Matematik tahlil

x_n ≥ x₁

tengsizlik o'rinli bo'ladi, ya'ni ketma-ketlik quyidan x₁ soni orqali chegaralangan.

Agar {x_n} ketma-ketlik kamayuvchi bo'lsa, ixtiyoriy n nomer uchun

x_n ≤ x₁

tengsizlik bajariladi, ya'ni ketma-ketlik yuqoridan x₁ soni orqali chegaralangan.
Shunday qilib, monoton ketme-ketlikning chegaralanganligini talab qilmoqchi bo'lsak, u o'suvchi bo'lganda yuqoridan chegaralanganlikni (chunki quyidan u shundoq ham chegaralangan), kamayuvchi bo'lganda esa quyidan chegaralanganlikni talab qilish yetarli.
Navbatdagi teoremani biz an'anaviy ko'rinishda keltiramiz.

1. 
   - Teorema. Yuqoridan chegaralangan har qanday o'suvchi ketma-ketlik yaqinlashadi.
   

{ }
Isbot. Shartga ko'ra, x_n ketma-ketlik o'suvchi va yuqoridan chegaralangan bo'lsin, ya'ni (2.2.1) va (2.2.5.) shartlar bajarilsin.
E simvoli orqali {x_n} ketma-ketlikning qiymatlar to'plamini , ya'ni sonlar o'qining barcha x_n nuqtalardan iborat qismiy to'plamini belgilaymiz. (2.2.5) ga ko'ra, E to'plam yuqoridan chegaralangan va shuning uchun, 1.4.1 - asosiy teoremaga binoan, bu to'plamning aniq yuqori chegarasi mavjud.
Mana shu aniq yuqori chegarani
a = sup E

→
deb belgilab, x_n a ekanini isbotlaymiz. Aniq yuqori chegaraning ta'rifiga ko'ra,
x_n ≤ a, n = 1, 2, 3, ... (2.2.7)
Yana o'sha aniq yuqori chegaraning ta'rifiga asosan ( § 1.2, (ii) shartga qarang), istalgan ε > 0 uchun E to'plamning a−ε nuqtadan o'ngda joylashgan kamida bitta nuqtasi mavjud. Agar x_N shunday nuqta bo'lsa,