Matematik tahlil

2.Ikki karrali integrallarni hisoblash.
funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin.
4-teorema. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud va chekli bo‘lsa, u holda

integral ham mavjud bo‘ladi va

bo‘ladi.
Isbot. sohani
bo‘laklarga ajratamiz. Bu bo’linishni deb belgilaymiz. Uning diametri
.
funksiya sohada integrallanuvchi ekan, u shu sohada chegaralangan bo‘ladi. Binobarin, funksiya har bir da chegaralangan, demak, u shu sohada aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralariga ega bo‘ladi.

Ravshanki, uchun , xususan uchun ham bo‘ladi. Teoremaning shartidan foydalanib quyidagini topamiz:

ya’ni

Agar keyingi tengsizliklarni ning qiymatlarida yozib, ularni hadlab qo‘shsak, u holda

ya’ni

bo‘ladi.
Endi keyingi tengsizliklarni ga ko‘paytirib, so‘ng hadlab qo‘shamiz. Natijada

bo‘ladi.
Ravshanki,

funksiya uchun Darbuning quyi yig‘indisi,

esa Darbuning yuqori yig‘indisidir . Demak,
.
Shartga ko‘ra funksiya da integrallanuvchi. U holda da

bo‘ladi.
munosabatdan esa,

yig‘indining limitga ega bo‘lishi va bu limit

ga teng bo‘lishi kelib chiqadi:
.
Agar

va

Ekanligini e’tiborga olsak, unda

bo‘lishini topamiz. Bu esa teoreman isbotlaydi.
5-teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo‘lsa, u holda ushbu

integral ham mavjud bo‘ladi va

bo‘ladi.
Bu teorema 4-teorema kabi isbotlanadi.
1-natija. Agar funksiya sohada berilgan va uzluksiz bo‘lsa, u holda

integrallarning har biri mavjud va ular bir biriga teng bo‘ldi.