Matematika fanidan Mavzu: “Matritsaning xos soni va xos vektorlarini topish” mavzusidagi

1.1NAZARIY QISM

Nazariy va amaliy masalalarni yechishda ko‘pincha matritsaning xos sonlarini topish talab qilinadi. Masalan, chiziqli algebraik teng lamalar sitemasini iteratsion metod bilan yechishda va bu metodning yaqinlashishi va yaqinlashish tezligi matritsaning moduli bo‘yicha eng katta xos sonining miqdoriga bog‘liq edi.
Agar biror x vektor uchun
Ax = x
tenglik bajarilsa u holda A. son A kvadrat matritsaning xos soni deyiladi. Bu tenglikni qanoatlantiradigan noldan farqli x vektor A matritsaning X soniga mos keladigan xos vektori deyiladi.
D ()  det(A  )  =0.
tenglam a matritsaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
Det( )=
A matritsaning xos yoki xarakteristik ko ‘phadi deyiladi.
Matritsaning barcha xos sonlari va ularga mos xos vektorlami topish masalasi xos qiymatlarni to ‘liq muammosi deyiladi. Xos son- laming bittasi yoki ulaming bir qismini va mos ravishda xos vektorini topish xos qiymatlaming qismiy muammosi deyiladi.
Agar A matritsaning barcha xos sonlarini topish masalasi qo'yilgan ho‘Isa, u holda uning xarakteristik tenglamasi D(k) = 0 ni tuzish kerak bo‘ladi. Buning uchun (l)dagi determinantni hisoblash lozim.
Algebradan ma’lumki, (2) xarakteristik ko‘phadning koeffitsiyentlari p_i lar A matritsaning (-1)'¹ ishora bilan olingan i-tartibli bosh minorlarining yig‘indisiga teng:

va hokazo. Demak

Bundan ko‘rinadiki, A matritsaning i-tartibli bosh minorlarining soni C¹_n ga teng. Matritsaning tartibi n boiganligi uchun (2) ko‘p- hadning koeffitsiyentlarini topishda tartiblari har xil bo‘lgan

ta determenantlami hisoblash kerak. Yetarli katta n uchun bu masala katta hisoblashlami talab etadi.
Viet teoremasidan foydalanib, quyidagi

tengliklarni hosil qilamiz. Buni (3) ning birinchisi va (4) bilan taqqoslasak Matritsalar haqida umumiy tushunchalar. Sistemalarni modellashtirishda
matritsalar algebrasi degan tushuncha muhim ahamiyatga ega. Rejalashtirish
muammolari, yalpi mahsulot, jami mehnat sarfi, narxni aniqlash va boshqa
masalalar hamda ularda Kompyuterlarni qo‘llash matritsalar algebrasini qarashga
olib keladi. Ishlab chiqarishni rejalashtirish, moddiy ishlab chiqarish orasidagi
mavjud bog’lanishlarni ifodalashda va boshqalarda, ma`lum darajada tartiblangan
axborotlar sistemasiga asoslangan bo‘lishi lozim. Bu tartiblangan axborotlar
sistemasi muayyan jadvallar ko‘rinishida ifodalangan bo‘ladi. Misol o‘rnida
moddiy ishlab chiqarish tarmoqlari orasidagi o‘zaro bog’liqlik axborotlari
sistemasini qaraylik. Ishlab chiqarish 5 ta (masalan, mashinasozlik, elektroenergiya, metal, ko‘mir, rezina ishlab chiqarish sanoatlari) tarmoqdan iborat
bo‘lsin. Bunda ular orasidagi o‘zaro bog’liqlik 1-jadval bilan ifodalansin.

1-jadval

Tarmoqlar	1	2	3	4	5
1	A11	A12	A13	A14	A15
2	A21	A22	A23	A24	A25
3	A31	A32	A33	A34	A35
4	A41	A42	A43	A44	A45
5	A51	A52	A53	A54	A55

Bu jadvalda a_ij (i, j 1,2,3,4,5) lar bilan, i -tarmoqning j- tarmoqqa

yetkazib beradigan (ta`minlaydigan) mahsuloti miqdori belgilangan, chunonchi,
a_21, a_{22, ….}a₂₅ lar 2-tarmoqning mos ravishda hamma tarmoqlarga; a_31, a_{32, …..}a₃₅ lar esa 3-tarmoqning mos ravishda hamma tarmoqlarga yetkazib beradigan
mahsulotlari miqdorini bildiradi. a_22, a₃₃ lar mos ravishda 2,3-tarmoqlarning o‘z ehtiyojlariga sarfini ifodalaydi.
Yuqoridagiga o‘xshash ishlab chiqarish mezoni (normasi) axborotlari
sistemasiga sonli misol qaraylik. Korxona 3 turdagi xom ashyo ishlatib 4 xildagi
mahsulot ishlab chiqaradigan bo‘lsin, bunda xom ashyo sarfi normasi sistemasi 2- jadval bilan berilgan bo‘lsin.
2-jadval.

Xom ashyolar	Mahsulotlar
	1	2	3	4
1 2 3	2	3	2	0
	4	0	3	5
	3	5	2	4

2-jadvalda masalan, 1-turdagi xom ashyo sarfi normasi mos ravishda

1,2,3,4-xildagi mahsulotlar ishlab chiqarish uchun 2,3,2,0 bo‘ladi.
1 va 2 jadvallar, matematikada o‘rganiladigan matritsalar tushunchasining
misollari bo‘la oladi. Matritsalar iqtisodiy izlanishlarda keng qo‘llanilmoqda,
Hususan, ulardan foydalanish ishlab chiqarishni rejalashtirishni osonlashtirib,
mehnat sarfini kamaytiradi, hamda rejaning har xil variantlarini tuzishni
ixchamlashtiradi. Bundan tashqari har xil iqtisodiy ko‘rsatkichlar orasidagi
bog’liklikni tekshirishni osonlashtiradi. Bu holatlar matritsalarni umumiy holda
qarashga olib keladi.