Matematik tahlil

5, 5, 5, ..., 5, ...

Agar ketma-ketlik yaqinlashsa, yuqorida biz ko'rganimizdek, limitining ixtiyoriy ε atrofidan tashqarida ketma-ketlikning, oshib borsa, chekli sondagi elementlari yotar ekan. Bundan har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlikning chegaralangan bo'lishi bevosita kelib chiqadi.

1. 
   - Tasdiq. Har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangandir.
   

≥

{ }
Isbot. Faraz qilamiz, x_n ketma-ketlik biror a songa yaqinlashsin, ya'ni istalgan ε > 0 uchun shunday N nomer topilsinki, n N bo'lganda (2.1.2) bajarilsin. Xususan, agar ε = 1 desak, shunday N = N (1) nomer topiladiki, u uchun

|x_n − a| < 1, n ≥ N

bo'ladi.
Shunday ekan, quyidagi

|x_n| ≤ |x_n − a| + |a|

tengsizlikka ko'ra, xuddi o'sha n nomerlar uchun
|x_n| < |a| + 1, n ≥ N (2.1.6)
tengsizlikka ega bo'lamiz.
Endi
M = max { |x₁|, |x₂|, ..., |x_N−1|, |a| + 1} (2.1.7)
deylik. Unda (2.1.6) va (2.1.7) larga ko'ra, istalgan n nomer uchun

|x_n| ≤ M, n = 1, 2, 3, ...,

ya'ni x_n ketma-ketlik chegaralangan bo'lar ekan.

Q.E.D.

Yuqorida bu tasdiqning teskarisi o'rinlimi degan savol qo'yilgan edi. Boshqacha aytganda, har qanday chegaralangan ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo'ladimi? Navbatdagi misol bu savolga salbiy javob beradi.

2. 
   - Misol. Ushbu
   

x_n = (−1)ⁿ
ketma-ketlik chegaralangan va uzoqlashuvchidir.

2. 
   Ketma-ketliklar orasida nolga yaqinlashuvchi ketma-ketliklar alohida o'rin tutadi.
   

Ta'rif. Nol soniga yaqinlashuvchi ketma-ketlik cheksiz kichik deyiladi.

{ } { }
Ushbu bandda biz cheksiz kichik ketma-ketliklar xossalarini o'rganamiz. Qaralayotgan ketma-ketlikning cheksiz kichikligiga urg'u berish maqsadida uning hadlarini yunoncha harflar α_n , β_n va hakazolar bilan belgilaymiz.
Yuqorida keltirilgan ta'rifga ko'ra, agar istalgan ε > 0 uchun shunday N = N (ε)
nomer topilsaki, n ≥ N bo'lganda
|α_n| < ε (2.1.8)

{ }
tengsizlik bajarilsa, α_n ketma-ketlik cheksiz kichik bo'ladi.
Ravshanki, statsionar, ya'ni hamma hadlari o'zaro teng x_n = c bo'lgan ketma- ketlik faqat c = 0 bo'lgandagina cheksiz kichik bo'la oladi.
Cheksiz kichik ketma-ketliklarning quyidagi sodda, lekin shu bilan birga, muhim xossasi bevosita ta'rifdan kelib chiqadi.

2. 
   - Tasdiq. Agar {α_n} cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lib, {x_n} ketma-ketlik
   

|x_n| ≤ |α_n| (2.1.9)

{ }
tengsizlikni qanoatlantirsa, x_n ketma-ketlik ham cheksiz kichik bo'ladi.
Isbot. Cheksiz kichik ketma-ketlikning ta'rifiga ko'ra, istalgan ε > 0 olganda ham shunday nomer N = N (ε) topiladiki, n ≥ N nomerlar uchun (2.1.8) tengsizlik bajariladi. Shunday ekan, (2.1.8) va (2.1.9) tengsizliklardan, n ≥ N bo'lganda