Matematik tahlil

n

ketma-ketlikning limiti 0 sonidir.

Haqiqatan ham, istalgan ε > 0 uchun N (ε) sifatida

1

N >

ε
tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy natural sonni olaylik.
U holda biz n ≥ N nomerlar uchun
(2.1.3)

1 1

|x_n − 0| = |x_n| = _n ≤ _N < ε

munosabatni olamiz. Bu esa, o'z navbatida, 0 soni x_n ketma-ketligining limiti ekanini anglatadi.
Odatda N (ε) sifatida (2.1.3) tengsizlikni qanoatlantiruvchi N natural sonlar ichidan eng kichigini olishga harakat qilinadi. Ravshanki,

ε
N = N (ε) = Σ ¹ Σ + 1 (2.1.4)

aynan shunday sondir.

Bu yerda ixtiyoriy haqiqiy x son uchun [x] simvol orqali uning butun qismi, ya'ni x dan oshib ketmaydigan eng katta butun son belgilangan. Misol uchun, [π] = 3, [2] = 2, [−3, 14] = −4.

Albatta, har qanday ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo'lavermasligi tushunarli.

Misol uchun,
x_n = n
ketma-ketlik, ravshanki, limitga ega emas. Limitga ega bo'lmagan ketma-ketliklar uzoqlashuvchi deyiladi.
E'tibor bering, oxirgi ketma-ketlikning qiymatlar to'plami chegaralanmagan. Bir qarashda, bu ketma-ketlik aynan shu sababli uzoqlashadi va agar bu to'plam chegaralangan bo'lganida edi, ketma-ketlik ham yaqinlashar edi, degan tasavvur hosil bo'lishi mumkin. Lekin aslida bunday emas.

{ }
Ta'rif. Agar shunday M > 0 son mavjud bo'lsaki, x_n ketma-ketlikning barcha hadlari
|x_n| ≤ M (2.1.5)
tengsizlikni qanoatlantirsa, bunday ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.
Chegaralangan ketma-ketlikka eng sodda misol bu istalgan statsionar ketma- ketlikdir. Masalan,