Matematik analiz va differensial tenglamalar kafedrasi matematik analiz fanidan

Misol. Ushbu

integral hisoblansin.
Yechilishi. Berilgan integralda almashtirishni bajaramiz. Unda

bo‘ladi.
Bo‘laklab integrallash formulasi.
Aytaylik, va funksiyalarning har birini segmentda uzluksiz va hosilalarga ega bo‘lsin. U holda
(3)
bo‘ladi .
(3) formula aniq integralda bo‘laklab integrallash formulasi deyiladi.
Misol. Ushbu integral hisoblansin.
Yechilishi. Bu intervalda deb bo‘lishini topamiz.Unda (3) formulaga ko‘ra :

bo‘ladi.
4-misol. Ushbu integral hisoblansin.
Ravshanki,
.
bo‘lganda berilgan integralni
Ko‘rinishida yozib, unga bo‘laklab integrallash formulasini qo‘llaymiz. Natijada

bo‘lib, undan ushbu rekkurent formula kelib chiqadi.
Bu formula yordamida berilgan integralni bo‘lganda ketma-ket hisoblash mumkin.
Aytaylik , -juft son bo‘lsin. Unda

bo‘ladi.
Aytaylik, toq son bo‘lsin. Unda

bo‘ladi.( m!! simvol m dan katta bo‘lmagan va u bilan bir xil juftlikka ega bo‘lgan natural sonlarning ko‘paytmasini bildiradi.)
Mashqlar
1.Agar bo‘lsa, tenglik isbotlansin.
2.Ushbu integral hisoblansin.
3.Ushbu tenglik isbotlansin.
Nyuton-Leybnits formulasi
(1)
O‘zgaruvchilarni almashtirish formulasi.
bo‘lsin. Ravshanki, bu holda

integral mavjud bo‘ladi.
Ayni paytda, bu funksiya da boshlang‘ich funksiyaga ega bo‘lib,

bo‘ladi.
Aytaylik, aniq integralda o‘zgaruvchi ushbu

formula bilan almashtirilgan bo‘lib, bunda funksiya quyidagi shartlarni bajarsin:
1) bo‘lib, funksiyaning barcha qiymatlari ga tegishli;
2) ;
3) funksiya da uzluksiz hosilaga ega bo‘lsin.
U holda
(2)
bo‘ladi.