Matematik analiz” fani bo’yicha “chiziqli funksionallar va ularga bog’liq misollar yechish
Chiziqli funksional normasi. Qo’shma fazo. Chiziqli funksionallarning sust yaqinlashuvi
Download 59.1 Kb.
|
To\'raboyev kurs ishi
|
2.2 Chiziqli funksional normasi. Qo’shma fazo. Chiziqli funksionallarning sust yaqinlashuvi
Aytaylik, E normalangan fazo va f undagi uzluksiz chiziqli funksional bo‘lsin. Quyidagicha aniqlangan ‖𝑓‖ = son, ya’ni |(𝑥)| qiymatlarning birlik shardagi aniq yuqori chegarasi bo‘lgan son f funksionalning normasi deyiladi. 1 - misol. 𝑅 da 𝑓(𝑥) = 𝑥 funksional normasini hisoblang. ‖𝑓‖ = = ≤ ≤ |𝛼| = |𝛼|. Demak, ‖𝑓‖ ≤ |𝛼|. Agar 𝑥 = 1 bo‘lsa, u holda (𝑥) = 𝛼 va ‖𝑓‖ = |𝛼| bo‘ladi. 2-misol. 𝐶[𝑎, 𝑏] fazoda aniqlangan 𝑓(𝑥) = chiziqli funksionalning normasini hisoblang. ‖𝑓‖ = = ≤ ≤ 𝑏 − 𝑎, 𝑥 ≡ 1 bo‘lsa, 𝑓(𝑥) = 𝑏 − 𝑎 tenglik o‘rinli bo‘ladi. Demak, ‖𝑓‖ = 𝑏 − 𝑎. Chiziqli funksionallar uchun qo‘shish va songa ko‘paytirish amallarini quyidagicha kiritamiz. Aytaylik, E biror chiziqli fazo, 𝑓1 va 𝑓2 undagi ikki chiziqli funksional bo‘lsin. Ularning 𝑓1 + 𝑓2 yig‘indisi va songa ko‘paytirish amallari, ixtiyoriy 𝑥 ∈ 𝐸 uchun 𝑓 (𝑥) 𝑓1(𝑥) + 𝑓2(𝑥) va 𝑓 (𝑥) 𝑓1(𝑥) munosabatlar bilan aniqlanadi. Bu tengliklarni tushunarli bo‘lishi uchun (𝑓1 + 𝑓2)(𝑥) 𝑓1(𝑥) + 𝑓2(𝑥) va (𝑓1)(𝑥) 𝑓1(𝑥) kabi yozamiz. Demak, 𝑓1 + 𝑓2 va 𝑓1 lar ham chiziqli funksionallardir. Bu amallarga nisbatan chiziqli funksionallar to‘plami chiziqli fazo hosil qilishi ravshan. Shuningdek, E normalangan fazodagi 𝑓1 va 𝑓2 funksionallarning uzluksizligidan 𝑓1 + 𝑓2 va 𝑓1 larning uzluksizligi kelib chiqadi. Kelgusida, E da aniqlangan barcha uzluksiz chiziqli funksionallar fazosini E* orqali belgilaymiz va u E ga qo‘shma fazo deyiladi. Aytaylik E normalangan fazo bo‘lsin. 4-ta’rif. Agar E dan olingan {𝑥n} elementlar ketma-ketligi va ixtiyoriy f uzluksiz chiziqli funksional uchun {(𝑥n)} sonlar ketma-ketligi (𝑥0) ga yaqinlashsa, ya’ni (𝑥n) → (𝑥0) munosabat bajarilsa, u holda {𝑥𝑛} ketma-ketlik 𝑥0 elementga sust yaqinlashadi deyiladi. Bu holda 𝑥0 element { n } ketma-ketlikning sust limiti deyiladi. 4-teorema. { n } ketma-ketlikning sust limiti yagona bo‘ladi. Isbot. Aytaylik, ixtiyoriy f uzluksiz chiziqli funksional uchun {(𝑥n)} → (𝑥0) va {(𝑥n)} → (𝑦0) bo‘lsin. U holda (𝑥0) = (𝑦0), bundan (𝑥0− 𝑦0) = 0 bo‘ladi. Agar 𝑥0≠ 𝑦0 deb faraz qilsak, u holda Xan-Banax teoremasi natijasiga ko‘ra E da shunday 𝜑 uzluksiz chiziqli funksional mavjud bo‘lib, 𝜑(𝑥0− 𝑦0) ≠ 0 bo‘ladi. Bu esa ixtiyoriy f uzluksiz chiziqli funksional uchun (𝑥0− 𝑦0) = 0 ekanligiga zid. Demak, 𝑥0= 𝑦0. Quyidagi tasdiq o‘z-o‘zidan ravshan. 5-teorema. Agar { n } ketma-ketlik 𝑥0 ga sust yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlikning ixtiyoriy qism ketma-ketligi ham 𝑥0 ga sust yaqinlashadi. Sust yaqinlashishdan farq qilish uchun 𝐸 fazodagi normaga nisbatan yaqinlashishni kuchli yaqinlashish deyiladi. Ravshanki, kuchli yaqinlashishdan sust yaqinlashish kelib chiqadi. 6-teorema. 