagan masalalarga e’tibor berish nazarda tutilgan. Ma’lumki, Banax algebralarining paydo bo‘lishida
operatorlar algebrasi asosiy rol o‘ynagan.
Odatda, X chiziqli fazoni Y chiziqli fazoga aks ettiruvchi
barcha chiziqli operatorlar to‘plamini L(X,Y) orqali belgilanadi va
u chiziqli fazo bo‘ladi

1.1 Chiziqli fazolar
Chiziqli fazo ta’rifi, misollar
Ta’rif. Biror bo‘sh bo‘lmagan L to‘plamning ixtiyoriy ikki 𝑥 va 𝑦 elementi uchun qo‘shish amali “+” aniqlangan bo‘lib, unga nisbatan L kommutativ gruppa hosil qilsin, ya’ni
1. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥;
2. 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧;
3. L ning barcha elementlari uchun 𝑥 +  = 𝑥 shartni qanoatlantiruvchi va nol deb ataluvchi  element mavjud.
4. L da har qanday 𝑥 element uchun 𝑥 + (−𝑥) =  shartni qanoatlantiruvchi va 𝑥 elementga qarama-qarshi element deb ataluvchi (– 𝑥) element mavjud. Bulardan tashqari, har qanday  ∈ 𝑅 son va 𝑥 ∈ 𝐿 element uchun ularning ko‘paytmasi deb ataladigan 𝛼𝑥 ∈ 𝐿 element aniqlangan bo‘lib, quyidagilar o‘rinli bo‘lsin:
5. (𝑥) = ();
6. 1𝑥 = 𝑥;
7. ( + ) = 𝑥 + 𝑥;
8. (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 𝑦.
Agar L to‘plamda aniqlangan bu ikki amal uchun 1 - 8 shartlar bajarilsa, u holda L to‘plam haqiqiy sonlar ustidagi chiziqli yoki vektor fazo deyiladi.
Misollar. 1) R haqiqiy sonlar to‘plami, odatdagi qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli vazo bo‘ladi.
2) C kompleks sonlar to‘plami, unda kiritilgan qo‘shish va haqiqiy songa ko‘paytirishga nisbatan chiziqli fazo bo‘ladi.
3) Elementlari haqiqiy sonlar bo‘lgan n satr va m ustunli matritsalar to‘plami, mos elementlarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo hosil qiladi.
Elementlari funksiyalar yoki sonli ketma-ketliklar bo‘lgan chiziqli fazolar funksional fazolar deyiladi.


Chiziqli bog‘liqlik. Qism fazo .
Ta’rif. Agar L chiziqli fazoning 𝑥, 𝑦, . . . , 𝜔 elementlari uchun shunday 𝛼, 𝛽, … , 𝜆 sonlar topilib, ularning kamida biri noldan farqli bo‘lib, ushbu
𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + ⋯ + 𝜆𝜔=0 (1)
munosabat bajarilsa, 𝑥, 𝑦, . . . , 𝜔 elementlar chiziqli bog‘liq deyiladi. Aks holda bu elementlar chiziqli erkli deyiladi, ya’ni 𝑥, 𝑦, . . . , 𝜔 elementlar uchun (1) munosabat faqat 𝛼 = 𝛽 = ⋯ = 𝜆 = 0 bo‘lganda bajarilsa, 𝑥, 𝑦, . . . , 𝜔 elementlar chiziqli erkli deyiladi.
L chiziqli fazoda elementlarining soni cheksiz bo‘lgan 𝑥, , … sistemaning har qanday chekli sondagi elementlari chiziqli erkli bo‘lsa, u holda berilgan sistema chiziqli erkli deyiladi.