Matematik analiz va differensial tenglamalar kafedrasi matematik analiz fanidan

Misol. segmentda Dirixle funksiyasi uchun aniq integral mavjud emasligi ko‘rsatilsin.
Dirixle funksiyasi uchun integral yig‘idini hususan quyidagicha bo‘lishini ko‘rgan edik:

Ravshanki, da yig‘indi limitga ega emas. Demak, Dirixle funksiyasi segmentda integrallanmaydi.
Odatda, yuqorida keltirilgan aniq integral Riman integrali, integral yig‘indini Riman yig‘indisi deyiladi.
Eslatma. Agar funksiya segmentda chegaralanmagan bo‘lsa, u shu segmentda integrallanmaydi.

1.2-§. Aniq integral mavjudligi.

Endi funksiya aniq integralining mavjud bo‘lishining zarur va yetarli shartini topish masalasi bilan shug‘ullanamiz.
Aslida funksiyaning integrallanuvchi bo‘lishi yoki bo‘lmasligini ta’rif bo‘yicha tekshirish mumkin.Biroq ko‘pchilik hollarda integral yig‘indining chekli limitga ega bo‘lishini ko‘rsatish, shuningdek, yuqori hamda quyi integrallarni topish juda qiyin bo‘ladi.
Shuuni aytish kerakki,aniq integralning birinchi ta’rifidagi limit tushunchasi(integral yig‘indining limit tushunchasi )yangi tushunchadir.U o‘tgan boblarda o‘rganilgandek ketma-ketlikning limiti, funksiyasining limit tushunchalarining aynan o‘zi bo‘lmay, balki o‘ziga xos murakkab tushuncha.
Aniq integralning ikkinchi ta’rifi integral yig‘indiga qaraganda bir muncha soddaroq bo‘lgan Darbu yig‘indilariga asoslanadi.
Demak,integralning mavjudligi kriteriyasini ikkinchi ta’rif asosida keltirish maqsadga muvofiq.
funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va chegaralangan bo‘lsin.
1- teorema. funksiya [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo‘lishi uchun 0 olinganda ham shunday >0 son topilib,[a,b] oraliqda diametri bo‘lgan har qanday P bo‘laklashga nisbatan Darbu yig‘indilari

tengsizlikni qanoatlantirishi zarur va yetarli.
Isbot.Zaruriyligi. funksiya[a,b] oraliqda integrallanuvchu bo‘lsin. Ta’rifga ko‘ra
bo‘ladi, bunda

olinganda ham shunday son topilib [a,b] oraliqning diametri
bo‘lgan har qanday bo‘linishga nisbatan Darbu yig‘indilari uchun 2-lemmaga ko‘ra tengsizliklar o‘rinli bo‘lib, undan tengsizlik kelib chiqadi.
Etarliligi. olinganda ham shunday son topilib,[a,b] oraliqda diametri bo‘lgan har qanday bo‘laklashga nisbatan Darbu yig‘indilari uchun

Tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. funksiya [a,b] oraliqda chegaralanganligi uchununing quyi hamda yuqori integrallari

Mavjud va 1-lemmaga ko‘ra tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.Ravshanki,

Bu munosabatdan

Bo‘lishini topamiz. Demak son uchun bo‘lib, undan bo‘lishi kelib chiqadi.Bu esa funksiyaning [a,b]oraliqda integrallanuvchi ekanligini bildiradi:Teorema isbot bo‘ldi.
Agar avvalgidek funksiyaning [ (k=0,1,n-1)oraliqdagi tebranishni orqali belgilasak,u holda

bo‘lib, yuqorida keltirilgan teorema quyidagicha ifodalanadi.
2-teorema. funksiya [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo‘lishi uchun son topilib, [a,b] oraliqda diametri bo‘lgn har qanday bo‘laklashda

tengsizlikni bajaririlishi zarur va yetarli.
Ravshanki,yuqoridagi munosabatni quyidagi

ko‘rinishda ham yozish mumkin. Ko‘pchilik hollarda, teoremaning
ko‘rinishidagi sharti ishlatiladi.