𝑅n fazoda sust yaqinlashish kuchli yaqinlashish bilan ustma – ust tushadi. Isbot. Sust yaqinlashishdan kuchli yaqinlashish kelib chiqishini ko‘rsatish yetarli. Aytaylik, 𝑅n fazoda 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒n ortonormal bazis va {𝑥k } ketma-ketlik (bu yerda ) biror 𝑥 ∈ 𝑅n elementga (bu yerda ) sust yaqinlashuvchi bo‘lsin. 𝑅n fazoda quyidagicha aniqlangan 𝑓j chiziqli funksionalni qaraymiz: U holda teorema shartiga ko‘ra 𝑘 → ∞ da quyidagi munosabatlarni yozishimiz mumkin: = → = , 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛. ya’ni { } ketma-ketlik 𝑥 elementga koordinatalar bo‘yicha yaqinlashadi. Demak, 𝑘→ ∞ da ya’ni { } ketma-ketlik 𝑥 ga kuchli yaqinlashadi. Bundan ko‘rinib turibdiki, sust yaqinlashishdan kuchli yaqinlashish kelib chiqadi. 𝐻 Gilbert fazosida ixtiyoriy uzluksiz chiziqli funksional skalyar ko‘paytma ko‘rinishida ifodalanishi hamda skalyar ko‘paytmaning uzluksizligidan quyidagi tasdiqning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. 7-teorema. 𝐻 Gilbert fazosida { } ketma-ketlik biror 𝑥 elementga sust yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun ixtiyoriy 𝑦 ∈ 𝐻 elementga nisbatan ushbu ( ,𝑦)→(𝑥, 𝑦) munosabat bajarilishi zarur va yetarli. Endi 𝑙2 fazoda sust yaqinlashishni qaraymiz. Ma’lumki, 𝑙2 fazoda ortonormal bazis sifatida ushbu 1=(1, 0, 0, … ), 𝑒2= (0, 1, 0, … ) vektorlar sistemasini olish mumkin. 7-teoremadagi 𝑦 sifatida 𝑒i larni olsak, biror { } ketma-ketlikni 𝑥 ga sust yaqinlashishidan quyidagi munosabatlar kelib chiqadi: (i)= ( , 𝑒i ) → (𝑥, 𝑒i) = 𝑥(i) , 𝑖 = 1, 2, … (3) ya’ni sust yaqinlashuvchi ketma-ketlik koordinatalar bo‘yicha ham shu elementga yaqinlashuvchi bo‘ladi. Shunday qilib, 2 fazoda sust yaqinlashish koordinatalar bo‘yicha yaqinlashish bilan teng kuchlidir. Shuni ham aytib o‘tish kerakki, 𝑙2 fazoda sust yaqinlashish kuchli yaqinlashishdan farq qiladi. Masalan, {𝑒k} ketma-ketlik 𝑙2 fazoda nol vektorga sust yaqinlashadi, chunki ixtiyoriy 𝑦 = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦n, … ) ∈ 𝑙2 element uchun (𝑦, 𝑒k) = 𝑦k → 0, 𝑘 → ∞. Ammo ixtiyoriy 𝑛 uchun ‖𝑒k‖ = 1 ↛ 0, ya’ni {𝑒k} ketmaketlik nolga kuchli yaqinlashmaydi. 8-teorema. {𝑥𝑛} ketma-ketlik 𝑥0 elementga sust yaqinlashishi uchun 1) {‖𝑥n‖} ketma-ketlik chegaralangan; 2) chiziqli kombinatsiyasi 𝐸* da zich bo‘lgan biror uzluksiz chiziqli funksionallar to‘plamidan olingan ixtiyoriy 𝑓 funksional uchun 𝑓(𝑥n) → 𝑓(𝑥0) bo‘lishi zarur va yetarli. XULOSA
yoritildi. Mavzuni yoritishda ko’plab adabiyotlar va qo’llanmalardan foydalanildi. Kurs ishi kirish qism,asosiy qism,foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati va xulosadan iborat bo’ldi. Asosiy qism esa 2 ta bobga, 2 ta bob esa 6 qismga bo’lingan holda yozildi . Birinchi qismda chiziqli fazolar mavzusi o’rganildi. Ikkinchi qismda normallangan fazolar, uchinchi qismda evklid fazolar, 4-qismda esa gilbert fazolar mavzusi yoritildi . Ushbu kurs ishidagi mavzularni o’rganishda men matematik analiz faniga oid kitoblarni yanada ko’proq o’rgandim. Chiziqli funksionallar va ularga bog’liq misollarini ishlanishini o’rgandim va shu mavzuga doir misollarni kurs ishiga kiritdim. Oliy matematikaning ushbu qismini o’rganish mobaynida men chiziqli fazolar, normallangan fazolar, Evklid va Gilbert fazolar, chiziqli funksional