Matematik tahlil

y_n b

by_n
by_n

−
Agar biz bu tenglikda γ_n = α_n (a/b)β_n deb belgilasak, γ_n - cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lib,

n

n
x_n a 1

tenglik o'rinli bo'ladi.

_y − _b = γ_n · _y

, (2.1.21)

1. 
   
   { }
   - Lemmaga ko'ra 1/y_n ketma-ketlik chegaralangan, shuning uchun 2.1.4
   

- Tasdiqdan (2.1.21) ning o'ng qismi cheksiz kichik ketma-ketlik ekanligi kelib chiqadi. Demak,

lim

x_{n =} a_.

^n→∞ y_n b

Q.E.D.

Shunday qilib, 2.1.3 - Teoremaga asosan, nisbatning limiti limitlar nisbatiga teng ekan.

. Σ
Shubhasiz, agar y_n ketma-ketlikning barcha elementlari noldan farqli bo'lsa,
^xn ketma-ketlik barcha n larda aniqlangan bo'ladi.

y_n

Shunga ahamiyat berish joizki, agar biz ketma-ketlikning istalgan chekli sondagi elementlarini o'zgartirsak, uning yaqinlashish xossasi ham va limiti ham o'zgarmaydi. Xususan, agar ketma-ketlikning chekli sondagi elementlari nolga teng bo'lsayu, biz ularni, masalan, birlar bilan almashtirsak, biz nolga teng bo'lmagan elementlardan iborat yangi ketma-ketlik olamiz va eski bilan yangi ketma-ketliklar bir vaqtda yoki yaqinlashuvchi, yoki uzoqlashuvchi bo'ladilar. Bundan tashqari, bordiyu ular yaqinlashsa, ularning limitlari teng bo'ladi.

5. 
   Ushbu bandda biz tengsizliklarda limitga o'tishni o'rganamiz.
   

2. 
   
   { } ≥
   
   ≥
   - Lemma. Agar x_n ketma-ketlik a songa yaqinlashib, x_n 0 bo'lsa, u holda a 0 bo'ladi.
   

≥ →
Isbot. Shartga ko'ra x_n 0 va x_n a bo'lsin. Demak, limit ta'rifiga asosan, istalgan ε > 0 uchun shunday N nomer topiladiki,

|x_n − a| < ε, n ≥ N

bo'ladi.
1.3.2 - Tasdiqdan bu tengsizlikning quyidagi qo'shaloq tengsizlikka ekvivalent ekanligini olamiz:
−ε < x_n − a < ε. (2.1.22)
Shunday ekan, x_n ≥ 0 shartdan va (2.1.22) ning o'ng tarafidagi tengsizlikdan,
ε + a > x_n ≥ 0, ya'ni ε + a > 0
bahoni hosil qilamiz, bundan chiqdi, istalgan musbat ε uchun
a > −ε (2.1.23)
tengsizlik o'rinli bo'lar ekan.

Oxirgi tengsizlik a son har qanday manfiy sondan katta ekanini anglatadi va shuning uchun u manfiy bo'la olmaydi. Demak, a ≥ 0.