Matematika fanidan

Aniq integralda o’zgaruvchini almashtirish
Teorema. Ushbu

integral berilgan bo’lsin, bu yerda - kesmada uzluksiz funksiya.
Endi o’zgaruvchi kiritamiz

Agar
1) ,
2) va funksiyalar da uzluksiz bo’lsa,
3) funksiya kesmada aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, u holda
(1)
Isbot. Agar funksiya funksiya uchun boshlang’ich bo’lsa, u holda quyidagi tengliklarni yozishimiz mumkin:
(2)
(3)
Oxirgi tenglikning to’g’riligini tekshirish uchun ikkala tomondan bo’yicha hosila olamiz. (2) tenglikdan olamiz:

(3) tenglikdan olamiz:

Oxirgi ifodalarning o’ng tomonlari teng, demak, chap tomonlari ham teng.
Izoh. Aniq integral (1) formula bo’yicha hisoblaganda biz eski o’zgaruvchiga qaytmayapmiz. Agar biz (1) tengsizlikdagi aniq integrallardan ikkinchisini hisoblasak, u holda biz biror sonni olamiz; birinchi integral ham shu songa teng bo’ladi.
Misol. Integralni hisoblang

Yechish. O’zgaruvchini almashtiramiz
,
Yangi integrallash chegaralarini aniqlaymiz:
, .
, .

Demak,


Hisoblagan integral geometrik nuqtai nazardan aylana bilan chegaralangan chorak doiraning yuzini bildiradi (2-rasm).


2. Bo’laklab integrallash
va - ga bo’gliq differensiallanuvchi funksiya bo’lsin. U holda

Ayniyatning ikkala tomonini dan gacha integrallab, topamiz:
(1)
Endi bo’lganligi uchun bo’ladi. Shuning uchun (1) tenglik

yoki

ko’rinishida yozilishi mumkin.

Misol. integralni hisoblang

Biz tanlagan belgilashlarda oxirgi tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

Bu yerdan topamiz:
(2)
Xuddi shu yo’l bilan topamiz:

Shuning uchun

Shu tarzda davom ettirib, so’ngra biz yo gacha yo gacha, soni juft yoki toqligiga qarab, yetib boramiz.
Ikkita holni qaraymiz:
1) - juft son,

2) -toq son,

Ammo


bo’lganligi uchun


Bu formulalardan sonni cheksiz ko’paytma ko’rinishida tasvirlovchi Vallis formulasi kelib chiqadi.
Haqiatan ham, oxirgi ikkita tengliklardan hadma-had bo’lish yordamida topamiz:


(3)
Endi

Ekanligini isbotlaymiz.
intervaldagi barcha lar uchun tengsizliklar o’rinli. 0 dan gacha bo’lgan chegaralarda integrallab, topamiz:

Bu yerdan
(4)
(2) tenglikdan kelib chiqadi:

Demak,

(4) tenglikdan, olamiz:

(3) formulada limitga o’tib, Vallis formulasini olamiz:

Bu formulani quyidagicha yozish mumkin: