Matematika fanidan Mavzu: “Matritsaning xos soni va xos vektorlarini topish” mavzusidagi

2.3 MAVZUGA DOIR MISOLLAR YECHISH

Misol 1
A=
matritsaning xarakteristik ko‘phadi topilsin.
Yechish. Y⁽⁰⁾  (1,0,0,0)¹ , deb olamiz. U holda

Endi (3) tenglamalarni yozamiz



Misol 2.
A=
matritsaning xos son sonlari va xos vektorlari topilsin.
Yechish. Y⁽⁰⁾  (1,0,0)¹ deb
y⁽¹⁾=(5,3,3)¹, y⁽²⁾=(-29,-15,-15)¹, y⁽³⁾=(125,63,63)¹,
larni hosil qilamiz va (3) sistemani yozamiz
-29p₁+5p₂+p₃=125
-15p₁+3p₂ =63
-15p₁+3p₂ =63
Bu sistemani yechishda Gauss usulining uchinchi qadami bajarilmaydi, chunki 2
va 3-tenglamalar bir xil, demak y⁽⁰⁾ y⁽¹⁾ y⁽²⁾ y⁽³⁾ lar chiziqli bog‘liq.
y⁽⁰⁾ y⁽¹⁾ y⁽²⁾ larga bog‘liq

sistemani tuzamiz. Bundan p₁ 5, p₂  4 bo‘ladi. deb
ni topamiz. ni toppish uchun, bizga ma’lum

Munosabatydan foydalanamiz
5+14-25=-4-1+
-6=-5+
=-1
Endi xos vektorni topamiz:



x⁽³⁾ ni toppish uchun y⁽⁰⁾ vektorni boshqacha tanlash kerak
Xususan, .y⁽⁰⁾=( 0; 1; 0)¹ desak y⁽¹⁾ = (30,14,15)' bo‘ladi.

bo’lar ekan.
Misol 3.
A=
Matritsaning barcha xos sonlari va xos vektorlarini, ya’ni xos qiymatlarning to’liq muammosini Daniloviskiy metodi bilan aniqlang.
Yechish
M₂= =
Endi A matritsa ustida M₂ almashtirish bajarsak, matritsaning oxirgi yo‘li normal Frobenius ko‘rinishiga keladi:


Endi AM₂ matritsani chapdan M₂^-1 ga ko‘paytirsak, hosil bo‘lgan
matritsa A ga o‘xshash bo‘ladi:

Hosil bo‘lgan C matritsa A ga o‘xshash bo‘ldi, uning ilckinchi
yo‘lini normal Frobenius ko'rinishiga keltiramiz:




Hosil bo'lgan matritsa normal Frobenius ko‘rinishida, uning xarakteristik tenglamasi ko‘rinishda boiadi. Krilov metodida ham u shu ko‘rinishda edi, ya’ni uning nollari boiishi ravshan. P matritsaning xos vektorlari edi. A ning xos vektorlari esa x⁽ⁱ⁾=M₂M₁y⁽ⁱ⁾ =1,2,3 ko‘rinishdaboiadi:
=

X⁽⁾¹= ( - l; 0; l)^’ vektor Krilov usulida topilgan xos vektordan
o‘zgarmas ko‘paytuvchi songa farq qilyapti. Xuddi shunday x⁽²⁾ va
x⁽³⁾ larni aniqlashimiz mumkin.