uzluksizligi, chiziqli funksional normasi, Qo’shma fazo chiziqli funksionallarning sust yaqinlashuvi mavzulari bilan tanishdim . Chiziqli funksionallar uzliksizligini muhimligini e’tiborga olib ,ular haqida bazi ma’lumotlarni keltirishni lozim topdim. .Ma’lumki uzluksizlik matematik analizning muhim tushunchalaridan biri hisoblanadi. Matematik analiz fanining normallangan chiziqli funksionallar va chiziqli funksional normasi bo’limlarini o’zlashtirishda talabalar ancha qiyinchiliklarga duch keladilar. Mazkur kurs ishini yozishda talabalarda ko’rsatilgan bo’limlarga oid misol va masalalarni samarali yo’l bilan yechish ko’nikmalari hosil qilishni o’z oldimga maqsad qilib qo’ydim va kurs ishi talabalar uchun doimiy maslahatchi bo’lib qolishiga umid qilaman. Kadrlar tayyorlash milliy dasturiga muvofiq, keyingi yillarda ta’lim jaroyinining mazmunini tubdan takomillashtirish va talabalarning shu fanni o’rganishda qulayliklar tug’tirish bo’yicha katta ishlar qilinmoqda . Ilim fanning yanada rivojlanishiga katta e’tibor berilmoqda . O’zbekiston Respublikasi mustaqillikka erishganidan so’ng ,ta’lim tarbiya tizimidagi islohotlar boshlangandan keyingi yillarda prezidentimiz Islom Karimov jahon tarjibasi va hayotda o’zini ko’p bor oqlagan haqiqatdan kelib chiqib , “Agar bu maqsadlarimizni muvaffaqiyatli ravishda amalga oshirsak ,hayotimizda ijobiy ma’nodagi yangi ta’lim modelining kuchli samarasiga erishamiz “, degan fikrni bildirgan edi . Boshqa tabiiy fanlar qatori matematika fani o’zining ko’plab amaliy tadbiqlariga ega bo’lgan murakkab fanlardan biri bo’lib ,bu sohadan muhim ilmiy yangiliklar kashf qilinmoqda . O’zbekiston Respublikasi taraqqiyotida xalqning boy ma’naviy salohiyati va ilmi, texnikasi va texnologiyasining so’nggi yutuqlariga asoslangan mukammal ta’lim tizimini barpo etish dolzarb ahamiyatga ega . Xulosa qilib aytganda , ushbu kurs ishida o’rganilgan funksional qatorlar va funksional ketma ketliklar nazariyasi mavzusi amaliy ahamiyatga ega bo’lgan ,matematik analiz fanidagi muhim mavzulardan bo’lib , undan universitetdagi fizika, matematika va informatika yo’nalishlarida tahsil olayotgan talabalar foydalanishlari mumkin . Kurs ishi ancha tushunarli va oson tilda yozilgan bo’lib undan talabalar qiyinchiliksiz foydalanishlari mumkin. Ushbu kus ishining so’nggi qismida foydalanilgan adabiyotlar va qo’llanmalar keltirilgan. FOYDALANILGAN ADABIYORLAR J.I.Abdullayev, Yu.X.Eshqobilov, I.A. Ikromov, R.N. G’anixo’jayev Sarimsoqov T.A Funksional analiz kursi. Toshkent; O’qituvchi. 1986. J.I. Abdullayev, Yu.X. Eshqobilov, M.A,Berdiqulov, Sh.A. Ayupov, R.M. Turg’unboyev, Funksional analiz Toshkent. 2008 R.N. G’anixo’jayev, M.H. Shermatov, O.I. Egamberdiyev, Funksional analiz. Darslik. Toshkent. Light Group -2015 Ayupov Sh.A, Ibragimov M.M, K.K. Kudaybergenov, Funksional analizdan misol va masalalar. Nukus. Bilim 2009, -304b. Abdullayev J.I,, G’anixo’jayev N.N, Shermatov M.H., Egamberdiyev O.U. Funksional analiz. Toshkent Samarqand, 2009, -424b Саримсоков Т.А Функциол анализ курси Тош 1986 Download 59.1 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|