Matematik analiz va uning tadbiqlari

MATEMATIK ANALIZ VA UNING TADBIQLARI
Ro‘ziqulov Shoxrux,
O‘zMU Jizzax filiali talabalari
Annotatsiya. Ushbu maqolada ketma-ketliklar va ularning chegaralari metrik fazo nazariyasida muhim tushunchalaridan biri hisoblanadi, Ketma-ketlik - bu fazodagi tartiblash va indekslash mumkin bo'lgan nuqtalar ketma-ketligi masalan, natural sonlar. Xulosa qilib aytganda, ketma-ketliklar tushunchasi va ularning metrik fazodagi chegaralari matematikani o'rganishda hal qiluvchi qurilish blokidir. Ushbu kontseptsiyani tushunish matematikaning go'zal dunyosini o'rganishga qiziqqan har qanday talaba yoki tadqiqotchi uchun juda muhimdir.
Kalit so’zlar; Metrik fazoda ketma ketliklar va ularning limiti.
Metrik fazodagi (X, d) {xn} ketma-ketligi X dagi x chegarasiga yaqinlashadi deyiladi, agar har bir e > 0 uchun N indeks mavjud bo‘lsa, barcha n > uchun d(xn, x) < e bo‘ladi. N. Boshqacha qilib aytganda, n kattalashgan sari, xn ixtiyoriy ravishda x ga yaqinlashadi.
Agar metrik fazodagi ketma-ketlik hech qanday chegaraga yaqinlashmasa, u ajralish deyiladi. Ketma-ketlik tebranish, cheksizlikka o'tish yoki metrik fazoning turli pastki bo'shliqlari o'rtasida sakrash kabi bir necha usulda ajralib chiqishi mumkin.
Ketma-ketliklar konvergentsiya bilan bog'liq boshqa xususiyatlarni ham ko'rsatishi mumkin, masalan, Koshi ketma-ketliklari. Metrik fazodagi (X, d) {xn} ketma-ketligi Koshi ketma-ketligi deyiladi, agar har bir e > 0 uchun barcha m, n > N uchun d(xm, xn) < e boʻladigan N indeks mavjud boʻlsa. boshqacha aytganda, n va m kattalashgan sari xn va xm ixtiyoriy ravishda bir-biriga yaqinlashadi.
Har bir konvergent ketma-ketlik Koshi ketma-ketligidir, ammo buning aksi umuman to'g'ri emas. Biroq, to'liq metrik fazoda har bir Koshi ketma-ketligi fazodagi chegaraga yaqinlashadi.
Ketma-ketliklar va ularning chegaralari tahlilda juda ko'p qo'llaniladi, jumladan, real tahlil, funktsional tahlil va raqamli tahlil. Ular Bolzano-Vayershtrass teoremasi, Geyne-Borel teoremasi va Arzela-Askoli teoremasi kabi bu sohalarda ko'plab muhim natijalar uchun asos bo'lib xizmat qiladi.
Ketma-ketliklar va ularning chegaralari matematikada, xususan, tahlil va topologiyani o'rganishda asosiy tushunchalardir. Ketma-ketlik - ma'lum bir tartibda joylashtirilgan elementlar to'plami. Bu elementlar raqamlar, nuqtalar, funktsiyalar yoki metrik fazoda aniqlanishi mumkin bo'lgan boshqa oby'ektlar bo'lishi mumkin.
Metrik fazoda chegara tushunchasi ketma-ketlikni o'rganishda hal qiluvchi rol o'ynaydi. Ketma-ketlik chegarasi - bu ketma-ketlik yaqinlashadigan nuqtaning intunitiv tushunchasi. Rasmiy ravishda, metrik fazoda (X, d) ketma-ketlik (xn) berilgan bo‘lsa, x ni (xn) chegarasi deymiz.
Limit tushunchasi cheksiz chegaralarga ham kengaytirilishi mumkin. Ketma-ket (xn) cheksizlikka yaqinlashadi deyiladi, agar har qanday M > 0 uchun shunday N mavjudki, hamma uchun n ≥ N, xn > M. Xuddi shunday ketma-ketlik (xn) ham manfiy cheksizlikka yaqinlashadi deyiladi. M < 0 shunday N mavjudki, barcha n ≥ N uchun xn < M.
Shuningdek, ketma-ketlik hech qanday chegaraga yaqinlashmasligi mumkin bo'lgan holatlar mavjud. Bunday ketma-ketliklar divergent deb ataladi. Masalan, ketma-ketlik (1, -1, 1, -1, ...) chegaraga ega emas, chunki u ikki qiymat orasida tebranishda davom etadi.
Metrik fazodagi ketma-ketliklar va ularning chegaralari tushunchasining ahamiyati ular metrik fazolarning uzluksizligi, yaqinlashuvi, to‘liqligi va boshqa muhim xossalarini o‘rganish imkonini berishi bilan ta’kidlanadi. Shuningdek, ular matematikaning turli sohalarida, jumladan, tahlil, geometriya va topologiyada ilovalarni topadilar.