Matematika fanidan Mavzu: “Matritsaning xos soni va xos vektorlarini topish” mavzusidagi

Misol. Matritsaning xos son va xos vektorlari topilsin.
A=

Yechish
M₃= =
M₃^-1= =
A⁽¹⁾=M^-1₃AM₃=
A(1) matritsada a⁽¹⁾₃₂  0, shuning uchun A(1) matritsaning 1- va 2-ustunlarini,
so‘ng 1- va 2-satrlarni almashtirib yozamiz. Bu amallarni bajarish matritsasini
keltiramiz:
U=
Natijada quyidagini hosil qilamiz:
A⁽¹⁾U=
Endi A(2) ni topamiz, buning uchun М₂, М₂^-1 larni yozamiz
M₂₌ , M₂^-1=
A⁽²⁾=M₂^-1UA⁽¹⁾UM₂=
Nihoyat, A⁽³⁾  M₁^-1 A⁽²⁾M₁,

M₁^-1= ,M₁=

A⁽³⁾⁼
Demak,
P  ⁴  92³  3070²  43884  225225 .
P   0 ni yechib, ₁ 13, ₂  21, ₃  25, ₄  33 ekanligini topamiz.

X⁽¹⁾=M₃UM₂M₁y⁽¹⁾ va

U=
bo‘lib, A - (1) matritsaning 1- va 2-ustunlarini almashtirish matritsasidir.
X⁽¹⁾=M₃UM₂M₁y⁽¹⁾ . =M₃U x
=M₃ . =M₃ = . =
Shunday qilib x⁽¹⁾  3, 2, 6, 4¹. Shu yo‘l bilan
x ⁽²⁾  3, 2,  6, 4^T
x⁽³⁾  3,  2, 6,  4^T
x⁽⁴⁾  3,  2,  6, 4^T
topiladi.

2.2 Krilov metodi

Ixtiyoriy noldan farqli y 0  vektor olamiz va y (k )  Ak y (0) , k  0, n
vektorlarni xosil qilamiz.
Keli-Gamilton munosabatini yozamiz:
Aⁿy⁽⁰⁾-p₁A^n-1y⁽⁰⁾-…-p_ny⁽⁰⁾=0
yoki
p₁y^(n-1) + p₂y₁^(n-2)+…+p_ny⁽⁰⁾= y⁽ⁿ⁾
vektor tenglama hosil qilinadi. Buni ochib yozaylik

(3) tenglamalar sistemasini misol uchun Gauss metodi bilan yechamiz va
P₁ , p₂ ,..., p_n larni topamiz, natijada (2) xos ko‘phad qurilgan bo‘ladi, so‘ng
D()  0
tenglamani yechilib ₁, ₂, ...,_n lar topiladi.
Endi xos vektorlarni topamiz. Y^(k) , k  0, n 1 larni x⁽ⁱ⁾, i  1,n
vektorlar orqali yoyib olamiz

Quyidagi ko‘phadni tuzamiz
, i=1,n
y^(K), k=0,n-1 vektorning quyidagi kombinatsiyasini tuzamiz.


Agar i= 1,n desak, =0, bo’lgani uchun
i=1,n
bo’ladi. koeffisentlar esa


rekurrent formula yordamida topiladi.
Agar (3) tenglamalar sistemasini yechishda Gauss usulini to‘g‘ri yo‘lini m
ta qadami bajarilsa, u holda y⁽⁰⁾ , y⁽¹⁾...y^(m-1) vektorlar chiziqli erklidir. Shuning
uchun (3) tenglamalar o‘rniga quyidagi

tenglamalar sistemasini yechib p₁ , p₂ ,..., p_m lar topiladi va

tenglamadan ₁ ,₂ ,..., _m larni topamiz.
ko‘phad matritsaning minimal ko‘phadi deyiladi.
Xos vektor esa quyidagicha topiladi

Bu yerda