Matematik tahlil

6-teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo‘lsa, u holda ushbu

integral ham mavjud bo‘ladi va

bo‘ladi.

Ikki karrali integralda o‘zgaruvchi almashtirish. Ikkita tekislik berilgan bo‘lsin. Birinchi tekislikdato‘g‘ri burchakli koordinata sistemasini va chegaralangan sohani qaraylik. Bu sohaning chegarasi sodda, bo‘lakli-silliq chiziqdan iborat bo‘lsin. Ikkinchi tekislikda esa, to‘g‘ri burchakli koordinata sistemasini va sohani qaraylik. Bu sohaning chegarasi ham sodda, bo‘lakli-silliq chiziqdan iborat bo‘lsin. va lar sohada berilgan shunday funksiyalar bo‘lsaki, ulardan tuzilgan sistema sohadagi nuqtani sohadagi nuqtaga akslantirsin:

va bu akslantirishning akslaridan iborat to‘plam ga tegishli bo‘lsin.Demak, ushbu

Sistema sohani sohaga akslantiradi.Bu akslantirish quidagi shartlarni bajarsin:

1. 
   akslantirish o‘zaro bir qiymatli akslantirish.
   

2. 
   , funksiyalar sohada va funksiyalar sohada uzliksiz va barcha xususiy xosilalarga ega bo‘lib, bu hususiy xosilalar ham uzliksiz bo‘lsin.
   
3. 
   sistemadagi funksiyalarning xususiy hosilalaridan tuzilgan ushbu
   

funksional determinant sohada noldan farqli bo‘lsin. Odatda ushbu determinant sistemaning yakobiani deyiladi va yoki
kabi belgilanadi.
Faraz qilaylik

sistema sohani sohaga akslantirsin. Bu akslantirish yuqoridagi 1-3 shartlarni bajarsin. U holda, sohaning yuzi

bo‘ladi.
funksiya sohada berilgan va shu sohada uzliksiz bo‘lsin. esa sodda, bo‘lakli-silliq chiziq bilan chegaralangan bo‘lsin. Ravshanki, funksiya sohada integrallanuvchi bo‘ladi.
Aytaylik, ushbu

sistema sohani sohaga akslantirsin va bu akslantirish yuqoridagi 1-3 shartlarni bajarsin.
Har bir bo‘luvchi chizig‘i bo‘lakli-silliq bo‘lgan sohaning bo‘linishini olaylik. akslantirish natijasida sohaning bo‘linishi hosil bo‘ladi. Bu bo‘linishga nisbatan funksiyaning integral yig‘indisi

ni tuzamiz. Ravshanki,

Yuqorida keltirilgan fo’rmulaga ko‘ra

bo‘ladi. O‘rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib quyidagini topamiz:

Bunda ning yuzi. Natijada yig’indi ushbu

ko‘rinishga
nuqtaning sohadagi ixtiyoriy nuqta ekanligidan foydalanib uni

deb olish mumkin. U holda

_bo‘ladi.
Ravshanki,

funksiya sohada uzliksiz. Demak, u shu sohada integrallanuvchi.
U holda

bo‘ladi.
da bo‘lishini e’tiborga olib, va munosabatlardan

bo‘lishini topamiz. Bu ikki karrali integralda o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasidir. Berilgan soha bo‘yicha integralni xisoblashni soha bo‘yicha integralni xisoblashga keltiradi. Agarda da o‘ng tomondagi integral ni xisoblash yengil bo‘lsa, bajarilgan o‘zgaruvchilarni almashtirish o‘zini oqlaydi.